高三数一轮复习 三法破解集合运算和充要条件判断的问题解题技巧 文

三法破解集合运算和充要条件判断的问题一、三法定乾坤——谈集合运算问题的三种方法集合的基本运算主要包括交集、并集、补集，集合是历年高考的必考内容，解决集合的基本运算问题，首先要明确集合中元素的性质，通过解不等式求出每个集合，然后弄清几个集合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴或Venn图等根据交集、并集、补集的定义进行基本运算，从而得出结果．1．列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法．此类方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题．其基本的解题步骤是：[例1]设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P*Q中元素的个数是()A．2 B．3C．4 D．5[解析]当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0；当a＝－1，b＝－2时，z＝(－1)÷(－2)＝eq\f(1,2)；当a＝－1，b＝2时，z＝(－1)÷2＝－eq\f(1,2)；当a＝1，b＝－2时，z＝1÷(－2)＝－eq\f(1,2)；当a＝1，b＝2时，z＝1÷2＝eq\f(1,2).故P*Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，\f(1,2)))，该集合中共有3个元素．[答案]B[点评]求解两个集合之间的运算应该注意三个问题：一是集合中元素的形式，元素是数还是有序数对，是函数的定义域还是函数的值域等；二是注意集合中对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要搞清端点值的取舍；三是求解集合的补集运算时，一定要先求出原来的集合，然后求其补集，不要直接转化条件而导致漏解出错，如集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)logx≥\f(1,2)))的补集不是B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)logx<\f(1,2)))，而是B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)logx<\f(1,2)，或x≤0)).2．数形结合法数形结合法就是利用数轴或Venn图表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算．其求解的基本步骤是：[例2](·嘉兴模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|log(x－1)>0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2x－3,x)<0))))，则B∩(∁UA)＝()A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1) D．(0,1][解析]由log(x－1)>0，得0<x－1<1，即1<x<2，∴A＝(1,2)．由eq\f(2x－3,x)<0，得x(2x－3)<0，即0<x<eq\f(3,2)，∴B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).如图所示，在数轴上表示出集合A，B.则∁UA＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∴B∩(∁UA)＝(0,1]．[答案]D[点评]数形结合法主要是利用图形的直观性来进行集合的基本运算，应注意利用数轴表示集合时，要根据端点值的取舍情况正确选用实心点或空心点标注对应集合，避免因区间端点值的取舍不当造成增解或漏解．3．属性分析法属性分析法就是根据元素与集合之间的确定关系来进行集合基本运算的方法，主要是解决点集问题中某个集合与已知集合之间的关系问题．解决此类问题的基本步骤是：[例3]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5}，N＝{1,3,6}，则集合{2,7}＝()A．M∩N B．(∁UM)∩(∁UN)C．(∁UM)∪(∁UN) D．M∪N[解析]显然2∈U,2∉M,2∉N，所以2∈∁UM,2∈∁UN，所以2∈(∁UM)∩(∁UN)；而7∈U,7∉M,7∉N，所以7∈∁UM,7∈∁UN，所以7∈(∁UM)∩(∁UN)．综上，易知{2,7}＝(∁UM)∩(∁UN)．[答案]B[点评]属性分析法的实质是利用集合中元素的确定性，即元素与集合之间的关系：属于与不属于．在推理过程中还要注意已知集合之间的关系，如a∈U，a∉A且A⊆U，则必有a∈∁UA.二、三法破解充要条件的判断问题充要条件是历年高考的必考内容，主要包括两个方面：一是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断；二是根据充要条件求解参数的取值范围，这两类问题常以填空题的形式进行考查，试题难度不大．充要条件的判断问题要注意“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”这两种叙述方式的差异，先将问题转化为第一种基本的叙述方式，然后再判断．利用充要条件之间的关系求解参数的取值范围可将其转化为两个集合之间的关系，然后构造相应的不等式进行处理．1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．其基本步骤是：[例1]设0<x<eq\f(π,2)，则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的________条件．[解析]因为0<x<eq\f(π,2)，所以0<sinx<1，不等式xsinx<1两边同乘sinx，可得xsin2x<sinx，所以有xsin2x<sinx<1.即xsinx<1⇒xsin2x<1；不等式xsin2x<1两边同除以sinx，可得xsinx<eq\f(1,sinx)，而由0<sinx<1，知eq\f(1,sinx)>1，故xsinx<1不一定成立，即xsin2x<1⇒/xsinx<1.综上，可知“xsin2x<1”是“xsinx<1”的必要不充分条件．[答案]必要不充分[点评]判断p、q之间的关系，只需判断两个命题A：“若p，则q”和B：“若q，则p”的真假．两命题的真假与p、q之间的关系如下表所示：命题A命题Bp、q之间的关系真真p为q的充分必要条件真假p为q的充分不必要条件假真p为q的必要不充分条件假假p为q的既不充分又不必要条件2.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：[例2]已知条件p：eq\f(4,x－1)≤－1，条件q：x2－x<a2－a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________．[解析]解eq\f(4,x－1)≤－1，得－3≤x<1.由x2－x<a2－a，即(x－a)[x＋(a－1)]<0，当a>1－a，即a>eq\f(1,2)时，不等式的解为1－a<x<a；当a＝1－a，即a＝eq\f(1,2)时，不等式的解为∅；当a<1－a，即a<eq\f(1,2)时，不等式的解为a<x<1－a.由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，即p为q的一个必要不充分条件，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集．当a>eq\f(1,2)时，由{x|1－a<x<a}{x|－3≤x<1}，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤1－a，,1≥a，))解得eq\f(1,2)<a≤1；当a＝eq\f(1,2)时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a<eq\f(1,2)时，由{x|a<x<1－a}{x|－3≤x<1}，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤a，,1≥1－a，))解得0≤a<eq\f(1,2).综上，a的取值范围是[0,1]．[答案][0,1][点评]判断两个命题綈p和綈q之间的关系，一般是直接利用定义法，寻找两者之间的关系，或利用集合的方法寻找与之对应的两个集合之间的关系，当两种方法都较难判断时，可转化为p、q之间的关系，再利用互为逆否命题的等价性进行判断．它们之间的对应关系如下表所示：p、q之间的关系綈p和綈q之间的关系p是q的充分不必要条件綈p是綈q的必要不充分条件p是q的必要不充分条件綈p是綈q的充分不必要条件p是q的充要条件綈p是綈q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件綈p是綈q的既不充分也不必要条件3.集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：[例3]若A：log2a<1，B：x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的________条件．[解析]由log2a<1，解得0<a<2，所以满足条件A的参数a的取值集合为M＝{a|0<a<2}；而方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f(0)<0，即a－2<0，解