材料力学(第三版) 课件 第4章 弯曲内力

第4章弯曲内力4.1引言4.2梁的计算简图4.3弯曲内力及内力图4.4剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系4.5平面刚架与曲杆的内力习题

4.1引言

工程中存在着大量的弯曲构件，如图4-1所示的火车轮轴、图4-2所示的造纸机上的压榨辊轴、图4-3所示的行车大梁等都是弯曲构件的实例。图4-1

图4-2图4-3

一般来说，当杆件承受垂直于轴线的外力，或在其轴线平面内作用有外力偶时，杆的轴线将由直线变为曲线。以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。以弯曲为主要变形

的杆件称为梁。

工程中常见梁的横截面往往具有对称轴(见图4-4(a)~(d))，由对称轴和梁的轴线组成的平面，称为纵向对称面(见图4-4(e))。

图4-4

4.2梁的计算简图

1.作用在梁上的外载荷作用在梁上的外载荷有以下三种：(1)集中载荷：若作用在梁上的横向力分布范围很小，可以近似地当作作用在一点的集中载荷，用F表示。(2)集中力偶：作用在微小梁段上的外力偶，可以近似地看作是作用在梁上一点的集中力偶，用M或Me表示。(3)分布载荷：沿梁轴线连续分布在较长范围内的横向力，称为分布载荷。

2.梁支座的简化

梁的支座可以简化为以下三种形式：

(1)活动铰支座：如图4-5(a)所示，它对梁的约束力FR沿支承面法线方向，图4-5(a)给出了活动铰支座及其约束力简图。

(2)固定铰支座：如图4-5(b)所示，在研究平面问题时，固定铰支座的约束力可用平面内两个分力表示，一般情况下，用沿梁轴方向的约束力FRx与垂直于梁轴方向的约束力FRy来表示。

(3)固定端：如图4-5(c)所示，在研究平面问题时，相应约束力用三个分量表示，即沿梁轴方向的约束力FRx、垂直于梁轴方向的约束力FRy和位于纵向对称面内的约束力偶Me。

图4-5

3.静定梁的基本形式

根据梁的支承情况，静定梁的基本形式可分为以下三种：

(1)简支梁：一端为固定铰支座支承，另一端为活动铰支座支承的梁称之为简支梁，如图4-6(a)所示。图4-2所示造纸机上的压榨辊轴可简化为简支梁。

(2)外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁称为外伸梁，如图4-6(b)所示。图4-1所示火车轮轴可简化为两端外伸梁。

(3)悬臂梁：一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁，如图4-6(c)所示。高大塔器可简化为下端固定的悬臂梁。

图4-6

上述三种梁都可以用静平衡方程来计算约束力，属于静定梁。有时为了保证梁的强度和刚度，为一个梁设置较多的支座，从而使梁的约束力数目多于独立静平衡方程数目，这时单凭静力学知识就不能确定全部约束力，这种梁称为静不定梁(超静定梁)。本章仅限于研究静定梁的内力。

4.3弯曲内力及内力图

4.3.1梁横截面上的内力———剪力与弯矩梁的外力确定后，就可用截面法分析梁的内力。如图4-7(a)所示简支梁，用截面法确定距A端为x处截面m-m上的内力。假想沿m-m截面将梁截开，分成左右两段，任选其中一段，例如左段(见图4-7(b))进行研究。在左段梁上作用有外力FAy与F1，为了保持左段平衡，m-m截面上一定存在内力。

为了分析其内力，将作用在左段梁上的所有外力均向截面形心C简化，得主矢F'S和主矩M'。由于外力均垂直于梁轴，主矢F'S也垂直于梁轴。由此可见，当梁弯曲时，横截面上必然同时存在两种内力分量：与主矢平衡的内力FS；与主矩平衡的内力偶矩M。这种作用线与横截面相切的内力称为剪力，记为FS；作用在纵向对称面的内力偶矩称为弯矩，记为M。

根据左段梁的平衡方程

可得

剪力FS的大小等于左段梁上所有横向外力的代数和，弯矩M的大小等于左段梁上所有外力对形心C取矩的代数和。

同理，如果以右段梁为研究对象(见图4-7(c))，并根据右段梁的平衡条件计算m-m截面的内力，将得到与左段大小相同的剪力和弯矩，但是其方向相反。

图4-7

为了使选择不同研究对象得到的同一横截面上的剪力和弯矩，不但在数值上相同，而且正负号也一致，剪力和弯矩的正负号需根据变形来确定。规定如下：在梁内欲求内力截面的内侧切取微段，凡使该微段沿顺时针方向转动的剪力规定为正(见图4-8(a))，反之为负；使微段产生凸向下变形的弯矩规定为正(见图4-8(b))，反之为负。按此规定，图4-7(b)、(c)所示的m-m截面上的剪力与弯矩均为正值。

图4-8

例4-1图4-9所示外伸梁上的外载荷均为已知，试求图示各指定截面的剪力和弯矩。图4-9

解(1)求梁的约束力。由静平衡方程可得

解得

(2)计算各指定截面的内力。对于截面55，取该截面右侧部分为研究对象，其余各截面均取相应截面左侧部分为研究对象。根据静平衡方程可求得

1-1截面：

(因为11截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。)

2-2截面

3-3截面：

4-4截面：

55截面：

4.3.2剪力图与弯矩图

一般情况下，在梁的不同横截面上，剪力与弯矩均不相同，即剪力与弯矩随横截面位置的不同而变化。为了描述剪力与弯矩沿梁轴线的变化情况，取梁的轴线为x轴，以坐标x表示横截面的位置，剪力、弯矩可表示成横截面位置x的函数，即

上述关系式分别称为剪力方程和弯矩方程。

描述剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法是图示法。与轴力图、扭矩图的表示方式类似，作图时，以x为横坐标轴，表示横截面位置，以FS或M为纵坐标轴，分别绘制剪力、弯矩沿梁轴线变化的曲线，上述曲线分别称为剪力图与弯矩图。

例4-2某填料塔塔盘下的支承梁，在物料重力的作用下，可以简化为一承受均布载荷的简支梁，如图4-10(a)所示，在全梁长度l上承受集度为q的均布载荷作用，试作梁的剪力、弯矩图。图4-10

例4-3图4-11(a)所示简支梁，在梁上C点处承受集中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。图4-11

解

(1)计算约束力。以梁AB为研究对象，对B、A两点分别列出矩式平衡方程∑MB=0和∑MA=0，可解得A端和B端的约束力分别为

例4-4-图4-12(a)所示悬臂梁，承受集中载荷F与集中力偶Me=Fa作用，试作梁的剪力、弯矩图。图4-12

解(1)建立剪力、弯矩方程。由于在截面C处作用有集中力偶，故应将梁分成AC、CB两段。对于AC段，选坐标x1，可以看出，AC段的剪力、弯矩方程分别为

对于CB段，选坐标x2，可以看出，CB段的剪力、弯矩方程分别为

(2)画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画出剪力图(见图4-12(b))；根据式(b)、(d)画出弯矩图(见图4-12(c))。

由剪力、弯矩图可以看出，在集中力偶作用处，左右两侧横截面上的剪力相同，而弯矩发生突变，突变量等于该力偶矩的大小。

例4-5图4-13(a)所示的简支梁，承受集中载荷F=qa与半跨度均布载荷q的作用，试作梁的剪力、弯矩图。

解(1)计算约束力。由平衡方程∑MB=0与∑MA=0可分别计算出A端、B端约束力分别为

方向如图4-13(a)所示。图4-13

4.4

剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系

图4-14(a)所示的梁，承受集度为q(x)的分布载荷作用。在此规定载荷集度q向上为正，坐标轴y向上为正，x向右为正。为了研究剪力与弯矩沿梁轴的变化，在梁上切取微段dx(见图4-14(b))。左截面上的剪力和弯矩分别为FS和M，由于微段上作用有连续变化的分布载荷，内力沿梁轴也将连续变化，因此，右截面上的剪力和弯矩分别为FS+dFS与M+dM。

图4-14

在上述各力作用下，微段处于平衡状态，y轴方向的静平衡方程可写为

可得

微段上的所有力对右侧面形心C取矩的代数和为零，即

略去高阶微量q(dx)2/2，可得

将式(4-2)再对x求导，并考虑到式(4-1)，可得

以上三式即为直梁的剪力FS、弯矩M和载荷集度q(x)间的微分关系。

剪力、弯矩与载荷集度间微分关系的几何意义为：剪力图某点处的切线斜率，等于梁上相应截面处的载荷集度；弯矩图某点处的切线斜率，等于相应截面处的剪力；而弯矩图某点处的二阶导数，则等于相应截面处的载荷集度。

特别注意：载荷集度q规定向上为正，x轴向右为正。

根据上述微分关系，可以总结出剪力、弯矩图的下述规律：

(1)无载荷作用的梁段：因为q(x)=0，即dFS/dx=0，故FS(x)=常数，则该梁段的剪力图为水平直线。又因为FS(x)=常数，故dM/dx=FS(x)=常数，则该段梁弯矩图的切线斜率为常数，弯矩图为一斜直线。由此可见，当梁上仅有集中载荷作用时，其剪力与弯矩图一定是由直线构成的(见表4-1(1))。

(2)均布载荷作用的梁段：因为q(x)=常数≠0，即

不为零的常数，故剪力图为斜直线，而弯矩图为二次抛物线。当均布载荷向上即q>0时，剪力图为递增斜直线，弯矩图为开口向上的抛物线；当均布载荷向下即q<0时，剪力图为递减斜直线，弯矩图为开口向下的抛物线。此外，由于dM/dx=FS，因此，在剪力FS=0的截面处，弯矩取极值，弯矩图存在相应的极值点(见表4-1(2))。

(3)集中力作用处：在集中力作用处，剪力图有突变，突变量等于集中力的大小；弯矩图有折角(见表4-1(3))。

(4)集中力偶作用处：在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变量等于集中力偶矩的大小(见表4-1(4))。

上述结论可归结为表4-1。

例4-6图4-15(a)所示外伸梁，承受均布载荷q、集中载荷F和集中力偶Me作用，其中F=qa，Me=qa2，试作梁的剪力、弯矩图，并检验其正确性。图4-15

例4-7一外伸梁受均布载荷和集中力偶作用，如图4-16(a)所示。试作梁的剪力、弯矩图。图4-16

解(1)求约束力。以悬臂梁为研究对象，根据静平衡方程可求得A、B两处的约束力分别为

(2)绘制剪力图。根据梁的受力情况，将梁分为CA、AD、DB三段，CA段上作用有均布载荷，故剪力图为一条斜直线；AD、DB段没有载荷作用，AB间也没有集中力作用，故剪力图为一条水平直线。为准确地画出剪力图，需求出以下分段截面上的剪力值：

(3)绘制弯矩图。CA段上作用有向下的均布载荷，弯矩图为开口向下的抛物线；AD、DB上无载荷，其弯矩图为斜直线。为准确画出各段的弯矩图，需求出以下各分段截面上的弯矩：

根据以上数据可画出梁的弯矩图(见图4-16(c))。

例4-8利用微分关系画出图4-17所示组合梁的剪力图与弯矩图。图4-17

解(1)计算支反力。梁AC受力如图4-17(a)所示，由平衡方程得A、C处的约束反力为

梁CD(含铰链C)受力如图4-17(b)所示，由平衡方程得D处的约束反力为

(2)画剪力图。将整个组合梁划分成AB、BC与CD三段，因为梁上仅作用集中载荷，所以各梁段的剪力图均为水平线，而弯矩图则为斜直线。

利用截面法，求得各段起点截面的剪力分别为

上述截面的剪力值，在剪力图中对应a、b与c点，如图4-17(c)所示。于是，在AB、BC与CD段内，分别过a、b与c点画水平直线，即得梁的剪力图。

(3)画弯矩图。如上所述，各段梁的弯矩图均为斜直线。利用截面法，求得各段起点与终点截面的弯矩分别为

4.5平面刚架与曲杆的内力

工程中，某些机器的机身或机架的轴线是由几段直线组成的折线，如液压机机身、轧钢机机架、钻床床架(见图4-18)等。在这种结构中，杆与杆的交点称为节点。由于其刚度很大，受力前后节点处各杆间的夹角保持不变，即杆与杆在节点处不发生相对转动，因此这样的节点称为刚节点。由刚节点连接杆件组成的结构称为刚架。刚节点处的内力通常包含轴力、剪力和弯矩。

图4-18

工程中还有一些构件，其轴线是一条平面曲线，称为平面曲杆，如活塞环、链环、拱(见图4-19)等。平面曲杆横截面上的内力通常包含轴力、剪力和弯矩。下面举例说明平面刚架和平面曲杆内力的计算方法和内力图的绘制。图4-19

1.平面刚架

平面刚架上的轴力和剪力，其正负规定与直杆相同。而弯矩没有正负号的规定，弯矩图画在杆件受压纤维的一侧即可。

例4-9图4-20(a)所示刚架ABC，设在AB段承受均布载荷q作用，试分析刚架的内力，画出内力图。

图4-20

2.平面曲杆

平面曲杆横截面上轴力和剪力正负号的规定与直杆相同。弯矩正负号的规定为：使轴线曲率增加的弯矩为正，反之为负。画内力图时，以杆的轴线为基准线，可将正轴力和正剪力画在曲杆内凹的一侧，将弯矩图画在曲杆受压的一侧，并以曲率半径方向的值度量其大小。

例4-10图4-21所示的曲杆轴线为四分之一圆弧，A处受力F作用。试画出曲杆的弯矩图。图4-21

解(1)内力分析。为了分析内力，在极角为φ的任意横截面处假想地将曲杆切开，选取上段AC为研究对象，如图4-21(b)所示。AC在力F及曲杆内力的作用下应处于平衡状态，曲杆内力包括轴力FN、剪力FS、弯矩M。根据静平衡方程可得内力方程分别为

(2)画出内力图。根据内力方程即可画出曲杆的内力图，其弯矩图如图4-21(c)所示。作图时，以曲杆的轴线为基线，并将与所求弯矩相应的点，描在轴线的法线上。弯矩图画在曲杆受压的一侧。

4-1试计算题4-1图所示各梁1、2、3、4截面的剪力与弯矩(2、3截面无限接近于C,1截面无限接近于左端部)。题4-1图

4-2试列出题4-2图所示各梁的剪力、弯矩方程,作剪力、