《高等数学》同济六版教学课件第1章函数与极限

《高等数学》同济六版第1章函数与极限本章将系统地介绍函数的概念、常见初等函数类型、函数运算、以及极限的定义和性质。这些基础知识是学习后续微积分理论的基础。通过本章的学习，学生将掌握函数及其性质的基本概念，为后续的微分和积分理论奠定坚实的基础。ppbypptppt1.1函数的概念1什么是函数？函数是一种数学关系，将一个变量(自变量)映射到另一个变量(因变量)。2函数的定义函数是一种将某一(组)元素与另一(组)元素对应起来的数学关系。3函数的表示方法函数可以用数学公式、图像、表格等方式来表示。函数是高等数学的核心概念之一。了解函数的定义、表示方法和分类是学习数学分析的前提。接下来我们将系统地介绍函数的基本知识。1.1.1函数的定义1什么是函数？数学关系2函数的特征对应关系3如何定义函数集合之间的映射函数是一种将某一集合中的元素与另一集合中的元素对应起来的数学关系。它具有唯一性,即每个自变量值都对应有唯一的因变量值。函数的定义需要明确指定定义域、值域以及自变量和因变量之间的对应关系。1.1.2函数的表示方法1数学公式函数最常见的表示方式是通过数学公式,如f(x)=2x+3。这种方式清晰简洁,可以精确地描述函数的关系。2函数图像函数也可以用图像的形式表示,绘制出函数在坐标平面上的图像。这样可以直观地展现函数的性质和变化趋势。3函数表格将函数对应关系用表格形式列出,可以清楚地展示函数在离散点上的取值。这种方式适用于难以用解析式表示的函数。1.1.3函数的分类按变量个数分类单变量函数、多变量函数按表达式复杂度分类初等函数、超越函数按定义域分类离散函数、连续函数1.2基本初等函数多项式函数最基本的初等函数类型,由变量的整次幂组成,如f(x)=2x³-5x+3。有理函数分子分母都是多项式的商,如f(x)=(x²+2x-1)/(3x-1)。幂函数以变量为底数的指数函数,如f(x)=x²,f(x)=x⁴。指数函数以常数为底数的指数函数,如f(x)=2^x,f(x)=e^x。对数函数反函数对应于指数函数,如f(x)=log₂x,f(x)=lnx。三角函数描述角度与三角形边长关系的周期函数,如f(x)=sin(x),f(x)=cos(x)。1.2.1多项式函数1什么是多项式函数？由变量的整次幂组成的函数。2多项式函数的一般形式f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+aₙxⁿ3多项式函数的特点连续、可导、可积。具有良好的代数性质。多项式函数是高等数学中最基本和最重要的函数类型之一。它由变量的整次幂项组成,形式简单但表达能力较强。多项式函数具有良好的连续性和代数性质,是许多复杂函数的基础。接下来我们将深入探讨多项式函数的性质和应用。1.2.2有理函数1什么是有理函数?分子分母都是多项式的商函数。2有理函数的一般形式f(x)=(P(x))/(Q(x))3有理函数的性质可能存在间断点,连续性受限。有理函数是将多项式函数作为分子和分母的比值所构成的函数。它具有分子分母都是多项式的特点,因此表达能力较强,在许多领域应用广泛。但是由于分母可能为0,有理函数的连续性受到限制,需要重点研究它的间断点和定义域等性质。1.2.3幂函数1什么是幂函数？幂函数是以变量为底数的指数函数,形式为f(x)=x^n。2幂函数的性质幂函数具有非负实数域、连续性和可导性等特点,在数学分析中有重要应用。3幂函数的分类包括正整数幂、负整数幂和有理数幂三类,涵盖了广泛的函数类型。1.2.4指数函数1指数函数的定义以常数为底数的幂函数。2指数函数的基本形式f(x)=a^x3指数函数的性质定义域为实数域,图像为单调增函数。指数函数是以常数为底数的幂函数,是高等数学中最重要的超越函数之一。它具有良好的单调性和连续性,在许多科学技术领域都有广泛应用,例如物理、化学、生物等。接下来我们将深入探讨指数函数的性质和特点。1.2.5对数函数什么是对数函数？对数函数是反函数对应于指数函数,通过幂运算与指数运算相互转化。对数函数的基本形式f(x)=log₂x、f(x)=lnx等,表示以2和e为底的对数函数。对数函数的性质定义域为正实数域,图像为单调增函数。具有良好的代数性质。1.2.6三角函数1三角函数的定义描述角与边长关系的周期函数,如正弦、余弦、正切等。2三角函数的性质周期性、奇偶性、单调性等特点,在几何与物理中广泛应用。3三角函数的应用测量角度、分析周期运动、处理电磁波等领域广泛应用。三角函数是描述角度与三角形边长关系的一类重要函数,它具有周期性、奇偶性和单调性等特点。三角函数在测量角度、分析周期性物理现象、处理电磁波等领域广泛应用,是高等数学中最基本和最重要的函数类型之一。我们将进一步探讨三角函数的性质和应用。1.3函数的图像1函数图像的绘制通过坐标轴将函数的定义域和值域可视化,为函数的性质分析提供依据。2图像的几何特征函数图像呈现出的曲线形状反映了函数的单调性、奇偶性等性质。3图像的代数特征函数图像的各种几何特征与函数表达式中的系数和指数等代数要素密切相关。1.3.1函数图像的绘制1选定坐标系统根据函数的定义域和值域选取合适的直角坐标系。2确定坐标轴刻度依据函数的取值范围确定坐标轴的比例尺。3描点法绘制图像计算函数在不同自变量取值下的函数值,并在坐标系中标出对应的点。4连线形成曲线将标出的点依次连接,即可得到函数的图像曲线。通过将函数图像绘制在坐标平面上,可以对函数的整体特性有更直观的认识。绘制函数图像的主要步骤包括：选定合适的坐标系统、确定坐标轴的刻度范围、采用描点法计算函数值并连线形成曲线。这个过程能够将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质可视化展现出来,为后续的函数分析奠定基础。1.3.2函数图像的性质几何特征函数图像的曲线形状反映了函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。代数特征函数图像的各种几何特征与函数表达式中的系数、指数等代数要素密切相关。交点与跨越函数图像与坐标轴的交点反映了函数的零点和符号变化,而跨越轴反映了函数的取值范围。1.4函数的运算1函数的代数运算可以对函数进行加、减、乘、除等基本代数运算,得到新的函数。运算规则与数字运算类似。2函数的复合运算将两个或多个函数组合起来形成新的复合函数,展现了函数的"组合性"特点。3反函数的构造对某些特殊函数,可以构造出其反函数,实现函数值和自变量的互换。1.4.1函数的代数运算1加法运算两函数逐点相加2减法运算两函数逐点相减3乘法运算两函数逐点相乘4除法运算两函数逐点相除除了函数的复合运算外,我们还可以对函数进行基本的代数运算,包括加法、减法、乘法和除法。这些运算规则与数字运算类似,只是要将运算对象由数字变为函数。通过这些基本的代数运算,我们可以构造出更加复杂的新函数,拓展函数的应用范围。1.4.2函数的复合运算1函数复合的定义将两个或多个函数有序地组合在一起,形成新的复合函数。2复合函数的计算以内层函数输出作为外层函数的输入参数,按顺序执行计算。3复合函数的性质保持原有函数的定义域和值域,但组合后的新函数可能有不同的性质。函数的复合运算是指将两个或多个函数有序地组合在一起,形成新的复合函数。复合运算的过程是将内层函数的输出作为外层函数的输入参数,依次执行计算。虽然复合后的新函数保留了原有函数的定义域和值域,但其性质可能会发生变化,如单调性、奇偶性等。这种函数组合的方式为我们构建更加复杂的数学模型提供了基础。1.4.3反函数什么是反函数反函数是与原函数互为对应的逆映射关系,将函数值和自变量互换。反函数的性质反函数具有单调性、奇偶性和周期性等特点,形状与原函数对称。反函数的构造通过分析函数表达式中的代数关系,可以构造出特殊函数的反函数。1.5极限的概念1极限的定义极限描述一个数值或函数当自变量趋向某个值时,函数值也趋向于某个确定的值的过程。2极限性质极限具有唯一性、局部有界性、保号性等特点,为后续微分积分理论的基础。3极限的计算通过函数值的求极限,可以得出复杂函数的取值和趋势,为分析函数性质提供依据。1.5.1极限的定义1趋近概念当自变量逼近某个值时,函数值也逼近于某个特定的值。2精确定义极限描述了函数值在任意小的邻域内都能无限接近于某个确定的值。3几何体验极限概念可以形象地理解为曲线图像在某点趋于垂直于x轴。极限的概念用数学语言来描述就是:当自变量x接近某个值a时,函数f(x)的值也无限接近于某个确定的值L。这个值L就是函数f(x)在x=a处的极限。极限概念反映了函数值在接近某点时的变化趋势,为后续微分、积分等理论奠定了基础。1.5.2极限的性质唯一性在给定的自变量趋近条件下,函数的极限值都是唯一确定的。局部有界性当自变量在某个邻域内变化时,函数值也会在某个有限区间内变化。保号性如果函数值在自变量趋近某点时保持同号,那么其极限也具有相同的符号。1.5.3极限的计算1代入法将自变量代入函数表达式中,直接计算其极限值。对于一些基本函数,这种方法比较简单直接。2等价无穷小替换利用已知的等价无穷小替换,化简表达式从而简化计算。这种方法适用于更复杂的函数极限。3夹逼准则当函数被两个夹紧的函数包围时,可以利用夹逼准则推导出函数的极限值。这种方法适用于复杂情况。1.6无穷大与无穷小1无穷大的概念无穷大描述一个数值或函数的取值随自变量的变化而不断增大的情况。2无穷小的概念无穷小描述一个数值或函数的取值随自变量的变化而无限接近于0。3无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小是对立统一的概念,两者具有相互依存的内在联系。1.6.1无穷大的概念1无穷大的定义超出有限大小的数值或函数取值2无穷大的表示用∞符号表示,表示超过任何有限大小3无穷大的性质无穷大不具有加减乘除等算术运算性质无穷大是数学中描述某些量值超越有限大小的概念。在数学中,我们通常用无穷大(∞)来表示这种超出有限范围的数值或函数取值。虽然无穷大不能与有限数进行算术运算,但它对数学分析和建模非常重要,为一些极限、连续性等概念奠定了基础。1.6.2无穷小的概念1无穷小的定义比任何有限小的数值或函数取值2无穷小的表示用0作为无穷小的符号表示3无穷小的性质无穷小可以参与各种算术运算无穷小是一个与无穷大相对应的数学概念,用于描述比任何有限小的数值或函数取值。我们通常用0来表示无穷小。与无穷大不同的是,无穷小可以参与加减乘除等基本算术运算。无穷小的这种性质为我们进一步探讨函数极限、微分等重要理论奠定了基础。1.6.3无穷大与无穷小的关系1同一性无穷大和无穷小是同一数学概念的两个相互对应的形态。2对立统一二者是相互依存、相互制约的数学概念,彼此都包含了对方的内涵。3数学分析基础无穷大与无穷小的关系是微积分、极限等理论的基础和前提。无穷大与无穷小虽然看起来是对立的概念,但实际上它们是同一数学概念的两个相互对应的形态。在数学分析中,它们的关系是相辅相成、相互依存的。无穷大与无穷小的这种内在联系为极限、连续性等理论的建立奠定了基础。1.7极限存在的充要条件连续性函数在该点连续是极限存在的必要条件。连续性意味着函数值的变化是连续和趋