2025届新高考数学冲刺复习：解三角形

2025届新高考数学冲刺复习解三角形考点清单题型清单目录考点1正弦定理、余弦定理考点2解三角形及其综合应用题型1三角形形状的判断题型2三角形的最值和范围问题题型3三角形中线及角平分线问题题型4解三角形的实际应用考点1正弦定理、余弦定理

正弦定理余弦定理内容

=

=

=2Ra2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC变形公式a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=

,sinB=

,sinC=

;

=2RcosA=

;cosB=

;cosC= 考点2解三角形及其综合应用1.在△ABC中,已知a,b和A,解的情况如下:

A为锐角A为钝角或

直角

图形

关系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解2.三角形中常用的结论(1)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sinA>sinB.(2)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC

;sin

=cos

;cos

=sin

.(3)在斜△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA·tanBtanC.(4)三角形中的射影定理:a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.3.三角形的面积公式设△ABC的三边为a,b,c,所对的三个内角分别为A,B,C,其面积为S,△ABC的外接圆半径

为R,内切圆半径为r.(1)S=

ah(h为BC边上的高);(2)S=

absinC=

acsinB=

bcsinA;(3)S=

(a+b+c)r(r为△ABC内切圆的半径);(4)S=

.4.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线

在水平线上方的角叫仰角,目标视线在水平线下方的角叫俯角(如图a).

(2)方位角:方位角是指从某点的正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图b).(3)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.即练即清1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)(1)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.

(

)(2)在△ABC中,若sinA>sinB,则a>b.

(

)(3)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.

(

)(4)在△ABC中,若b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形.

(

)2.已知a=4,b=3

,A=45°,则满足该条件的△ABC有

个.×√××2题型1三角形形状的判断

例1

在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·sin(A+B),则△ABC的形状为

(

)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解析

解法一(边化角)已知等式可化为a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)],∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosB·sinA,∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,∵A,B均为△ABC的内角,∴sinA≠0,sinB≠0,∴sin2A-sin2B=0,即sin2A=sin2B.由A,B∈(0,π)得0<2A<2π,0<2B<2π,得2A=2B或2A+2B=π,(注意有两种情况)即A=B或A+B=

.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D.解法二(角化边)同解法一可得,2a2cosA·sinB=2b2cosBsinA.由正弦、余弦定理,可得

a2·

·b=b2·

·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0.∴a=b或a2+b2=c2,(注意有两种情况)∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.

答案

D易错警示1.判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只含角的式子

然后判断,注意不要轻易两边同除以一个式子.2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隐含条件.另外,在变形过

程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.即练即清1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中错误的是

(

)A.若

=

=

,则△ABC一定是等边三角形B.若bcosB=acosA,则△ABC一定是等腰三角形C.若acosB+bcosA=a,则△ABC一定是等腰三角形D.若b2+c2<a2,则△ABC一定是钝角三角形B题型2三角形的最值和范围问题1.三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相

关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围.(2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形

式.(3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题,一定要搞清变量的范围;若已知边的范围,求角的范围可利用余

弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0<A<π,|b-c|<a<b+c,三角形中大边对大角等.例2

(2020课标Ⅱ理,17,12分)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.

解析

(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB,∴cosA=

=-

.∵A∈(0,π),∴A=

.(2)解法一(利用正弦定理将边化为角)由正弦定理及(1)得

=

=

=2

,从而AC=2

sinB,AB=2

sin(π-A-B)=3cosB-

sinB.故BC+AC+AB=3+

sinB+3cosB=3+2

sin

.又0<B<

,所以当B=

时,△ABC周长取得最大值3+2

.解法二(利用余弦定理和基本不等式求解)设角A,B,C的对边分别为a,b,c,∵a=3,A=

,又a2=b2+c2-2bccosA,∴9=b2+c2+bc=(b+c)2-bc≥(b+c)2-

(b+c)2,∴b+c≤2

(当且仅当b=c时,“=”成立),则△ABC周长的最大值为3+2

.即练即清2.(2019课标Ⅲ理,18,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin

=bsinA.(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.解析

(1)由题设及正弦定理得sinAsin

=sinBsinA.因为sinA≠0,所以sin

=sinB.由A+B+C=180°,可得sin

=cos

,故cos

=2sin

cos

.因为cos

≠0,故sin

=

,因此B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=

a.由正弦定理得a=

=

=

+

.由△ABC为锐角三角形,知0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90,故

<a<2,从而

<S△ABC<

.因此,△ABC面积的取值范围是

.题型3三角形中线及角平分线问题一、中线问题1.中线长定理:在△ABC中,AD是边BC上的中线,则AB2+AC2=2(BD2+AD2).

推导过程:在△ABD中,cosB=

,在△ABC中,cosB=

,联立两个方程可得:AB2+AC2=2(BD2+AD2).2.向量法:

=

(

+

+2|

||

|·cos∠BAC).推导过程:易知

=

(

+

),则

=

(

+

)2=

+

+

|

|·|

|cos∠BAC,所以

=

(

+

+2|

||

|·cos∠BAC).二、角平分线问题如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠BAC、B,C所对的边分别为a,b,c.1.内角平分线定理:AD为△ABC的内角∠BAC的平分线,则

=

.2.因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,所以

c·ADsin

+

b·ADsin

=

bcsin∠BAC,所以(b+c)AD=2bccos

,整理得AD=

(角平分线长公式).例3

(2023河南开封模拟预测,10)在锐角△ABC中,BC=4,sinB+sinC=2sinA,则中线

AD长的取值范围是

(

)A.(2,2

]

B.[2,

)

C.[2

,4)

D.[2

,

)

解析

令△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,由sinB+sinC=2sinA及正弦定理得b+c=2a=8,即c=8-b,锐角△ABC中,cosA=

>0,即b2+c2-a2>0,同理,a2+b2-c2>0,c2+a2-b2>0,于是

(保证△ABC的三个角均为锐角)解得3<b<5,又线段AD为△ABC边BC上的中线,则2

=

+

,(核心技巧:向量法)又

=

-

,于是4

+

=

+

=2

+2

,因此|

|=

=

=

,当b=4时,|

|min=2

,|

|<

,所以中线AD长的取值范围是[2

,

).

答案

D即练即清3.(2023浙江浙大附中期中,16)在△ABC中,已知角A=

,角A的平分线AD与边BC相交于点D,AD=2,则AB+2AC的最小值为

.答案

6+4

题型4解三角形的实际应用

例4

(2021全国甲,8,5分)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程

为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一

个示意图如图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,

∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角

为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(

≈1.732)

(

)

A.346

B.373