广东省广州市某中学2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷（含答案与解析）

绝密★启用前

2022~2023学年度上期期末教学质量检测试卷

九年级数学

（时间：100分钟满分：120分）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。

3.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题（本大题共10小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在下列图案中，是中心对称图形的是（）

2.下列事件中，必然事件是（）

A.掷一枚硬币，正面朝上

B.抛出的篮球会下落

C.投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数

D.任意三条线段可以组成一个三角形

3.将抛物线y=x2平移得到抛物线丫=（x+2）2,则这个平移过程正确的是（）

A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位

C.向上平移2个单位D.向下平移2个单位

3

4.关于反比例函数y=3的图象性质，下列说法不无碘的是（）

A.图象经过点（1,3）B.图象分别位于第一、三象限

C.图象关于原点对称D.当x<0时，y随x的增大而增大

5.已知0。半径为4,圆心。在坐标原点上，点尸的坐标为（3,4）,则点P与O。的位置关系是（）

A.点P在内B.点P在。。上C.点P在。。外D.不能确定

6.一个袋子中装有6个红球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同.在看不到球

的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（）

7.二次函数旷=/-6尤+9与坐标轴交点个数是（）

A.只有一个交点B.有两个交点C.没有交点D.有三个交点

8.如图，点。是正五边形ABCOE的中心，。。是正五边形的外接圆，NADE的度数为（）

9.如图，△ABC中，ZBAC=30°,AABC绕点A逆时针旋转至△AED,连接对应点CD,AE垂直平分

CD于点F,则旋转角度是（）

10.对称轴为直线x=l的抛物线y=ac2+bx+c（a,b,c为常数，且如图所示，小明同学得出了

以下结论：0abc<0,②*>4ac，③4a+2Z?+c>0,④3a+c>0,⑤。+匕〈加（卬"+匕）（”为任意

实数），⑥当％<-1时，y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为（）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

5）关于原点对称点的坐标为

12.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用.如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用

黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷

点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为

_________cm2•

回

回

13.若一个圆锥底面半径为3,母线长4,则圆锥的侧面积是.(结果保留万)

14.如图，在中，己知NACB=130。，N84c=20°,BC=3,以点C为圆心，CB为半径的圆交

k

15.如图，AABC是等腰三角形，A5过原点O,底边BC〃x轴，双曲线y=一过A,B两点，过点C作

x

8〃y轴交双曲线于点。，若288=16,则&的值是.

16.如图，在正方形ABC。中，AB=4,G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2,连接

DE,将线段QE绕点。逆时针旋转90。得到线段。F,连接CF,则线段CF长的最小值为

三、解答题(本大题共7小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.己知关于x的反比例函数丁=个”的图象经过点4(3,4).

(1)求这个反比例函数的解析式；

(2)当l<x<4时，求y取值范围.

18.如图，在平面直角坐标系中，已知点AOAB的三个顶点坐标分别是0(0,0),A(0,3),8(—2,1),将

△Q46绕。按顺时针方向旋转90°.

(1)写出点A1，片的坐标.

(2)求旋转过程中点A经过的路径长.

19.如图，四边形ABC。内接于OO,E为6C延长线上的一点，点C为5co的中点.若NDCE=112°,

求NB4c的度数.

20.在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别.

(1)随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？

(2)随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出

现的结果，并求两次取出的是不同颜色球的概率.

21.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元,

且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，

每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。设每天销售量为y本，销售单价为x元.

(1)请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润卬元最大？最大利润是多少

元？

22.如图，己知A8是。。的直径，C是上的点，点。在AB的延长线上，ZBCD=ZBAC.

D

B

(1)求证：CO是。。的切线;

(2)若"=30°,BD=4,求图中阴影部分的面积.

23.如图，在平面直角坐标系中，己知点8的坐标为(-1,0),OA=OC=5OB,抛物线

丁=办2+瓜+。(4。())图象经过A,B,C三点.

(2)求抛物线的解析式；

(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDLAC于点。,当尸。的值最大时，求此时点

P的坐标及PO的最大值.

参考答案

一、选择题(本大题共10小题，共40分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

1.在下列图案中，是中心对称图形的是()

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义进行分析即可.

【详解】A、不是中心对称图形.故A选项错误；

B、不是中心对称图形.故B选项错误；

C、是中心对称图形.故C选项正确；

D、不是中心对称图形.故D选项错误.

故选C.

【点睛】考点：中心对称图形.

2.下列事件中，必然事件是（）

A.掷一枚硬币，正面朝上

B.抛出的篮球会下落

C.投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数

D.任意三条线段可以组成一个三角形

【答案】B

【解析】

【分析】根据必然事件的定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；

B、抛出的篮球会下落，是必然事件，故本选项符合题意；

C、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故本选项不符合题意；

D、任意三条线段可以组成一个三角形，是随机事件，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不

确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键.

3.将抛物线y=x2平移得到抛物线丫=（x+2）2,则这个平移过程正确的是（）

A.向左平移2个单位B,向右平移2个单位

C.向上平移2个单位D.向下平移2个单位

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：根据抛物线平移规律即可得答案，故答案选A.

考点：抛物线的平移规律.

4.关于反比例函数y=1的图象性质，下列说法不正确的是（）

x•••

A图象经过点（1,3）B.图象分别位于第一、三象限

C.图象关于原点对称D,当x<0时，y随x的增大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】依据反比例函数图象的性质作答.

3

【详解】解：A.当x=l时，代入反比例函数y=±得，y=3,正确，故本选项不符合题意；

x

B.左=3>0,图象位于第一、三象限，正确，故本选项不符合题意；

3

C.反比例函数的图象是双曲线，图象关于原点成中心对称，正确，故本选项不符合题意；

x

D.攵=3>0,在第一、三象限内y随x增大而减小，所以当x<0时，），随x的增大而减小，原说法错

误，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质：①当上>0时，图象分别位于第一、三象限；当&<0时，图

象分别位于第二、四象限.②当％>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当％<0时，在每一个象

限，y随x的增大而增大.

5.已知半径为4,圆心0在坐标原点上，点p的坐标为（3,4）,则点p与O。的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在上C.点P在外D.不能确定

【答案】C

【解析】

【分析】先根据勾股定理求出OP长，再与O。的半径为5相比较即可.

【详解】解：的坐标为（3,4）,

.•.。。="+42=5,

•••0。的半径为4,5>4,

.••点P在外.

故选：C.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟知点与圆的三种位置关

系.

6.一个袋子中装有6个红球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同.在看不到球

条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（）

1112

A.—B.-C."D.—

9323

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率.6个黑球3个白球一共有9个球，所

31

以摸到白球的概率是

93

故选B.

考点：概率公式.

7.二次函数y=Y—6尤+9与坐标轴的交点个数是()

A.只有一个交点B.有两个交点C.没有交点D.有三个交点

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，当y=0时，判断方程6x+9=0的根的情况，可确定

与x轴交点的个数，当后0,可确定与x轴的交点即可解答.

【详解】解：当y=0时，方程为6X+9=0，

,•*«=1,b=-6,c=9,

A=/—4ac=(-6)2—4x1x9=0,

...二次函数y=/-6x+9的图象与x轴有一个交点

当x=0时，可得)=9,即(0,9)

...二次函数y=/一6尤+9的图象与y轴有一个交点(0,9)

二次函数y=/—6x+9与坐标轴有两个交点

故选:B.

【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，分与x轴和y轴的交点两种情况是解答本题的关

键.

8.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，。。是正五边形的外接圆，/AOE的度数为()

【答案】C

【解析】

【分析】连接OA,OE,由圆的内接正多边形先得到中心角的度数，再由圆周角定理即可求得/AOE的度

如上图所示，连接04,OE

五边形A8COE是正五边形

ZAOE=-x360°=72°

5

VOC?是正五边形ABCDE的外接圆

ZADE=LZAOE=36°

2

故选：C.

【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关

键.

9.如图，△ABC中，/BAC=30。，Z\ABC绕点A逆时针旋转至△AED,连接对应点CD,AE垂直平分

CD于点F,则旋转角度是（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】D

【解析】

【分析】根据旋转的性质得出AD=AC,NDAE=NBAC=30。，求出NDAE=/CAE=30。，再求出/DAC的

度数即可.

【详解】•.•△ABC绕点A逆时针旋转至AAED,ZBAC=30°,

；.AD=AC,/DAE=NBAC=30。，

：AE垂直平分CD于点F,

，NDAE=NCAE=30。，

/DAC=300+30°=60°,

即旋转角度数是60。，

故选D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，能求出/DAE=NCAE=30。是解此题的关键.

10.对称轴为直线％=1的抛物线'=融2+法+，（5b,c为常数，且如图所示，小明同学得出了

以下结论：①abc<0,②〃>4QC，③4Q+2Z?+C>0,④3〃+C>0,⑤a+bWm（卬n+b）（m为任意

实数），⑥当x<—1时，y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为（）

叫X=1

-1\lp7x

।

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与y轴的交点判断。的符号，结合对称轴判断①，

然后根据对称轴及抛物线与X轴交点情况判断②，根据对称性求得x=2时的函数值小于0,判断③；根据

%=—1时的函数值，结合b=—2a,代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断

⑥.

【详解】解：①由图象可知：a>0,c<0,

b

•.•对称轴为直线：尤=——=1,

2a

b=—2a<0,

/.ahc>0，故①错误；

②：抛物线与x轴有两个交点，

b2-4ac>0>

b2>4ac,故②正确；

③•.•对称轴为直线x=l,则x=0与x=2的函数值相等，

.,.当x=2时，y=4a+2Z?+c<0,故③错误；

④当—1时，y=a-b+c=a-(-2a^+c>0,

3a+c>0,故④正确；

⑤当x=l时，y取到最小值，此时，y=a+b+c,

而当x="1时，y=anT+bm+c,

所以a+Z?+cMam2+bm+c>

故a+m，即袱am+Z?),故⑤正确，

⑥当x<-l时，y随x的增大而减小，故⑥错误，

综上，正确的是②④⑤共3个，

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数》=融2+云+c(a#0)系数符号由抛物线开

口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11.点^一3,5）关于原点对称点的坐标为.

【答案】（3,-5）

【解析】

【分析】利用关于原点对称的两个点的坐标关系直接得到答案.

【详解】解：因为关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数，所以P（-3,5）关于原点对称点

的坐标为（3,-5）.

故答案为（3,-5）.

【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中关于原点对称的两个点的坐标关系，掌握关于原点对称的两个点

的横坐标与纵坐标都互为相反数是关键.

12.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用.如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用

黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷

点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为

__________cm2-

【答案】2.8

【解析】

【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积的70%计算即可.

【详解】解：•.,经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，

•••根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积的70%,

.•・估计黑色部分的总面积约为2x2x70%=2.8（cm2）,

故答案为：2.8.

【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并

且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值

就是这个事件的概率.

13.若一个圆锥的底面半径为3,母线长4,则圆锥的侧面积是.（结果保留乃）

【答案】12万

【解析】

【分析】根据圆锥的底面半径为3,母线长为4,直接利用圆锥的侧面积公式S=%〃代入求解即可.

【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：S=〃M=万x3x4=124，

故答案为：12万.

【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键.

14.如图，在&48C中，己知NACB=130。，ABAC=20°,BC=3,以点C为圆心，CB为半径的圆交

【答案】373

【解析】

【分析】如图，作CE1AB于E,在Rt小CE中利用30度直角三角形的性质即可求出3E,再根据垂径定

理可以求出3。.

【详解】解：如图，作CE1AB于E.

二ZJB=180O-ZA-ZACB=18()O-20O-130O=30°,

在RUBCE中，：NCEB=90°,NB=30°,BC=3,

,CE=LBC=>,BE=CCE=巫,

222

-：CE1AB,

DE=EB，

BD=2EB=3x/3，

故答案为：3丛.

【点睛】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅助线，记住直角

三角形30度角性质，属于基础题，中考常考题型.

k

15.如图，AABC是等腰三角形，过原点。，底边3C〃x轴，双曲线y=一过A,B两点，过点C作

x

CD〃y轴交双曲线于点。，若S.B°=16,则Z的值是.

【解析】

【分析】过点A作AEL3c于点E,设点，则点一—-,根据AABC是等腰三角形，可得

\a【a

（k\bkkAk

BC=4a,从而得到点C的坐标为3〃,一一,点。的纵坐标为F，进而得到8=—+—=—,再由

ka）3。3aa3a

S^=LBC.CD=16,即可求解.

【详解】解：如图，过点A作AE_L3C于点E,

BE-2a,

,/“48C是等腰三角形，

/.BC=4。，

•.•底边BC〃x轴，

.♦.点C的坐标为（3。,一七

Ia

•••CD〃y轴，

...点。的横坐标为3a,

...点。的纵坐标为与，

3“

：.CD—,

3aa3a

••,S"=LBCO)=16,

14k

，--4tz----=16,解得：k=6.

23a

故答案为：6

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用上表示出8C和CO的

长度是解决本题的关键.

16.如图，在正方形ABCD中，AB=4,G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2,连接

DE,将线段。E绕点。逆时针旋转90。得到线段OF,连接CF,则线段C/长的最小值为.

【答案】275-2

【解析】

【分析】如图，由EG=2,确定E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE,再证明

VADE^VCDF(5/15),可得AE=CR可得当AE,G三点共线时，AE最短，则CF最短，再利

用勾股定理可得答案.

【详解】解：如图，由EG=2,可得£在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE,

•.•正方形ABCZ),

:.AD=CD,?ADC90?,

\?ADC2EDF90?,

：.?ADE?CDF,

<DE=DF,

：7ADE•CDF(SAS),

AE=CF,

...当AE,G三点共线时，AE最短，则最短,

・・・G位8c中点，BC=AB=4,

BG-2,

此时AG=yjBG2+AB2=A/22+42=2石，

此时AE=26-2,

所以CF的最小值为：26-2.

故答案为：26一2

【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆

的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键.

三、解答题(本大题共7小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.己知关于x的反比例函数y=匕'的图象经过点4(3,4).

(1)求这个反比例函数的解析式；

(2)当lWx<4时，求y的取值范围.

、12

【答案】(1)y=一

x

(2)3<x<12

【解析】

【分析】(1)把点A(3,4)代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；

(2)由当x=l时，y=n,当x=4时，y=3,再结合反比例函数的增减性可得答案.

【小问1详解】

解：•.•关于x的反比例函数y=平的图象经过点A(3,4),

・・・44=-1-+--根--,

3

l+m=12,

.♦•这个反比例函数的解析式为：y=--,

x

【小问2详解】

解：•..当x=l时，y=12,

当x=4时，y=3,

V12>0,

...在每一象限内，y随x的增大而减小，

...当lWx<4时，y的取值范围是3<xW12.

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数的增

减性是解本题的关键.

18.如图，在平面直角坐标系中，已知点AOAB的三个顶点坐标分别是。(0,0),A(0,3),8(—2,1),将

△OW绕。按顺时针方向旋转90°.

(1)写出点A，31的坐标.

(2)求旋转过程中点A经过的路径长.

【答案】(1)4(3,0),耳(1,2)

(2)—

2

【解析】

【分析】(1)利用旋转变换的性质分别作出A,B的对应点A，B-根据点的位置写出坐标即可;

(2)利用弧长公式即可求解.

【小问1详解】

解：如图：AOA4即为所求：

•.•A(0,3),6(—2,1),

OA=(7A=3,OB=OB[,

•••点A(3,0),4(1,2)；

【小问2详解】

解：•••ZAOA=90°,OA=3,

旋转过程中点A经过的路径长为：

90万然3=3万

180"T'

【点睛】本题考查了作图-旋转变换，求弧长公式，解题的关键是掌握旋转变换的性质.

19.如图，四边形ABC。内接于。。，E为延长线上的一点，点C为BCD的中点.若NDCE=112°,

求NB4C的度数.

【答案】56°

【解析】

【分析】根据圆内接四边形的性质可得NOCE=NBAD=112°,再根据点C为的中点，可得

ABAC=ZCAD=-ZBAD,即可.

2

【详解】解：•.•四边形ABC。内接于O。，

...ZBAD+NBCD=180。,

,/ZDCE+ZBCD=180°,

ZDCE^ZBAD=112°,

;点C为8C。的中点.

•*-BC=CD>

：.ABAC=ZCAD=-ABAD=56°.

2

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到

ZDCE=/BAD=112。是解题的关键.

20.在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别.

(1)随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？

(2)随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出

现的结果，并求两次取出的是不同颜色球的概率.

【答案】⑴!

3

（2）-

3

【解析】

【分析】（1）已知由在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区

别，利用概率公式求解即可；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出不同颜色球的情况，再

利用概率公式即可求得答案.

【小问1详解】

解：♦.•在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别

，随机地从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是:；

【小问2详解】

取出后放回，画树状图得：

开始

黄白黑

/dX/Tx

黄白黑黄白黑黄白黑

•••共有9种等可能的结果，两次取出不同颜色球的有6种情况，

A9

两次取出相同颜色球的概率为：一=一.

93

【点睛】本题主要考查概率公式、树状图或列表法，属于基础的概率应用题，难度不大.解题的关键是正

确得出所有的等可能结果，即把握住取后放回的题干信息.

21.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元,

且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，

每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。设每天销售量为J本，销售单价为x元.

（1）请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少

元？

【答案】（1）y=-10x+740,44^ijc52

（2）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润卬元最大，最大利润2640元.

【解析】

【分析】（1）根据销售利润=销售量x（售价一进价），列出平均每天的销售利润"（元）与销售价x（元

/箱)之间的函数关系式；

(2)借助(I)中的解析式，再依据函数的增减性求得最大利润.

【小问1详解】

解：由题意得：y=300-10(x-44)=-10x+740,

每本进价40元，且获利不高于30%,

即最高价为52元，即真,52,

故：44触52,

y=-10^+740,44M52,

【小问2详解】

解：w=(x-40)(-1Ox+740)=-10(X-57)2+2890,

当x<57时，卬随x的增大而增大，

而44矽k52,所以当x=52时，卬有最大值，最大值为2640,

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润2640元.

【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是掌握最大销售利润的问题常利函

数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.

22.如图，己知A8是。。的直径，C是0。上的点，点。在A3的延长线上，ZBCD=ZBAC.

(2)若ND=30。，BD=4,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析⑵匣—46

3

【解析】

【分析】(1)连接0C,可得N3CZ)=NOC4,由于A8是直径，可得NAC8=90。，从而得到

ZOCA+ZOCB=ZBCD+ZOCB=90°,即可；

(2)设。。的半径为r,则AB=2r，由于=30°,NOCD=90°，可得到厂=4,ZAOC=120°,8C=4,

再求出AC=4百，分别计算AO4C的面积以及扇形4OC的面积即可求出阴影部分面积.

【小问1详解】

证明：如图，连接OC,

D

B

,:OA=OC,

：.ZBAC=ZOCA,

；NBCD=NBAC,

/.ZBCD=ZOCA,

,：Ab是OO的直径，

ZACB=90°,

Z.OCA+ZOCB=/BCD+Z.OCB=90°,

ZOCD=90°,

:OC是半径，

••.CO是。。的切线；

【小问2详解】

设。。的半径为r,则Q4=OC=O8=r,

二AB=2r，

Z£>=30°,ZOC£>=90°,

:.OD=IOC=2r,NCOB=60°,

'：OB=OC,

AfiOC是等边三角形，

•<-BC=OC=r>

/.ZAOC=120。，

30=4，

/.OD=r+4

r+4=2r>

解得：r=4,

OA=BC=4,

---ZACB=90°,

NA=30。，

/.AB=2BC=8

AC7AB2一BC?=