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文档简介
第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定(第一课时)
1.如图，已知
AC
为菱形
ABCD
的对角线，∠
DAB
＝40°，则∠
BAC
的度数为（
B
）A.15°B.20°C.25°D.30°（第1题图）B2.（2023·深圳）如图，在▱
ABCD
中，
AB
＝4，
BC
＝6，将线
段
AB
水平向右平移
a
个单位长度得到线段
EF
.
若四边形
ECDF
为菱形，则
a
的值为（
B
）A.1B.2C.3D.4（第2题图）B3.（2023·浙江）如图，在菱形
ABCD
中，
AB
＝1，∠
DAB
＝
60°，则
AC
的长为（
D
）B.1（第3题图）D4.如图，已知菱形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，过点
D
作
DH
⊥
AB
于点
H
，∠
BCD
＝50°，则∠
BDH
的度数
为
.
（第4题图）25°
（第5题图）
6.（2023·大连）如图，在菱形
ABCD
中，已知
AC
，
BD
为菱形
的对角线，∠
DBC
＝60°，
BD
＝10，点
F
为
BC
的中点，则
EF
的长为
.（第6题图）5
7.如图，点
E
，
F
分别在菱形
ABCD
的边
BC
，
CD
上，且
BE
＝
DF
，求证：∠
BAE
＝∠
DAF
.
8.（2022·西宁）如图，已知四边形
ABCD
是菱形，
AE
⊥
BC
于
点
E
，
AF
⊥
CD
于点
F
.
（1）求证：△
ABE
≌△
ADF
；
（2）若
AE
＝4，
CF
＝2，求菱形的边长.（2）解：设菱形的边长为
x
，则
AB
＝
CD
＝
x
，
DF
＝
x
－2.∵△
ABE
≌△
ADF
，∴
BE
＝
DF
＝
x
－2.在Rt△
ABE
中，由勾股定理，得
AE2＋
BE2＝
AB2，即42＋（
x
－2）2＝
x2，解得
x
＝5.故菱形的边长为5.
（第9题图）
①②④
（第10题图）
11.如图，已知菱形
ABCD
和菱形
BEFG
的边长分别是5和2，∠
A
＝60°，连接
DF
，求
DF
的长.解：如答图，延长
FG
交
AD
于点
M
，过点
D
作
DH
⊥
AB
于点
H
，交
GM
于点
N
.
∵四边形
ABCD
和四边形
BEFG
都是菱形，∴
GF
∥
BE
，
EF
∥
AM
.
答图∴四边形
AEFM
是平行四边形，
DN
⊥
MN
.
∴
AM
＝
EF
＝2，
MF
＝
AE
＝
AB
＋
BE
＝5＋2＝7.∴
DM
＝
AD
－
AM
＝5－2＝3.∵∠
A
＝60°，
DH
⊥
AB
，∴∠
ADH
＝30°.
答图
在Rt△
DNF
中，根据勾股定理，得
12.（选做）如图，在菱形
ABCD
中，已知
AB
＝4，∠
A
＝
120°，点
P
，
Q
，
K
分别为线段
BC
，
CD
，
BD
上任意一点，求
PK
＋
QK
的最小值.解：∵四边形
ABCD
是菱形，∴
AD
∥
BC
，
BC
＝
AB
＝4.∵∠
A
＝120°，∴∠
ABC
＝180°－∠
A
＝180°－120°＝60°.如答图，作点
P
关于直线
BD
的对称点
P
'.过点
P
'作
CD
的垂线，垂足为
Q
，
P
'
Q
交
BD
于点
K
，则
P
'
Q
的
长即为
PK
＋
QK
的最小值.由图可知，此最小值等于菱形
CD
边上的高的长度.过点
C
作
CP
″
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