初中数学常用几何模型

第1页目录1.8字模型与飞镖模型2.手拉手全等模型3.三垂直全等模型4.角平分线平行线模型5.角平分线＋两垂线段模型6.等腰三角形的存在性问题7.A型、8型相似模型8.一线三等角相似模型8字模型与飞镖模型资料编号:202109012143关键词8字模型飞镖模型8字模型如图所示,AC、BD相交于点O,连结AD、BC,则有.因为这个图形像数字8,所以我们把这个模型称为8字模型.8字模型的证明:证法一:∵∴.（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）证法二:∵∴∵∴.点评8字模型的结论常被用来求角度或证明两个角相等,多出现在几何综合题中.有些复杂的几何问题,应用8字模型的结论,往往会出奇制胜,达到意想不到的效果（见后面的例题）.飞镖模型如图所示,有结论:.因为这个图形像飞镖,所以我们把这个模型称为飞镖模型.飞镖模型常被用来推导几何图形中角之间的等量关系.飞镖模型的证明:证法一:延长BC,交AD于点E,如下图所示.∵∴.证法二:作射线AC,如下图所示.∵∴∴.模型举例例1.如图所示,求证:.证法一:（飞镖模型）设BD与CE相交于点F,如图所示.∵∴∵∴.证法二:（8字模型）连结CD,如图所示,则有∵∴∴.证法三:（利用三角形内角和定理与外角和定理）∵∴.例2.如图所示,_________.解法一:（利用8字模型）∵∴∵∴.解法二:（利用三角形内角和定理与外角和定理）∵∴∵∴.例3.如图所示,_________.解:（利用飞镖模型）设BD与CE相交于点F,如图所示.∵∴∵∴.例4.如图,△ABC和△DCE均是等腰三角形,,.（1）求证:;（2）若,求的度数.（1）证明:∵∴∴在△BCD和△ACE中∵∴△BCD≌△ACE（SAS）∴;（2）解:方法一:∵△BCD≌△ACE∴∵∴∵∴方法二:∵∴∵∴∵△BCD≌△ACE∴∵∴∵∴.点评方法二用到了“8”字模型的结论,如下图所示.例5.如图所示,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,BD与CE相交于点M,BD与AC交于点N.求证:（1）;（2）.第27页证明:（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）∴;（2）∵△ABD≌△ACE∴∵（8字模型）∴∴.例6.（1）问题发现如图1,△ABC和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.填空:=1\*GB3①的度数为_________;=2\*GB3②线段AD、BE之间的数量关系为_________;（2）拓展探究如图2,△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE的高,连结BE,请写出的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由.解:（1）=1\*GB3①;=2\*GB3②;提示:∵△ABC和△DCE均为等边三角形∴∴∴在△ACD和△BCE中∵∴△ACD≌△BCE（SAS）（属于“手拉手”全等模型）∴∵（属于“8”字模型）∴.（2）解:,;理由如下:∵∴∴∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形∴在△ACD和△BCE中∵∴△ACD≌△BCE（SAS）……7分∴∵∴……8分∵∴CM平分∴∴∴∵∴.手拉手全等模型资料编号:202108292312关键词手拉手全等模型三角形全等手拉手全等模型介绍手拉手全等模型常见的有三种图形形式:两个等腰直角三角形组成的手拉手全等模型、两个等边三角形组成的手拉手全等模型以及两个普通等腰三角形组成的手拉手全等模型.必须说明的是,组成手拉手全等模型的两个等腰三角形,共用顶角的顶点（即两个顶角的顶点重合）,且两个等腰三角形的顶角相等.如图1、图2、图3所示,如果把大等腰三角形的腰长看作大手,小等腰三角形的腰长看作小手,两个等腰三角形共用顶角的顶点,类似大手拉着小手,所以把这种模型称为手拉手模型（手拉手模型还有手拉手相似模型）.图中两个等腰三角形的相对位置发生变化时,始终存在一对全等三角形.手拉手模型常和旋转结合,作为几何综合题出现.在图1、图2、图3中,△ABC和△ADE均为等腰三角形,,且,连结BD、CE,则△ABD≌△ACE.结论证明:（以图1为例）∵∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）.结论证明:（以图2为例）∵∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）.点评手拉手全等模型的依据都是SAS.重要推论推论1如图所示,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,,连结BD、CE,则有:（1）△ABD≌△ACE;（2）.推论1证明:（1）∵∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）;（2）∵△ABD≌△ACE∴延长BD交CE于点F,如图所示.∵∴∴.推论2如图所示,△ABD和△BCE均为等边三角形,点A、B、C在同一直线上,连结AE、CD,则有:（1）△ABE≌△DBC;（2）;（3）;（4）△ABG≌△DBF;（5）△BEG≌△BCF;（6）连结GF,则;（7）连结HB,则HB平分.推论2证明:（1）∵△ABD和△BCE均为等边三角形∴,∵点A、B、C在同一直线上∴在△ABE和△DBC中∵∴△ABE≌△DBC;（2）由（1）可知:△ABE≌△DBC∴;（3）∵△ABE≌△DBC∴∵∴;（“8”字模型）（4）∵∴∴在△ABG和△DBF中∵∴△ABG≌△DBF（ASA）;（5）∵△ABG≌△DBF∴由前面可知:在△BEG和△BCF中∵∴△BEG≌△BCF（SAS）;（6）连结GF,如图所示.∵,∴△BFG为等边三角形∴∴;（7）连结HB,如图所示,作.∵△ABE≌△DBC∴,∴∴∵,∴点B在的平分线上∴HB平分.点评要求学生能从复杂的几何图形中辨识出手拉手全等模型,并能用SAS证明两个三角形全等.模型举例例1.如图,在△ABC和△ADE中,,点C、D、E在同一条直线上,连结BD.求证:（1）△ABD≌△ACE;（2）试猜想BD、CE有何关系,并证明.分析:由条件可知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,所以该图形中存在手拉手全等模型,手拉手全等模型的依据都是SAS.证明:（1）∵∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）;（2）.理由如下:∵△ABD≌△ACE∴∵∴∴∴∴.例2.如图,△OAB和△OCD都是等边三角形,连结AC、BD相交于点E.（1）求证:=1\*GB3①△OAC≌△OBD;=2\*GB3②;（2）连结OE,OE是否平分?请说明理由.（1）证明:=1\*GB3①∵△OAB和△OCD都是等边三角形∴∴∴在△OAC和△OBD中∵∴△OAC≌△OBD（SAS）;=2\*GB3②∵△OAC≌△OBD∴∵∴∴∴∴∴（2）OE平分.理由如下:作∵△OAC≌△OBD∴,∴∴∵,∴OE平分.（到角两边距离相等的点在角的平分线上）例3.如图所示,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,BD与CE相交于点M,BD与AC交于点N.求证:（1）;（2）.证明:（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）∴;（2）∵△ABD≌△ACE∴∵∴∴.例4.如图,在线段AE的同侧作等边△ABC和等边△CDE（）,点P与点M分别是线段BE和AD的中点.求证:△CPM是等边三角形.分析:本题图形中包含手拉手全等模型,我们可以证明△ACD和△BCE全等.另外,关于等边三角形的判定,可先证明三角形是等腰三角形,再证明三角形有一个角等于.证明:∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴,∴∴在△ACD和△BCE中∵∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∵点P与点M分别是线段BE和AD的中点∴在△ACM和△BCP中∵∴△ACM≌△BCP（SAS）∴,∴∵,∴△CPM是等边三角形.三垂直全等模型资料编号:202108282255关键词三垂直全等模型一线三等角全等模型三角形全等三垂直全等模型介绍如图1、图2、图3所示,为三种常见的三垂直全等模型.如图1所示,.结论:△BCD≌△CAE.结论的证明:∵∴,∵∴∴在△BCD和△CAE中∵∴△BCD≌△CAE（AAS）.重要推论推论1如图1所示,,则有:;证明:由前面可知:△BCD≌△CAE∴∵∴.推论2如图2所示,,则有:.证明:∵∴,∵∴∴在△BCD和△CAE中∵∴△BCD≌△CAE（AAS）∴∵∴.说明三垂直全等模型是一种常见的几何模型,同学们要记住这种几何模型的图形特征和题目特点,以后遇到这种模型常常要证明两个三角形全等.模型举例例1.如图,直线上有三个正方形,若的面积分别是5和11,则的面积是_________.分析三垂直全等模型作为一种重要且常见的几何模型,要求同学们能从复杂的几何图形中辨识出这种模型,若能找出这种模型,往往要证明两个三角形全等,从而解决相关的问题.解析:根据“三垂直全等模型”,本题易证:△BCG≌△GJF.∴由题意可得:∴在Rt△BCG中,由勾股定理得:.∴的面积是16.例2.如图1所示,已知在△ABC中,,,点P为BC上一动点（）,分别过点B、C作于点E,于点F.（1）求证:;（2）如图2,若点P为BC延长线上一点,其他条件不变,则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论.（1）证明:∵,∴,∵∴∴在△ABE和△CAF中∵∴△ABE≌△CAF（AAS）∴∵∴;（2）如图3所示..提示:关键在于证明△ABE≌△CAF.例3.如图,在△ABC中,,直线MN经过点C,且于D,于E.（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时,求证:=1\*GB3①△ADC≌△CEB;=2\*GB3②;（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:;（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,请直接写出DE、AD、BE之间的数量关系.（1）证明:=1\*GB3①∵,∴∵∴∵∴在△ADC和△CEB中∵∴△ADC≌△CEB（AAS）;=2\*GB3②∵△ADC≌△CEB∴∵∴;（2）∵,∴∵∴∵∴在△ADC和△CEB中∵∴△ADC≌△CEB（AAS）∴∵∴;（3）.提示:仍然是证明△ADC≌△CEB.例4.（1）如图1所示,已知在△ABC中,,直线经过点A,于点D,于点E,求证:;（2）如图2,将（1）中的条件改为:在△ABC中,,D、A、E三点都在直线上,且有,其中为任意锐角或钝角,请问结论是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.第33页（1）证明:∵,∴∴∵∴∴在△ABD和△CAE中∵∴△ABD≌△CAE（AAS）∴∵∴;（2）成立.理由如下:∵∴∵∴∴在△ABD和△CAE中∵∴△ABD≌△CAE（AAS）∴∵∴.点评第二问所涉及到的几何模型为“一线三等角全等模型”,而我们在前面花大篇幅所介绍的“三垂直全等模型”属于“一线三等角全等模型”的特殊情况.角平分线平行线模型资料编号:202108310011关键词角平分线平行线等腰三角形角平分线平行线模型介绍如图所示,OM平分,点P是OM上一点,过点P作,交OA于点C,则△POC是等腰三角形.下图就是角平分线平行线模型.模型证明:∵OM平分∴∵∴∴∴∴△POC是等腰三角形.点评在角平分线的条件下,常过角平分线上一点作一边的平行线,构造等腰三角形.重要推论推论1如图所示,在△ABC中,、的平分线交于点D,过点D作,交AB于点E,交AC于点F,则有:（1）;（2）;（3）.推论1证明:（1）∵BD平分∴∵∴∴∴同理可证:;（2）∵∴;（3）∵∴.推论2如图所示,四边形ABCD为平行四边形,把△BCD沿对角线BD折叠,得到△,交AD于点E,则△BDE为等腰三角形.说明:由折叠可知:,即BD平分,所以上图中包含角平分线平行线模型.推论2证明:由折叠可知:∵四边形ABCD为平行四边形∴∴∴∴∴△BDE为等腰三角形.模型举例例1.如图,把一张长方形的纸片ABCD沿BD对折,使点C落在点E处,BE与AD相交于点O.（1）由折叠可知△BCD≌△BED,除此之外,图中还存在其他的全等三角形,请写出一组全等三角形:________________;（2）图中有等腰三角形吗?请你找出来:__________;（3）若,求OB的长度.解:（1）△ABD≌△EDB;（或△ABD≌△CDB或△AOB≌△EOD）（2）△BOD;提示:如图上所示,由折叠可知:∵（为什么?）∴∴∴,即△BOD为等腰三角形.（3）由（2）可知:.设,则∵四边形ABCD为长方形∴在Rt△AOB中,由勾股定理得:∴解之得:∴.例2.如图,点O是△ABC的边AC上一个动点,过点O作直线.直线MN交的平分线于点E,交的外角平分线于点F.（1）求证:;（2）若,求OC的长.第55页（1）证明:∵CE平分∴∵∴∴∴同理可证:∴;（2）解:∵CF平分∴∵∴在Rt△ECF中,由勾股定理得:由（1）可知:.例3.如图,在△ABC中,AD平分,点E、F分别在BD、AD上,,且.求证:.证明:作交AD的延长线于点G.∴∵AD平分∴∴∴∵∴∴在△EDF和△CDG中∵∴△EDF≌△CDG（AAS）∴∴.例4.解答下列问题:（1）如图1所示,在△ABC中,,点D在EF上,BD、CD分别平分,写出线段EF与BE、CF的数量关系;（2）如图2所示,BD平分,CD平分外角,交AB于点E,交AC于点F,写出线段EF与BE、CF的数量关系,并说明理由;（3）如图3所示,BD、CD为外角的平分线,交AB的延长线于点E.交AC的延长线于点N,直接写出线段EF与BE、CF的数量关系.（1）∵BD平分∴∵∴∴∴同理可证:;∵∴;（2）.理由如下:∵BD平分∴∵∴∴∴同理可证:;∵∴;（3）.例5.如图,在梯形ABCD中,,点E在CD上,且AE平分,BE平分.求证:.证明:延长AE交BC的延长线于点F.∵AE平分∴∵∴∴∴∵,BE平分∴在△ADE和△FCE中∵∴△ADE≌△FCE（ASA）∴∵∴.点评利用右图所示的辅助线也能证明问题.角平分线＋两垂线段模型资料编号:202112022157关键词角平分线性质定理等腰三角形三角形全等辅助线垂线段模型介绍角平分线＋两垂线段模型如图1,点P是的平分线上一点,过点P作,由角平分线的性质定理则有.这就是角平分线＋两垂线模型.这种模型蕴含了边相等、角相等和三角形全等,还可以构造出等腰三角形.在图1中,若连结DE,则得到等腰三角形PDE和等腰三角形DOE.模型推论（1）;（2）Rt△POD≌Rt△POE;（3）.证明:（1）∵OP平分,∴∴;（2）∵∴△POD和△POE都是直角三角形在Rt△POD和Rt△POE中∵∴Rt△POD≌Rt△POE（HL）;（3）由（2）可知:Rt△POD≌Rt△POE∴.模型应用例1.如图2所示,在△ABC中,,AD平分,若,那么点D到直线AB的距离是__________.分析本题条件中有角平分线,有角平分线上一点到一边的垂线段（距离）,唯独缺少该点到另一边的垂线段（距离）,若作出该垂线段,则可构造出角平分线＋两垂线段模型.解:作,则线段DE的长度即为点D到直线AB的距离.∵AD平分,∴∵∴∴∴点D到直线AB的距离是2.例2.如图4所示,在△ABC中,,AD是△ABC的角平分线,于点E.（1）求的度数;（2）若,求.分析对于（1）,可根据直角三角形的两个锐角互余解决问题;对于（2）,可构造角平分线＋两垂线段模型求出AC边上的高DF,从而求出△ACD的面积,继而求出△ABC的面积.解:（1）∵∴∵AD平分∴∵∴∴;（2）作.∵AD平分,,∴∴.例3.如图6所示,在△ABC中,,AD是的平分线,,,求证:（1）;（2）.分析根据条件知图6中存在角平分线＋两垂线段模型,故有,这就为Rt△DCF和Rt△DEB全等提供了条件.证明:（1）∵AD平分,,（）∴在Rt△DCF和Rt△DEB中∵∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）∴;（2）在Rt△ACD和Rt△AED中∵∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∵∴.例4.如图8所示,在四边形ABCD中,平分.求证:.分析本题难度较高,要证明,可证明等于的邻补角,而证明两个角相等,可通过证明两个角所在的三角形全等完成,必要时需要添加辅助线来构造全等三角形.题中已有角平分线的条件,过角平分线上的点向角的两边作垂线段,即作出角平分线＋两垂线段模型,即可构造出全等三角形.证明:过点D作,,交BA的延长线于点F.∵平分,,∴在Rt△DCE和Rt△DAF中∵∴Rt△DCE≌Rt△DAF（HL）∴,即∵∴.例5.如图10所示,AD平分,DE所在直线是BC的垂直平分线,E为垂足,过点D作.求证:（1）;（2）.分析对于（1）,我们能想到的最直接的方法是全等法,那就是证明BM和CN所在的三角形全等即可,图中只需连结DB、DC,就可以构造出全等三角形;对于（2）,直接下手证明会比较困难,于是我们把等式转化为,证明这个等式成立即可,当然,第（1）问的结论会为我们提供重要的条件.证明:（1）连结DB、DC,如图11所示.∵DE垂直平分BC∴∵AD平分,∴在Rt△DBM和Rt△DCN中∵∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）∴;（2）在Rt△ADM和Rt△ADN中∵∴Rt△ADM≌Rt△AND（HL）∴∵∴∴.等腰三角形的存在性问题资料编号:202111182021关键词等腰三角形分类讨论尺规作图垂直平分线在八年级数学中,学完了等腰三角形的性质和判定后,我们会遇到等腰三角形的存在性问题,这类问题往往需要学生根据情况分类讨论,确定等腰三角形的各种存在形态,然后根据每种形态解决相关问题.然而我看到的是,学生不能考虑到每一种可能的形态,从而造成漏解.究其原因,我想是学生分类讨论思想方法欠缺,不会借助于圆和线段垂直平分线的性质辅助解决问题造成的.下面,我将教会大家如何借助于圆的知识和线段垂直平分线的性质,将等腰三角形的各种存在性（形态）“一网打尽”.如图1所示,已知线段AB,现确定一点C,使△ABC为等腰三角形.由于没有指明线段AB是腰长还是底边长,所以我们需要分为两种情况进行讨论:（1）当AB为等腰三角形的腰长时:=1\*GB3①以点A为圆心,AB的长为半径画圆,则圆上任一异于直线AB与圆的交点的点都可以作为点C,如图2所示;=2\*GB3②以点B为圆心,AB的长为半径画圆,则圆上任一异于直线AB与圆的交点的点都可以作为点C,如图3所示;（2）当AB为等腰三角形的底边长时,根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线,垂足为点D,则垂直平分线上任一异于点D的点都可以作为点C,如图4所示.下面讨论已知线段AB和直线,在直线上确定一点C,使△ABC为等腰三角形.由于没有指明线段AB是腰长还是底边长,所以我们需要分为两种情况进行讨论:（1）当AB为等腰三角形的腰长时:=1\*GB3①以点A为圆心,AB的长为半径画圆（或圆弧）,则圆（或圆弧）与直线的交点即为点C,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解,如图6所示;=2\*GB3②以点B为圆心,AB的长为半径画圆（或圆弧）,则圆（或圆弧）与直线的交点即为点C,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解,如图7所示;（2）当AB为等腰三角形的底边长时,根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线,直线与直线的交点即为点C,如图8所示.我们知道,角平分线和平行线组合在一起,即构成角平分线+平行线模型,这种模型中就存在等腰三角形,如图9所示.若要在OB边上确定一点D,使得△COD为等腰三角形,根据角平分线+平行线模型的特征,我们过点C作OA边的平行线,该平行线与OB边的交点,即为其中一个点D的位置,如图10所示,该点D也是线段OC的垂直平分线与OB边的交点,只不过作平行线更容易找出该点.其余各点D的确定如图（11）、（12）所示,你是否知道这些点是怎样确定出来的吗?以上共有3个点D,使得△COD为等腰三角形.解决等腰三角形的存在性问题,一般分为三步:分类、画图、计算.当然,随着学习的深入,以后我们还会遇到因动点而产生的等腰三角形问题,让我们拭目以待.应用例1.如图所示,在正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两个格点,若点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C有__________个.答案8解析本题考查等腰三角形的存在性问题.分别以点A、B为圆心,以AB的长为半径作圆,如图1所示,则可以找到这样的点C有4个.这两种情况下,△ABC是以AB为腰长的等腰三角形.若AB为底边长,则作出AB的垂直平分线,如图2所示,可以找到这样的点C有4个.综上所述,符合条件的点C有8个.例2.如图所示,,OC平分,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么的度数为__________.解:∵OC平分,∴分为三种情况:=1\*GB3①当时,如图1所示,∴;=2\*GB3②当时,如图2所示.∵∴∴;=3\*GB3③当时,如图3所示.（说明:此时,点E在线段OC的垂直平分线上或）∵∴∴.综上所述,的度数为或或.点评在讨论一个三角形为等腰三角形时,常常需要分为三种情况进行讨论.A型、8型相似模型资料编号:202208102243关键词平行相似相似三角形的判定定理1平行相似平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的判定定理1两角分别相等的两个三角形相似.A型相似模型介绍如图1、图2所示,已知,则有△ADE∽△ABC.图1所示情形为A型平行相似,图2所示情形为A型非平行相似（反A型）,统称为A型相似.模型证明A型平行相似模型的证明（如图1）:证明一:∵∴△ADE∽△ABC.证明二:∵∴∴△ADE∽△ABC.A型非平行相似模型的证明（如图2）:证明:∵∴△ADE∽△ABC.8型相似模型介绍如图1、图2所示,已知,则有△ADE∽△ABC.图1所示情形为8型平行相似,图2所示情形为8型非平行相似（反8型）,统称为8型相似.模型证明8型平行相似模型的证明（如图1）:证明一:∵,∴△ADE∽△ABC.证明二:∵∴∴△ADE∽△ABC.8型非平行相似模型的证明（如图2）:证明:∵,∴△ADE∽△ABC.模型说明（1）对于A型、8型平行相似,我们可以直接由平行的条件得到两个三角形相似的结论;（2）必要时我们可以作平行线来构造A型或8型平行相似模型;（3）面对比较复杂的几何图形,从中找到A型或8型相似模型往往是解决问题的关键.模型举例例1.如图,AD是△ABC的角平分线,延长AD到点E,使.（1）求证:△ABD∽△ECD;（2）若,求BC的长.分析:（1）由条件可知,图中存在8型平行相似.在证明AB//CE后,可以直接说明△ABD∽△ECD;（2）先利用相似三角形的性质求出边CD的长,再求出BC的长.（1）证明:∵AD平分∴∵∴∴∴∴△ABD∽△ECD;（2）解:∵∴由（1）可知:△ABD∽△ECD∴∴∴∴.例2.如图所示,在△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点,,当AP的长度为__________时,△ADP与△ABC相似.分析:本题为易错题,学生多为考虑问题不全面导致出错:只考虑了A型平行相似的情形,而忽视了A型非平行相似.解:分为两种情况:=1\*GB3①如图所示,当时,△APD∽△ABC.∴∴;=2\*GB3②如图所示,当时,△APD∽△ACB.∴∴.综上所述,当AP的长度为或2时,△ADP与△ABC相似.例3.如图所示,已知O是△ABC中BC边的中点,且,求的值.分析:不难想到,本题问题的解决要么用到平行线分线段成比例定理及其推论,要么用到相似三角形的知识,且都需要平行线的条件.结合题目条件可知,我们需要添加辅助线——平行线.解:作,交DE于点F.∴,△BDF∽△ADE.∵点O是BC的中点∴在△BOF和△COE中∵∴△BOF≌△COE（ASA）∴∵∴∵△BDF∽△ADE∴∴∴∴.点评本题通过添加平行线的辅助线,既构造了一对全等三角形,又构造了A型平行相似模型,难度较高.例4.如图,在△ABC中,,高,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.（1）求证:;（2）设,当为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值;（3）当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动）,设运动的时间为秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与的函数关系式.第64页（1）证明:∵四边形EFPQ是矩形∴∴∴△AEF∽△ABC.∵∴∴;（上面的结论是解决此类问题的重要一步,上面的书写为此类问题的规范书写）（2）由（1）可得:∴∴∴配方得:∴当时,矩形EFPQ的面积最大,其最大值为20;（3）当矩形EFPQ的面积最大时,由（2）可知:∵∴△PCF是等腰直角三角形∴∴分为三种情况:=1\*GB3①如图1,当≤＜4时,设EF、PF分别交AC于点M、N,则△FMN是等腰直角三角形∴,∴;=2\*GB3②当4≤＜5时,如图2所示,∴;=3\*GB3③当5≤＜9时,如图3所示,设EQ交AC于点K,则.∴综上所述,S与的函数关系式为:说明:在第（3）问题中,矩形EFPQ与△ABC重叠部分与运动时间有关,运动时间不同,重叠部分的形状也不相同,因此要对时间进行分类讨论,根据不同时间段求面积S.注意:当时,如图4所示;当时,如图5所示;当时,面积S=0,故在这里不再给出图形.一线三等角相似模型资料编号:202208101558关键词一线三垂直一线三等角一线三等角相似模型介绍如图