用空间向量研究距离、夹角问题 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离、

夹角问题能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序.学习目标体会向量方法在研究几何问题中的作用.点到直线的距离如图，向量AP在直线1上的投影向量为AQ,

则△APQ是直角三角形.设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u.在

Rt△APQ中

，由勾股定理得PQ=√APP-

1AQP=Ja²-(a.u)².点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P

作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则

n

是直线l的方向向量，且点P

到平面α的距离就是AP在直线1上的投影向量QP的长度.因此例1如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁

B₁C₁

D₁中

，E为线段A₁

B₁的中

点

，F

为线段AB

的中点.(1)求点B

到直线AC₁的距离；(2)求直线FC

到平面AEC₁

的距离解：以D₁为原点，D₁A,DC,D₁D所在直线分别为x轴、y

轴

、z

轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C₁(0,1,0)

,

1所以AB=(0,1,0),AC₁=(-1,1,-1),

,

,重声(1)取a=AB=(0,1,0),

,则a²=1,

所以点B

到直线AC₁的距离为

毒所

,所以

,

取z=1,

则

x=1,y=2.所以n=(1,2,1)是平面AEC₁的一个法向量.又因为所以点F

到平面AEC₁的距离为即直线FC

到平面AEC₁的距离为所以点F到平面AEC₁的距离即为直线FC

到平面AEC₁的距离,所以FC//EC₁

,

所以FC//平面AEC₁

.设平面

AEC₁的法向量为n=(x,y,z),则(2)因为(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问

题

；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”例2如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中

，M,N

分别为BC,AD的中点，求直线AM和

CN夹角的余弦值.又△ABC

和△ACD

均为等边三角形，所以所以所以直线AM

和

CN夹角的余弦值为

解：以{CA,CB,CD}作为基底，则

1设向量CN与MA

的夹角为θ,则直线AM和

CN夹角的余弦值等于|cosθ|.事一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，l₂

所成的角为θ,其方向异面直线所成的角向量分别是u,v,

则*直线与平面所成的角直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线AB与平面α相交于点B,

设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,

平面α的法向量为n,

则·二面角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α,β的法向量分别是n₁和

n₂,则平面α与平面β的夹角即为向量n₁和

n₂的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则例3如图，在直三棱柱ABC-A₁

B₁C₁

中

，AC=CB=2

,AA₁

=3,∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q,R分别在棱AA,BB₁上，AQ=2AQ,BR=2RB₁

.

求平面PQR与平面A₁B₁C夹角的余弦值.解：以C₁为

原

点

，C₁A,C₁

B,C₁C所在直线为x轴

、y

轴、z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设平面A₁B₁C的法向量为n,

平面PQR

的法向量为n₂,则平面PQR

与平面A₁B₁C的夹角就是n

与

n₂的夹角或其补角因为C₁C⊥

平面A₁B₁C,

所以平面A₁B₁C₁

的一个法向量为n₁=(0,0,1).根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).

所以PQ=(2,-1,-1),PR=(0,1,-2).设平面PQR

与平面AB₁C的夹角为θ,则cosθ=|cos<n,即平面PQR

与平面A₁B₁C₁的夹角的余弦值为设n₂=(x,y,z),则取n₂=(3,4,2),

则,所以,所以例4下图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg,

每

根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g

取

9.8

m/s²,精确到0.01N).

又因为降落伞匀速下落，所以IF

合I=IG

礼物I=1×9.8=9.8(N)所以4√3|F|n

=9.8.所以解：如图，设水平面的单位法向量为n,

其中每一根绳子的拉力均为F.因为<n,F>=30°,所以F在

n

上的投影向量为所以8根绳子拉力的合力垂(

1

)

求

证：PA//平面EDB;(

2

)

求

证：PB⊥平

面EFD;(3)求平面CPB

与平面PBD的夹角的大小.例5如图，在四棱锥P-ABCD

中，底面

ABCD

是正方形，侧棱PD⊥底面

ABCD,PD=DC,E是

PC

的中点，作EF⊥PB交

PB于

点F.解：以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x

轴、y

轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设DC=1.(1)连接AC,

交

BD

于

点G,连接EG.所以

PA=2EG,

即PA//EG.而EGc

平面EDB,且PAa

平面

EDB,因此PA//平面

EDB.故点G的坐标为,

且PA=(1,0,-1),因为底面

ABCD是正方形，所以点G是它的中心，依题意得A(1,0,0),P(0,0,1),事(2)证明：依题意得B(1,1,0),PB=(1,1,-1).又

,

故所以PB⊥DE.由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,

所以PB⊥平面EFD.(3)已知PB⊥EF,由(2)可知

PB⊥DF

,故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角.设点F

的坐标为(x,y,z),则

PF=(x,y,z-1).因为PF=kPB,所以(x,y,z-1)=k(1,1,-1)=(k,k,-k),

即

x=k,y=k,z=1-k.设PB·DF=0,

则(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0.所以,点F

的坐标为又点E的坐标为,所所以所以∠EFD=60°,即平面CPB与平面PBD

的夹角大小为60°(1)综合法：以逻辑推理作为工具解决问题；(2)向量法：利用向量的概念及其运算解决问题；(3)坐标法：利用数及其运算来解决问题.解决立体几何问题的方法1.若异面直线l,l

的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线₁

与

l₂

所成角的余弦值等于解析：

设异面直线l

与l₂所成的角为θ,a.b=-4,|.故选B.课堂小练a=√5,|b|=2√5,A_2

A.5BDD.2.已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH,

若点P在正方体内部且满足

,

则

点P

到

AB的距离为(A口又AB=(1,0,0),∴AP

在AB

上的投影为解析：建立如图空间直角坐标系，则∴点P到

AB的距离为.故选A.则AD

与平面

AA₁CC

所成的角的正弦值为(3.在正三棱柱

ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1,D在

棱BB₁上，且BD=1,A则∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C,设AD与平面AAC₁C所成的角为a,故选A.解析：取AC

的中点E,连则

,D(0,0,1),接BE,

则BE⊥AC,如图建立空间直角坐标系Bxyz,BE⊥AC,∴BE⊥平面AA₁C₁C,为平面AA₁C₁C

的一个法向量.则4.已知菱形ABCD

中，∠ABC=60°,沿对角线AC

折叠之后，使得平面BAC⊥

平

面DAC,则二面角B-CD-A

的余弦值为(A.2日C.口解析：设菱形

ABCD

的边长为1,取AC的中

点O,

连

接BO

、DO,因

为

∠ABC=60°,所以BO⊥AC,又平面BAC⊥

平面DAC,

平

面BAC∩平

面DAC=AC,所

以BO1令z=1,

得x=√3,y=1,则

n=(√3,1,1),

易知平面CDA的一个法向量为设平面BCD

的法向量为n=(x,y,z),

则平

面ACD,如图建系，则O(0,0,0),故

选D.,

所

以所以即手申4,5.

(多选)已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁

的棱长为1,点E、0

分别是A₁B₁

、A₁C1的中点，P在正方体内部且满足

则下列说法正确的是

A.点

A

到直线BE

的距离是B.点

O到平面ABC₁D₁的距离为C.平面A₁BD与平面B₁CD₁间的距离为D.点

P到直线AB的距离为的距离

故A

错误；易知,平面ABC₁D₁的一个法向量DA=(0,-1,1),则点O到平面ABC₁D₁的距离故B

正确；解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),C₁(1,1,1),D₁(0,1,1),,所以BA=(-1,0,0),设∠ABE=θ,

则,

故A到直线BEAB=(1,0,-1),AD=(0,1,-1),A₁D₁=(0,1,0),设

平

面A₁BD的法向量为n=(x,y,z),则

,所以令z=1,得y=1,x=1,

所以n=(1,1,1),所以点D到平面A₁BD的距离

因为易证得平面A₁BD//

平

面B₁CD,所以平面A₁BD

与平面B₁CD₁

间的距离等于点D₁

到平面A₁BD

的距离，所以平面A₁BD与平面B₁CD₁间的距离为因为故C

正确；,

又AB=(1,0,0),

则所以点P

到

AB

的距离故

D

错.故选BC.6.如图，在三棱锥S-ABC

中

，SA=SB=SC,

且

M,N分别是AC,SB

的中点，则异面直线SM

与

CN

所成角的余弦值直线SM

与平面SAB

所成角的大小为

所以以S

为坐标原点，SA,SB,SC

的方向分别为x轴

、y

轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.设SA=SB=SC=2,则S(0,0,0),B(0,2,0),A(2,0,0),C(0,0,2),M(1,0,1),N(0,1,0),所以SM=(1,0,1),CN=(0,1,-2),

所

以所以异面直线SM

与

CN

所成角的余弦值为所以直线SM与平面SAB

所成角的大小为易得平面SAB

的一个法向量为SC=(0,0,2),

则所以7.如图，在四棱锥P-ABCD

中，底面ABCD为直角梯形，BCPAD,AB⊥BC,∠ADC=45°,PA⊥

平面ABCD,AB=AP=1,AD=3.(1)求异面直线PB与

CD

所成角的大小；(2)求点D到平面PBC

的距离.解析：(1)易得AB,AD,AP两两互相垂直，故以A

为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴

，y轴

，z

轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,3,0),所以PB=(1,0,-1),CD=(-1,1,0).设异面直线PB与

CD所成角的大小为θ,(2)设平面PBC的一个法向量为n=(u,v,w),由(

1

)

可

得BC=(0,2,0),则

即

,取u=w=1,得

n=(1,0,1),所以点D到平面PBC的距离则

设异面直线PB与CD

所成角的大小为8.已知四棱柱

ABCD-A₁