冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习：圆的综合（含答案）

冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习专题:

圆的综合

1.如图，在矩形ABC。中，AD=8,E是边AB上一点，且AE=L艮已知。。经过点E,

4

与边CD所在直线相切于点GUGEB为锐角)，与边AB所在直线交于另一点F,且EG：

EF=辰:2.当边AO或8C所在的直线与。0相切时，A8的长是()

A.8B.4C.12D.12或4

解：边BC所在的直线与。。相切时，

如图，过点G作GNLAB,垂足为N,

：.EN=NF,

又,：EG：EF=娓:2,

:.EG：EN=辰:1,

又；GN=A£>=8,

.•.设EN=x，则65=倔，根据勾股定理得：

(-/gr)2-犬2=64,解得：x=4,GE=4娓,

设O。的半径为厂，由OB=EN2+ON2

得：r2—16+(8-r)2,

：.r=5.：.OK=NB=5,

：.EB=9,

又AE=—AB

4

；.AB=12.

同理，当边AZ5所在的直线与。0相切时，连接OH,

：.OH=AN=5,

：.AE=1.

・・・AB=4.

故选：D.

CG

©

图2

图1

2.如图，矩形ABC。，A£>=6,AB=8,点P为BC边上的中点，点。是△AC。的内切圆

圆

0上的一个动点，点M是CQ的中点则PM的最大值是（）

A.V13-1B.713+1C.3.2D.3，^

解：•.•四边形ABC。是矩形，

.•.N£>=90°,CD=AB=3,

-'•AC=VAD2X；D2^V62+82=10)

设的内切圆。的半径为r,

则1OrH~~~X8rH~~—X6/*==:---X8X6>

2222

解得：r=2,

连接BQ,

是BC边上的中点，点例是CQ的中点，

是aBCQ的中位线，

：.PM=^-BQ,

当2Q经过圆心。时，3。最长，则此时PM最长，

作OE_LA£>于E,OFLABTF,

贝l]BF=AB-AF=8-2=6,OF^AE^AD-DE=6-2=4,

=22=22=

BOVBF-H3FV6+42V13-

：.BQ=BO+OQ=2y[}^2,

:.PM=^BQ=4Y^\-,

故选：B.

3.如图，己知在平面直角坐标系xOy中，。为坐标原点，抛物线y=-42+云+。经过原点,

y

与x轴的另一个交点为A(-6,0),点C是抛物线的顶点，且。C与y轴相切，点P为

OC上一动点.若点。为以的中点，连结。£),则。。的最大值是()

D.早

解：如图，取点H(6,0),连接尸”,

:抛物线y=-td+Ox+c,经过原点，与x轴的另一个交点为A(-6,0),

'c=0

：•4A

0=^^X36-6b

f,J_

解得：＜33

,c=0

抛物线解析式为：y=-一§

93

...顶点C(-3,4),

...(DC半径为3,

,.・AO=O”=6,AD=BD,

：.OD=—PH,

2

最大时，。。有最大值，

...当点C在PH上时，尸”有最大值，

最大值为=3+181+16=3+J讦,

・・・0。的最大值为：世反，

2

故选：B.

4.如图，在正方形ABC。的边长为3,以A为圆心，2为半径作圆弧，以。为圆心，3为

径作圆弧.若图中阴影部分的面积分为Si、S2则S「S2为()

A.9D.—71

4

解:

90HX329兀

S扇形ADC=

3604

90兀X22

S扇形E4F=

-360~二打，

5EAF-(S正方形-S扇形ADC)=(S1+S3)-[(S1+S2+S3+S4)-(51+54)]

=S1-§2，

gn13

-S2=S扇形EAF-(S正方形-S扇形AOC)=n-(9-——)=—7T-9.

44

故选：C.

5.如图，抛物线y=3(x+2)(x-8)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为M,

4

以AB为直径作OD下列结论：①抛物线的最小值是-8；②抛物线的对称轴是直线x

=3；③。。的半径为4；④抛物线上存在点E,使四边形4CE。为平行四边形；⑤直

线CM与相切.其中正确结论的个数是()

A.5B.4C.3D.2

解：•.,在丫=上(x+2)(x-8),当y=0时,x=-2或x=8,

4

・••点A(-2,0)、B(8,0),

抛物线的对称轴为x=苫生=3,

故②正确；

当x=3时，y最小(3+2)(3-8)=-

44

故①错误；

・・・。。的直径为8-(-2)=10,即半径为5,故③错误；

11o

在尸一(x+2)(x-8)=—^-—X-4当年=0时，y=-4,

4，42

・••点C(0,-4),

当y=-4时，—x2--X-4=-4,

42

解得：修=0、X2=6,

所以点E(6,-4),

则CE=6,

\'AD=3-(-2)=5,

：.AD^CEf

・・・四边形ACE。不是平行四边形，故④错误;

・.y・=_—x1^--3-x-A4—=1—,(X-23、)2乙--2-5-，

.4244

.•.点M(3,-争，

设直线CM解析式为y=kx+b,

'b=-4

将点C(0,-4)>M(3,-空)代入，得：J25,

43k+b=-—

4

［一1

解得：<K-4,

,b=-4

所以直线CM解析式为y=-4-4;

4

设直线CD解析式为y=〃tr+〃，

将点C(0,-4).D(3,0)代入，得：1八二一4

{3m+n=0

'_±

解得：m=T,

,n=-4

所以直线CD解析式为)，=条-4,

QA

由--1知CM±CD于点C,

43

直线CM与。。相切，故⑤正确;

故，选：D.

6.文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题.如

图所示称为达芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为A,B,C,

，而所在圆的圆心为点4或C).若正方形的边长为2,则图中阴影部分的面积为(

A.5/2B.2C.n-ID.4--

解：：圆与正方形的各边均相切，切点分别为4,B,C,D,

：.A,B,C,。分别是正方形各边中点，

如图所示，分别连接AO,AB,BD,

则ND4B=90°,

•.•正方形边长为2,

.,.AD=AB=yf2,

S厨彩ABD-S^AliD9°冗"-春■-1,

360N/

JTJT

•'•S阴极=S圜-2-1)=TtXI2-2-1)=2.

故选：B.

7.如图，AB为半圆O的直径，A。、BC分别切。。于A、B两点，C。切。。于点E,AD

与CD相交于。，BC与CD相交于C,连接O。、OC,A£)=3,,则四边形ABCD

3

的周长为()

E

D

•；A。、BC分别切OO于A、8两点，CD切OO于点E,

：.AD=DE,BC=CE,ZDAB=ZCBA=90°,

四边形ADFB是矩形，

：.AD=BF,AB=DF,

"：AD=3,BC=—,AD=DE,BC=CE,

3

：.DE=3,CE=—,

3

.*.DC=3+—=—,CF=BC-AD=--3=—,

3333

在RtZXCFD中，由勾股定理得：力产=而叵示=）（空）、（卫）2=8,

即A8=O尸=8,

即四边形ABCD的周长是AD+£>C+BC+4B=3+至+旭^8=",

333

故选：D.

8.如图，在△A2C中，ZC=90°,分别以A、B为圆心，AC,8c为半径在4

ABC的外侧构造扇形CAE,扇形C8O,且点E,C,。在同一条直线上，若BC=2AC,

,则图中阴影部分的面积为（）

E.

B

A.B.|nC.-^TT

9

解：如图，连接ED,作AM_LEC于M,BN上CD于N.

VBC=2AC,

・••设AC=x,BC=2x,

VZC=90°,

AX2+(2X)2=5,

•»x:=1,2x=2,

AC=1,BC=2,

VZAMC=ZBNC=ZACB=90°,

・・・NACM+NCAM=90°,NACM+NBCN=90°,

:・/BCN=/CAM,

■:/CBN+/BCN=9G,

・・・NC4M+NC8N=90°,

\*AE=AC.AMLEC,BC=BD,BNLCD,

：.ZCAE=2ZCAMfNCBD=2/CBN,

：.ZCAE+ZCBD=\SO0,

的长度恰好是施倍，设NCBO=〃?，ZCAE=n,

.in兀・2_5szn•兀T

,,^80-2-180-，

••47T?-~5n,

••加+〃=180。,

：.m=\OO0,n=-8O°,

.e-100-K-22.80-71-12-4H

••Oill-----------------------------------H------------------------------------------------------,

3603603

故选:B.

9.如图，在半径为5的。。内有两条互相垂直的弦AB和CD,AB=8,CO=8,垂足为E.则

tanZOEA的值是（)

A.1B.逅C.Vl5n2任

369

解：作OM_LAB于M,ONLCD于-N,连接02,OD,

守

由垂径定理得：BM=AM=—AB=4,DN=CN=工。=4,

22

由勾股定理得：0M=qGB2-BM2r§2_42=：5,

同理：0N=3,

:弦48、*C。互相垂直，0M1AB,ONLCD,

ZMEN=Z0ME=Z0NE=90",

四边形MOVE是矩形，

：.ME=0N=3,

.\tanZOEA=—=1,

ME

故选：A.

10.如图，RtZvlBC中，ABLBC,AB=6,8c=4,P是AABC内部的一个动点，且满足

NPAB=NPBC,则线段CP长的最小值为（)

L

3口12后

A.—B.2C.--------.----------

21313

解：VZABC=90°，

AZABP+ZPBC=90a,

:NFAB=NPBC,

：.ZBAP+ZABP^90Q,

AZAPB=90°,

：.OP^OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），

...点P在以A8为直径的00上，连接0C交00于点P,止匕时PC最小,

在R3BC。中，•；NOBC=90°,BC=4,0B=3,

.,•（?C=^B02+BC2=5,

:.PC=0C-0P=5-3=2.

；.PC最小值为2.

故选：B.

11.如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与。0相切于E,F,G

三点，过点。作。。的切线BC于点”，切点为N,则。M的长为（）

解：连接0E,OF,ON,0G,

在矩形ABC。中，

；NA=/B=90°,8=48=4,

'：AD,AB,BC分别与。。相切于E,F,G三点,

AZAE0=ZAFO=ZOFB=ZBG<7=90",

四边形AFOE,尸BGO是正方形，

：.AF=BF=AE=BG=29

・・・£>£=3,

TOM是。0的切线，

:,DN=DE=3,MN=MG,

：.CM=5-2-MN=3-MN,

22

在凡△£>MC中，D^fi=CD+CMf

：.(3+NM)2=(3-NM)2+42,

4

:.NM=主,

3

：.DM=3^=—,

33

12.已知：如图，AB为00的直径，CD、CB为。。的切线，D、8为切点，0C交。。于

点E,AE的延长线交8C于点凡连接A。、BD.以下结论：①AO〃OC；②点后为^

的内心；③FC=FE；④CE，FB=AB,CF.其中正确的只有（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①②④

解：连接。。，DE,EB,

CO与8。是OO的切线，ZODC=ZOBC=90°,OD=OB,

,:oc=oc

ARtACDO^RtACBO,

：.ZCOD=ZCO-B,

NCOB=NDAB=L/DOB,

2

J.AD//OC,故①正确；

是。。的切线，

：.ZCDE^—ZDOE,UnZBDE^—ZBOE,

22

:.NCDE=NBDE,即OE是NC£）B的角平分线，同理可证得BE是NCBO的平分线,

因此E为△CBQ的内心，故②正确；

若FC=FE,则应有ZOCB=NCEF,应有NCEF=NAEO=NE4B=NO8A=N£）E4,

.•.弧A£»=MBE,而弧AO与弧BE不一定相等，故③不正确；

设AE、BD交于点G,由②可知/E8G=NE8F,

又；BE1.GF,

：.FB=GB,

由切线的性质可得，点E是弧B。的中点，NDCE=NBCE,

又,：2MDA=NDCE（平行线的性质）=NDBA,

:.NBCE=NGBA,

而NCFE=NABF+N/?18,NDGE=NADB+4DAG,ND4G=NA48（等弧所对的圆周

角相等），

NAGB=NCFE,

二△ABGs^CEF,

：.CE'GB=AB-CF,

又，：FB=GB,

:.CE・FB=AB・CF

故④正确.

因此正确的结论有：①②④.

故选:D.

D.

13.如图，弦CD在一个以A8为直径的半圆。上滑动，以0C为直径的圆交弦CZ）于点E,

交线段。4于点尸，连结E凡若AB=4百，CQ=2百，则tan/EFO的值为（）

。•亨D1

解：如图，连接0E.

：.ZCEO=90°，

：・OE工CD,

:.CE=ED=M，

**OC=-^-AB=2^3，

・•・0E=1（2«）2-（正产=3,

/.PanZOCE=,

ECV3

•:/EFO=/OCE,

tanZEFO=tanZOCE=^3,

故选：B.

14.如图，AC是矩形ABC。的对角线，。。是△"（?的内切圆，现将矩形A8CO按如图所

示的方式折叠，使点。与点。重合，折痕为RS,点凡G分别在AD,BC上，连接0G,

DG,若OG_LOG,且。。的半径长为1,则下列结论不成立的是（）

A.CG=1B.矩形ABC。的面积为6+4次

C./ACB=30°D.A尸=2百

设。。与BC的切点为连接M。并延长交于点N,

；将矩形ABC。按如图所示的方式折叠，使点。与点。重合，折痕为FG,

OG=DG,

OG1DG,

；./MGO+NOGC=90°,

'：ZMOG+ZMGO=90°,

NMOG=NDGC,

在△OMG和△GC£>中，

fZOMG=ZDCG=90°

<ZMOG=ZDGC，

,OG=DG

.,.△OMG^AGCD,

：.OM=GC=\,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.故4正确,

；AB=CD,

：.BC-AB=2.

设AB=a,BC=b,AC=c,。0的半径为r,

。。是RtA48C的内切圆可得r=£（a+b-c）,

；.c=a+b-2.

在Rt^ABC中，由勾股定理可得42+按=（a+b-2）2,

整理得2ab-4a-46+4=0,

又'.'BC-AB=2即匕=2+a,代入可得2aC2+a）-4a-4（2+a）+4=0,

解得“1=1+a，。2=1-次（舍去），

•，.a=l+F，6=3+百，

•'S矩形ABCD=4B・BC=6+4料，故B正确,

.•.tanNACB="^=返，

BC3

，NACB=30°,故C正确，

再设£>F=x,在RtZSONF中，FN=3+M-\-x,OF=x,ON=l+仃-l=«,,

由勾股定理可得（2+百-x）2+（次）2=『，

解得x=4-a，

：.AF=AD-DF=2弧-l,故D错误，

故选：D.

15.如图，在矩形ABC。中，AB=J§,BC=1,把矩形A8CZ）绕点A顺时针旋转30°得到

矩形A8'C'D',其中点C的运动路径为无广，则图中阴影部分的面积为（）

空警B.彖手2C好手…告警

在矩形A8C£>中，VZB=90°,AB=M，BC=1,

IanZBAC=y/2,

.•./8AC=30°,

•••旋转角为30°,

；.A、B'、C共线.设C'B'交CD于E.

S阴=S扇形ACC，一S^AB'C,_S^ECB,

=吗誓多•岳M-后•争2-%)

JbUNNo

=工一瓶2,

33

故选：B.

16.如图，在直角坐标系中，OA的半径为2,圆心坐标为(4,0),y轴上有点8(0,3),

点C是OA上的动点，点尸是BC的中点，则。尸的范围是()

RQ

C.—WOPW^D.3WOPW4

2.2

解：如图，在y轴上取点8(0,-3),连接8C,■B,A,

♦.♦点8(0,3),B'(0,-3),点A(4,0),

：.OB=OB'=3,0A=4,

•4'B/i=VoA2+B/02=49+16=5,

；点P是8c的中点，

：.BP=PC,

•：OB=OB',BP=PC,

：.B'C=2OP,

当点C在线段B'A上时，81C的长度最小值=5-2=3,

当点C在线段BZ的延长线上时，的长度最大值=5+2=7,

37

22

故选：A.

17.如图，在边长为2的正方形A8CQ中，以点。为圆心，为半径画踊，再以BC为直

径画半圆，若阴影部分①的面积为Si，阴影部分②的面积为S2,则图中52-Si的值为

解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积-正方形ABCO

的面积=阴影部分②的面积，

'.S2-5i=扇形ADC的面积+半圆BC的面积-正方形ABCD的面积

=%口尤+LX12-22

3602

=321-4.

2

故选：A.

18.如图，正方形的四个顶点在半径为2的大圆圆周上，四条边都与小圆都相切，AB,CD

过圆心O,且则图中阴影部分的面积是（)

D

C

兀

A.4nB.2nC.nD.-----

2

解：•・•正方形的四条边都与小圆都相切，

D

C

：.EF.LCDfCDLMN,

\'ABA_CDf

.•.阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的二，