2024-2025学年度北师版八上数学4.2一次函数与正比例函数【课件】

第四章一次函数2一次函数与正比例函数数学八年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS课前导入数学八年级上册BS版01课前预习

1.

一次函数.若两个变量

x

，

y

之间的关系式可以表示成

y

＝

kx

＋

b

（

k

，

b

为

常数，

k

≠0）的形式，则称

y

是

x

的

函数（其中

x

为自

变量，

y

是因变量）.2.

正比例函数.特别地，当

b

＝0时，称

y

是

x

的

⁠.一次

正比例函数

数学八年级上册BS版02课前导入

如果设蛤蟆的数量为

x，y分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数表达式吗？y=xy=2xy=4xy=x

在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题，大家能不能举一些例子?一次函数与正比例函数(2)你能写出

y与

x之间的关系式吗？y=3+0.5x

情景一：某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量

x每增加1千克，弹簧长度

y增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg，2kg，3kg，4kg，5kg时的长度，并填入下表：x/kg012345y/cm33.544.555.5情景二：某辆汽车油箱中原有油60L，汽车每行驶50km耗油6L.(1)完成下表：汽车行驶路程

x/km050100150200300油箱剩余油量

y/L605448423630(2)你能写出上表中

y与

x的关系式吗?y=60－0.12x上面的两个函数关系式：

(1)y=3+0.5x；(2)y=60－0.12x.

若两个变量

x，y间的对应关系可以表示为y=kx+b(k，b为常数，k不等于0)的形式.

则称

y是

x的一次函数.特别地，当b=0时，称

y是

x

的正比例函数，大家讨论一下，这两个函数关系式有什么特征?下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)

y＝－x－4；(2)

y＝5x2－6；

(3)

y＝2πx；

(6)

y＝8x2＋x(1－8x).解：(1)是一次函数，不是正比例函数；(2)不是一次函数，也不是正比例函数；(3)是一次函数，也是正比例函数；(4)是一次函数，也是正比例函数；(5)不是一次函数，也不是正比例函数；(6)是一次函数，也是正比例函数．方法总结1.判定一个函数是一次函数的条件：

自变量是一次整式，一次项系数不为零；2.判定一个函数是正比例函数的条件：

自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．数学八年级上册BS版03典例讲练

①②③⑤

②⑤

【点拨】判断一个函数是一次函数的方法：（1）等号两边是整式；（2）将整式恒等变形，能表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式.判断一个函数是正比例函数的方法：（1）等号两边是整式；（2）将整式恒等变形，能表示成y＝kx（k为常数，k≠0）的形式.正比例函数是特殊的一次函数.

－1

－5

【点拨】根据一次函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数关系式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，此项的系数必为0；（2）一次项的系数不为0.

1.

下列说法错误的是（

D

）A.

正比例函数也是一次函数B.

一次函数不一定是正比例函数C.

不是一次函数就一定不是正比例函数D.

不是正比例函数就一定是一次函数D2.

已知函数y＝（k＋1）x＋k2－1.（1）当k

时，它是一次函数；（2）当k

时，它是正比例函数.≠－1

＝1

某通信公司的手机收费标准有两类.A类：月租费12元，通话费

0.2元/min；B类：没有月租费，通话费0.25元/min.（1）分别写出A类、B类每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式；（2）若每月平均通话时间为200

min，则选择哪类收费方式更划算？（3）每月通话多长时间，按A，B两类收费标准缴费所缴话费相等？【思路导航】（1）根据题意列出A类、B类每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式即可；（2）结合（1）的答案，分别求出按A类和按B类收费方式所缴的话费，即可得到答案；（3）根据“按A，B两类收费标准所缴话费相等”，列出关于x的一元一次方程解答即可.解：（1）A类每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式为y＝0.2x＋12.B类每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式为

y＝0.25x.（2）若选择A类收费方式，则y＝0.2×200＋12＝52.若选择B类收费方式，则y＝0.25×200＝50.因为52＞50，所以选择B类收费方式更划算.（3）由题意，得12＋0.2x＝0.25x，解得x＝240.故每月通话240

min，按A，B两类收费标准缴费所缴话费相等.【点拨】求解一次函数实际问题时，需要读懂题意，分析清楚各变量之间的关系，找到与之对应的等量关系，列出函数表达式.注意自变量的取值范围.

某批发商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表：购买苹果的质量x/kg不超过50

kg的部分超过50

kg的部分价格/（元/kg）108（1）若小刚购买苹果40

kg，应付多少元？（2）若小刚购买苹果x

kg，用去了y元.分别写出当0≤x≤50和

x＞50时，y与x之间的关系式；（3）求小刚一次性购买80

kg所付的费用比分两次共购买80

kg（每次都购买40

kg）所付的费用少多少元.解：（1）由表格，得40×10＝400（元）.故小刚购买苹果40

kg，应付400元.（2）由题意，得当0≤x≤50时，则y与x之间的关系式为y＝10x；当x＞50时，y与x之间的关系式为y＝10×50＋8（x－50）＝8

x＋100，即当x＞50时，则y与x的关系式为y＝8x＋100.（3）若一次性购买80

kg，所付的费用为8×80＋100＝740（元），若分两次共购买80

kg（每次都购买40

kg），所付的费用为40×10×2＝800（元），800－740＝60（元）.故小刚一次性购买80

kg所付的费用比分两次共购买80

kg（每次都购买40

kg）所付的费用少60元.

已知y1与x＋1成正比例，y2与x－1成正比例，y＝y1＋y2.当x＝1时，y＝4；当x＝3时，y＝14.求y与x之间的关系式.【思路导航】根据题意，设出y1和y2的函数关系式.将已知的x和y的值分别代入y1和y2，列出方程，求出参数的值即可得到所求的函数关系式.解：因为y1与x＋1成正比例，所以设y1＝k1（x＋1）（k1≠0）.因为y2与x－1成正比例，所以设y2＝k2（x－1）（k2≠0）.因为y＝y1＋y2，所以y＝k1（x＋1）＋k2（x－1）.因为当x＝1时，y＝4，所以2k1＝4.

①因为当x＝3时，y＝14，所以4k1＋2k2＝14.

②由①，得k1＝2.把k1＝2代入②中，得8＋2k2＝14.解得k2＝3.所以y＝2（x＋1）＋3（x－1）＝5x－1.【点拨】本例有两个不同的一次（正比例）函数y1和y2，要特

别注意不能用同一个k设出它们的函数关系式，而要用k1和k2进

行区分，也可以用m和n等表示它们的一次项系数.

1.

已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x－2成正比例.当x＝1时，y＝0；当x＝－3时，y＝4.（1）求y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数；（2）当x＝－2时，求y的值；（3）当y＝－3时，求x的值.解：（1）设y＝k1x＋k2（x－2）.由题意，得k1＋k2（1－2）＝0

①，－3k1－5k2＝4

②.

（2）当x＝－2时，y＝－（－2）＋1＝3.（3）当y＝－3时，－x＋1＝－3.解得x＝4.2.

生态公园计划在园内的坡地上造一片有A，B两种树的混合

林，需要购买这两种树苗2

000棵.种植A，B两种树苗的相关信

息如下表：品种价格/（元/棵）成活率劳务费/（元/棵）A1595％3B2099％4设购买A种树苗x棵，造这片混合林的总费用为y元.根据相关信息解答下列问题：（1）写出y（元）与x