2024-2025学年度北师版八上数学-专题4-一次函数在图形中的应用【课件】

第四章一次函数专题4一次函数在图形中的应用数学八年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS

⦾问题综述一次函数是初中阶段所接触的第一种初等函数，体现了数形结合的数学思想，在中考中是重要的考点.在解决问题时，除了一些基础的问题，例如点的坐标、字母系数的取值及取值范围，还常常涉及面积问题、最值问题等综合性较强的问题.我们要掌握常见的解题方法，化繁为简，达到事半功倍的效果.⦾要点归纳1.

边在坐标轴上或边与坐标轴平行的三角形，叫做坐标三角形.2.

一般三角形的面积问题

坐标三角形的面积问题.3.

四边形的面积问题

坐标三角形的面积问题.4.

求坐标系中三角形面积的方法：补、割、移.数学八年级上册BS版02典例讲练

类型一

一次函数与坐标三角形的面积问题

已知一次函数y1＝k1x－4（k1≠0）和一次函数y2＝4x＋b

与坐标轴围成的三角形的面积都是24，求这两个一次函数的表达式.

【点拨】已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，求一次

函数的表达式时，先设出一次函数的表达式，再用待定字母表

示出直线与两坐标轴的交点坐标（这一步要考虑直线与x抽、y

轴相交时的位置的不同情况），然后利用已知三角形的面积求

出待定字母的值，最后代回所设的一次函数的表达式即可.

已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3，x＝1所围成的四边

形的面积是12，求k的值.

显然四边形ABCD是梯形，且梯形的高是4，根据梯形的面积是

12，则梯形的上、下底的和是6.类型二

由面积关系求点的坐标

如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝x＋1与x轴

交于点A，直线l2：y＝3x－3与x轴交于点B，与l1相交于点C.

（1）写出点A，B，C的坐标：A

，B

，C

⁠.（－1，0）

（1，

0）

（2，3）

图1图2（2）如图2，动直线x＝t分别与直线l1，l2交于P，Q两点.①若PQ＝2，求t的值.②是否存在点Q，使得S△AQC＝2S△ABC？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.（1）【解析】对于直线l2：y＝3x－3，令y＝3x－3＝0，解得

x＝1，故点B的坐标为（1，0）.对于l1：y＝x＋1，同理可得，点A的坐标为（－1，0）.由3x－3＝x＋1，解得x＝2.则y

＝3x－3＝3.故点C的坐标为（2，3）.故答案为（－1，0），（1，0），（2，3）.（2）解：①点P在直线l1上，则设点P（t，t＋1），同理点Q（t，3t－3），则PQ＝｜t＋1－3t＋3｜＝2，解得t＝1或t＝3.②存在.理由如下：当t＜2时，BQ＝BC，可得点Q的坐标为（0，－3）；当t＝2时，△AQC不存在；当t＞2时，CQ＝2BC，所以点Q的纵坐标为9.当y＝9时，9＝3x－3，解得x＝4.所以点Q的坐标为（4，9）.综上所述，存在点Q，使得S△AQC＝2S△ABC，点Q的坐标为

（0，－3）或（4，9）.【点拨】在涉及面积问题时要结合图形具体分析，这样考虑更

全面，解题更简单.

如图，在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，直线AB分

别与x轴、y轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标

为（a，a－1）.（1）求直线AB的函数表达式；解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.由题意，得b＝5，5k＋b＝0.所以k＝－1.所以直线AB的函数表达式为y＝－x＋5.

答图（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，

求此时点P的坐标.

类型三

一次函数图象的平移问题

已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点（3，2）和（0，－4），交x轴于点A，交y轴于点B.

（1）求一次函数的表达式.（2）规定：横、纵坐标都为整数的点为整点；该一次函数的图

象与y＝x的图象及y轴围成的区域（不含边界）称为区域W.

①求区域W中整点的个数；②将一次函数y＝kx＋b的图象至少向上平移多少个单位长度，

才能使得区域W中整点的个数为0？解：（1）根据题意，得b＝－4，3k＋b＝2.所以k＝2.所以一次函数的表达式为y＝2x－4.（2）①令2x－4＝x，解得x＝4.当x＝4时，y＝4.所以两直线的交点坐标为（4，4）.画出函数y＝x和y＝2x－4的图象如图所示.分析可知区域W内的整点有（1，－1），（1，0），（2，1），共3个.故区域W内的整点有3个.②当平移后的直线经过点（1，0）时，区域W内有0个整点.设平移后的直线的函数表达式为y＝2x＋n.把（1，0）代入，得0＝2＋n，解得n＝－2.所以－2－（－4）＝2.所以将一次函数y＝kx＋b的图象至少向上平移2个单位长度，

才能使得区域W中整点的个数为0.【点拨】对于此类题目通常需要结合图象进行解题，所以准确

作出图象是解题的关键.

（2）当x≥－4时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）

的值都大于一次函数y＝kx＋b的值，求m的取值范围.

类型四

一次函数与图形的综合问题

如图1，已知直线AB分别交平面直角坐标系中x轴和y轴于

A，B两点，点A的坐标为（－3，0），点B的坐标为（0，6），点C在直线AB上，且点C的坐标为（－a，a）.（1）求直线AB的函数表达式和点C的坐标；（2）点D是x轴上的一动点，当S△AOB＝S△ACD时，求点D

的坐标；（3）如图2，点E坐标为（0，－1），连接CE，点P为直线AB

上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标.图1图2备用图解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.因为A（－3，0），B（0，6），所以b＝6，－3k＋b＝0.所以k＝2.所以直线AB的函数表达式为y＝2x＋6.因为点C（－a，a）在直线AB上，所以a＝－2a＋6，解得a＝2.所以点C的坐标为（－2，2）.

（3）①如图1，当点P在射线CB上时，过点C作CF⊥CE交直

线EP于点F.

因为∠CEF＝45°，所以CE＝CF.

过点C作x轴的垂线l，分别过点F，E作FM⊥l，EN⊥l，所以∠FMC＝∠CNE＝90°，∠MCF＋∠MFC＝90°.因为CF⊥CE，因为∠MCF＋∠NCE＝90°.所以∠MFC＝∠NCE.

所以△FMC≌△CNE（AAS）.图1所以FM＝CN＝3，CM＝EN＝2，即点F的坐标为（1，4）.设直线EF的函数表达式为y＝mx＋n（m≠0），由题意，得n＝－1，m＋n＝4.所以m＝5.所以直线EF的函数表达式为y＝5x－1.

②如图2，当点P在射线CA上时，过点C作CH⊥PE交直线PE

于点H，过点H作HK⊥y轴于点K，过点H作GH⊥x轴，过点

C作CG⊥GH于点G.

因为∠GHK＝∠CHE＝90°，所以∠CHG＋∠CHK＝∠CHK＋∠EHK.

所以∠CHG＝∠EHK.

因为∠CEP＝45°，所以CH＝HE.

所以△CHG≌△EHK（AAS）.图2

【点拨】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象

及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键.

如图，直线AB：y＝x－2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点

C是线段AB上一点（不与点A，B重合）.以OC为一边作△

OCD，其中∠COD＝90°，OC＝OD，连接AD.

（1）求点A，B的坐标和线段AB的长；（2）试猜想线段AD和BC之间的数量与位置关系，并说明理由；（3）当BC＝OB时，求点D的坐标.

（2）猜想：AD＝BC，AD⊥BC.

理由如下：因为∠COD＝90°，OA⊥OB，所以∠COD＝∠AOB＝90°.所以∠D