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第四章图形的相似专题7相似三角形中常作的辅助线数学九年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01专题解读◎问题综述

在几何图形的研究中，常常需要添加辅助线来帮助解决问题.在相似三角形的有关问题中，常用的辅助线有：（1）过一点作平行线来构造“A”型或“X”型；（2）过一点作垂线来构造“垂直”型.在作辅助线时，要考虑所添加的辅助线是否能够构造出一组或多组相似三角形或得到成比例的线段或等角、等线段，从而为证明三角形相似或进行相关的计算与证明创造条件.数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

作平行线构造“A”型或“X”型

三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图，点G是△ABC的重心，求证：AD＝3GD.

【点拨】解答本题的关键是通过作平行线构造相似三角形.一般是过已知比例线段（或求证比例线段）的端点或分点构造“A”型或“X”型相似.

类型二

作垂线构造“垂直”型

如图，从▱ABCD的顶点C分别向AB和AD的延长线引垂线

CE和CF，垂足分别为E，F.

求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2.

【点拨】熟练掌握辅助线的作法并能根据题意构造出相似三角形，利用全等三角形的性质进行线段的转化是解此题的关键.题中若有直角，则可考虑作垂线.

类型三

作延长线构造相似三角形

如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD的平分线

CH⊥AB于点H，BH＝3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△

HBC的面积.解：如图，延长BA，CD交于点P.∵CH⊥AB，CH平分∠BCD，∴CB＝CP，且BH＝PH.

∵BH＝3AH，∴PA∶AB＝1∶2.∴PA∶PB＝1∶3.∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC.∴S△PAD∶S△PBC＝1∶9.

【点拨】对于一些梯形问题，若题目中的条件难以统一起来使用，可考虑延长对边，构造三角形，运用相似三角形的知识来解决.

如图，在Rt△ABC中，已知CD为斜边AB上的高，点E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，FG⊥AB于点G.

求证：

FG2＝

CF·BF.

类型四

坐标系中构造平行线（或垂线）化斜为直

【点拨】在解决与平面直角坐标系有关的问题（或函数问题）中，常常将面积关系或其他已知关系转化为线段关系，然后将线段关系转化为坐标关系，达到化斜为直的目的.

【解析】如答图，分别过点A，P作y轴的平行线，过点B作这两条平行线的垂线，垂足分别为E，F.

∵点

P

，Q

关于原点对称，∴O

为

PQ

的中点.∴S△AOQ=S△AOP，S△BOQ=S△BOP.∵S△AOQ∶

S△BOQ＝5∶4，∴S△AOP∶S△BOP＝5∶4.∴AP∶BP＝5∶4.∴BP∶AB＝4∶9.答图∵AE∥PF，∴△PFB∽△AEB.

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