立体几何三大角度归类2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

专题8立体几何三大角度归类

目录

【题型一】异面直线所成的角：旋转角（圆锥型空间）................................................1

【题型二】异面直线所成的角：平移角型...........................................................3

【题型三】求直线与平面所成的角.................................................................7

【题型四】直线与平面所成角的范围与最值..........................................................9

【题型五】二面角型计算求角.....................................................................11

【题型六】翻折型二面角.........................................................................15

培优第一阶一一基础过关练.......................................................................18

培优第二阶一一能力提升练.......................................................................21

培优第三阶一一培优拔尖练.......................................................................27

，律热点题型归纳

【题型一】异面直线所成的角：旋转角（圆锥型空间）

【典例分析】

若。，8,/是两两异面的直线，。与b所成的角是?，/与。、/与人所成的角都是则a的取值范围是

7V5乃7T7T7C5乃7171

A.-B.■―,—C.—D.~

_66J2J1_36」\_62_

【答案】D

【分析】在空间选取一点。，过。分别作以方的平行线a、5,并设a、5确定的平面为夕,再将直线/平

移至「，使/,经过点0,根据直线与平面所成角的定义和异面直线所成角的定义，通过讨论可得直线,与。、匕所

成的角范围是.

【详解】作图如下：在空间选取一点。，过。作设直线a、〃确定的平面为万，

当直线夕时:/,与a、5所成的角都是直角,此时所成的角达到最大值；

当直线广恰好在平面夕内,且平分a、5所成的锐角时，/与a、b所成的角都是J,

6

7t71

此时所成的角达到最小值.所以/'与。、。’所成的角范围是.

_62_

因为/八a〃,力b,所以/与6所成的角等于/与。、。所成的角,

即/与a、b所成的角范围是.故选D

【提分秘籍】

基本规律

异面直线所称的角的范围：异面直线成角e（o,勺

【变式训练】

1.已知a,b为异面直线，且所成的角为70°,过空间一点作直线1,直线1与a,b均异面，且所成的角均为50°,

则满足条件的直线共有条

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】在空间取一过点P的平面a,过点P分别作a,b的平行线a\卜，则a\b所成锐角等于70。，所

成钝角为110°,当过P的直线PM的射影P在a，、b，所成锐角或钝角的平分线上时，PM与两条直线a,b

所成的角相等，分别求出两种情况下PM与a,b的夹角的范围，根据对称性即可得出答案.

【详解】在空间取一点P,经过点P分别作a〃a\b〃b\

设直线a，、b，确定平面a,

当直线PM满足它的射影PQ在a，、b，所成角的平分线上时，

PM与a，所成的角等于PM与b，所成的角.

因为直线a,b所成的角为70。，得a，、b，所成锐角等于70。.

所以当PM的射影PQ在a\b，所成锐角的平分线上时，

PM与a，、b，所成角的范围是［35。，90°）.

这种情况下，过点P有两条直线与atb所成的角都是50。.

当PM的射影PQ在a\b，所成钝角的平分线上时，PM与球、丫所成角的范围是［55。，90°）.

这种情况下，过点P有0条直线（即PMun时）与a，、b所成的角都是50。.

综上所述，过空间任意一点P可作与a,b所成的角都是50。的直线有2条.

故选B.

2..若两异面直线所成角为60。，则成为“黄金异面直线对“，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面

直线对“共有（）

A.12对B.24对C.36对D.48对

【答案】B

【分析】根据异面直线的定义，由正方体的对称性，以4c为例，即可求得.

【详解】正方体如图示.

aB

若要出现所成角为60。的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有

4条,分别是AB,A'£>,8C',C'£>.

正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有宝=24对（每一对被计算两次，所以要除

以2）.

故选：B

3.异面直线。、6成8（）。角，P为a、6外的一个定点，若过户有且仅有2条直线与。、人所成的角相等且等

于a,则角a属于集合（）

A.{«140°<a<50°}B.{«|50°<a<90°）

C.（a|40°<<z<90°}D.{<z|0°<a<40°}

【答案】A

【分析】将异面直线。，人平移到点P，则NBPE=80°,NEPO=100”由直线与。泊所成的角相等且等于。有

且只有2条，得到使直线在面8PE的射影为N8PE的角平分线，由此能出结果.

【详解】解：先将异面直线。，〃平移到点P,即过点P作双）//a,CEIIb,

则N8PE=80°,NEP。=100°,

而NBPE的角平分线与a,b的所成角为40°,

而NEP。的角平分线与。，〃的所成角为50°,

当ae{a|40,<a<50°},直线与“，6所成的角相等且等于a有且只有2条，

使直线在面PBE的射影为NBPE的角平分线；

故选：A.

【题型二】异面直线所成的角：平移角型

【典例分析】

在长方体A8CO-4BCA中，AB=A£>=2,44,=3,点E为棱上的点，且BE=2EB,,则异面直线DE

与A4所成角的正弦值为

A.@B.巫C.亚D.史

2

【答案】B

【分析】在AA上取点F,使得A尸=2以一连接可得EF//A与，得到异面直线OE与A内所成

角就是相交直线EF与DE所成的角，在ADEF中，利用余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】在长方体ABC。一A8CA中，A2=AD=2,AA=3,点E为棱8片上的点，且=如图所

示，在A4上取点尸，使得AF=2E4一连接可得£尸//4用,

所以异面直线OE与A与所成角就是相交直线EF与所成的角，

'设4)EF=®,

又由在直角AAOF中，AD=2,AF=2,所以力尸=+4尸=20,

在直角ABDE中，BD=2y/2,BE=2,所以DE=jBD、BE、=2耳，

在ADEF中，DF=2应,EF=2,DE=2瓜

DE1+EF2-DF-12+4-8_丛

山余弦定理可得cose=

2DEEF2x2«x2-3

所以异面直线DE与A片所成角的正弦值sin°=故选B.

【提分秘籍】

基本规律

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为

共面直线问题来解决，具体步骤如下：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角：

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,1,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两

条异面直线所成的角.

【变式训练】

1.如图，在正四棱台ABCO-4B/。。/中，A出尸BiB=2,AB=4,则异面直线88/与CD/所成的角的余弦值为

A.无B."C.且D.-

3322

【答案】A

【分析】取BC中点M,链接A1C1,AiM,MCi从而NA1MC1是异面直线BBi与CDi所成的角，由此利用

余弦定理能求出异面直线BB,与CD,所成的角的余弦值.

【详解】取BC中点M,链接AiG,A.M,MC,

,在正四棱台ABCD-ABC1D1中,A,B|=B|B=2,AB=4

/.BC=AB=4,MC=2,A（Di=2

••.AiDiMC为平行四边形

AAiM/ZDiC,

同理，B|Ci〃BM,BICI=BM=2,

ABBiCiC为平行四边形，

ZA1MC1是异面直线BBi与CD,所成的角，

•；CiD|DC为等腰梯形，CCi=C,Di=D（D=2,DC=4,

NCC|Di=120°,DtC=2y/3

=26

又,:4G=20，G“=2

cosZ^MC,=12+4>=B即为异面直线BBI与CD,所成的角的余弦值为走

2x2x2V333

所以选A

2.如图，在四棱锥中，PO_L平面A3CO,CDYBC,CD//AB,AB=2BC=2CD=2PD,则异

面直线PA与8c所成角的余弦值为（）

［答案］A

［养析】根据异面直线所成角的概念，作DE//BC,EF//PA,则ZDEF是异面直线R4与8C所成的角（或

补角），解三角形即可.

【详解】分别取的中点E,F,连接8£>,。瓦。尸,过点尸作加，氏），垂足为H,则H是30的中

点，如图所示，

CD//AB,AB=2CD,所以C£>〃EB,CD=EB,四边形£BC£>为平行四边形，有DE//BC,又EFHPA,

则NDEF是异面直线期与BC所成的角（或补角）.

CDLBC,CD//AB,则有£）£1他，

设8C=2,则。E=AE=£8=C£>=P£>=2,AD=BD=JAE?+BE2=20，PAKACP+P》=26，

EF=B

FH=1,DH=6、DF=』FH、DH'=g，

故c°s/DEF=三上亘上空=上等二包.

2DEEF2x2xV33

则异面直线必与8C所成角的余弦值为走.

3

故选：A

3.如图，己知矩形A8FE与矩形EFC。所成二面角D-£F-B的平面角为锐角，记二面角£>-EF-8的平面

角为a,直线EC与平面A8FE所成角为£,直线EC与直线尸8所成角为九则（）.

A.P>a,p>yB.a>p,p>y

C.a>/3,y>pD.r,Y>P

【答案】C

【分析】过C作COJ•平面A8FE,垂足为O,连结E。，则a=NA££>,P=/.CEO,y=ZCEF,由此能

求出结果.

【详解】解：过C作COL平面A8FE,垂足为O,

•.•矩形A8FE与矩形EFCO所成二面角。—所-B的平面角为锐角，

记二面角O-E/-B的平面角为a,直线EC与平面ABFE所成角为£,

直线EC与直线FB所成角为y,

a=ZAED,P=Z.CEO,y=Z.CEA

'：CF>CO,：.a>/3,由线面角的性质可得

故选：C.

【题型三】求直线与平面所成的角

【典例分析】

在空间，若ZAQ5=N4"=6(r,N5OC=90。，直线04与平面08c所成的角为。，则cosd=()

A.mB.正C.1D.-

【答案】A

【分析】取。4上一点A,作AHUHfljBOC于“，连接CW,NAO”为直线。4与平面50c所成的角，分

别作HELOB,交0B于点E,HFJ.OC,交0C于点尸，由己知得一OF//为等腰直角三角形，由此能求出

直线。4与平面BOC所成的角的余弦值.

【详解】解：如图，取Q4上一点A,过点A作砥_1_平面30c于H,连接OH,

则ZAOH为直线0A与平面08c所成的角6,

分别作HELQB,交0B于点E,HFLOC,交0C于点尸，连接AE、AF,得AEJ_O8,AFLOC,

因为N4O8=NAOC=6()。，ZOEA=NOFA,OA=OA,所以△OE4=AOE4,所以A£=AF,

所以EH=FH,则0H为ZBOC的角平分线，由NBOC=90。，可得NFOH=45°,则NOF4=45°,所以

OF”为等腰直角三角形，令OF=a,则OA=2a,所以cosZACW=^=*，

【提分秘籍】

基本规律

计算线面角，一般有如下几种方法：

(1)利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影,

即可确定线面角；

(2)在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度人从而不必作出线面角，

则线面角。满足sin。=彳3为斜线段长)，进而可求得线面角；

(3)建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线/的方向向量，〃为平面的法向量，则线面

角。的正弦值为sin。=卜仍<«,«>!

【变式训练】

1.正方体ABCQ-A耳G。中，直线AA与平面ACC0所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

［答案］A

【4析】根据给定条件，作出直线与平面所成的角，再在三角形中求解作答.

【详解】正方体AB8-A与G2中，连接BQJAG=O,连接4。，如图,

则有BQ^AG，而•平面ABCQ,耳0匚平面4£和。，即有BQLAA，

又A41cAG=At,AA］,AiClu平面ACC0,因此8Q_L平面ACC；4,

则NB/。是直线AB|与平面ACGA所成的角，

在Rt.AB|O中，乙4。用=90,BQ=gBiD,=；ABi，则有/与40=30,

所以直线与平面人。04所成的角为30。.

故选：A

2.如图，正四棱柱A8C3-AMGA中，AB=2,若直线8G与直线AC所成的角为6（）,则直线入与与平面

ACGA所成的角为（）

【答案】A

［分析］连接BR与AG交于点01，先利用线面垂直的条件证得平面ACGA,可知NB\AO\即为直

线AB|与平面ACGA所成的角，从而得出答案.

【详解】连接与已与AG交于点。1，AC〃AG,所以41GB即为直线与直线AC所成的角，即

NAGB=60.该几何体为正四棱柱，AB=AtA=2,可得A1=BG，所以4台=36=A6=20.

连接A。，易得与aj.AC，J.AA,ACAA=A，AGu平面ACGA,A^U平面ACGA，所以B。1

平面ACC/,

所以N与AO1即为直线与平面ACG4所成的角，Ba=6,AB、=26,所以N4Aoi=30.

故选：A.

3.在正方体ABCD-AMR中,设直线BD｝与直线AD所成的角为。，直线BD.与平面8力6所成的角为夕,

则a+£=（）

A.土B.2C.二D.如

4323

【答案】C

【分析】根据异面直线所成角及线面角的定义，可得直线与直线4。所成的角。=/&欣7,直线与

平面CDRG所成的角p=ND、BC,从而即可求解.

【详解】解：在正方体48CO—A4G。中，

因为AD〃8C,所以直线BR与直线AD所成的角«=ZD,BC,

因为3cl平面C£>£>6,所以RC为。/在平面COD©上的射影，

所以直线与平面CDRG所成的角力=NBRC,

又5C/平面8DC，所以BCLRC,

所以NR8C+NBRC=],即&+/?=],

【题型四】直线与平面所成角的范围与最值

【典例分析】

若直线/与平面a所成的角为（，直线。在平面a内，则直线/与直线“所成的角的取值范围是（）

„7t~\「万万］「乃］］「万71

A.0,—B.—C.—»7TD.—

L3j162j\_32j163j

【答案】C

【分析】根据线面角的定义可知直线/与直线。所成的角的最小值，根据异面直线所成的角的定义知最大角

为直角，从而可得答案

【详解】解：由题意可知直线/与直线。所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以直线/与直线。所成

的角的最小值为?，因为宜线/与宜线。所成的角的最大值为y,

TTTT

所以直线/与直线。所成的角的取值范围是y.y,故选：C

【变式训练】

7T

1.若直线/与平面a所成的角为直线〃在平面a内，且与直线/异面，则直线/与直线。所成角的取值范

围是（）

八万7171一兀71_71：71

A.0,-B.—C.D.—

L3J[62j]63j132j

[答案]D

【4析】根据线面角的定义可知/与直线。所成的角的最小值，根据异面直线所成角的定义知最大角为直角.

【详解】由题可知直线/与直线。所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以/与直线”所成的角的最小

值为W■TT，又，,a为异面直线，则直线/与。所成角的最大值为TT

故直线/与直线。所成角的取值范围是,故选：D

2.在正方体ABCC-A4GR中，点P在线段G2上，若直线与?与平面8储。所成的角为凡则tan。的取值

范围是（）

A.乎4B.[1,73]。.盟口.争

【答案】D

【分析】连接耳c、GB相交于N点，由4平面得NB|RV是直线4P与平面BCR所成的角仇

设正方体的棱长为2,则4N=0,设GP=x（OVx42）,则

PN2=2+X2,所以由x的范围可得答案.

如图，正方体ABCO-A4Gq中，连接BC、GB相交于N点，则N是GB的中点，且8声，平面RC月,

连接PN,

则ZBfN是直线与尸与平面3GA所成的角氏设正方体的棱长为2,则4N=0,设G尸=x（04x42）,

,.._B、N6_1

tan/rR>PrN—_____=_________=_________

所以B/2=8C：+G尸=4+/,2汽2=与尸-耳%2=2+一,所以'-w-VTT7行7，因

为04x42,所以141+^43,所以4

一IJ,，即且Wtan641.故选：D.

24/I+—3

V2

3.如图，已知三棱锥O-MC,记二面角C-^-O的平面角为a,直线D4与平面ABC所成的角为耳，直

线OA与BC所成的角为/,贝ij()

A.a>pB.a</3C.a>yD.p>y

【答案】A

【分析】不妨设二棱锥O-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E,OC中点M,AC中点N,连结

DE,CE,MN,EN,过。作OOLCE,交CE于O,连结AO,\)\\\ZDEC=a,ZDAO=。,NMNE=y,计算

求得其余弦值或直接求得角的度数，由此能求出结果.

【详解】不妨设三棱锥ABC是棱长为2的正四面体，

取A3中点E,0c中点M，AC中点N,连结£>E、CE、MN、EN、

过。作。O_LCE,交CE于0,连结A0,

a,4DAO=p,NMNE=y,DE=CE=不二\=瓜DC=2,

3+3-4

COSa=-----7=——r==—许子

2xV3xV33,——2|

26r

：.0AO3“V3,取BC中点尸，连结。尸、AF,则OFLBC,AFVBC,

cosp=---=----=——

AD23

又£>bcAF=F,「.BC，平面.一。，人口二7二为。.

•般的，sina=sinZ.DEO==sinADAO=sin/3,

DEDA

当a为锐角时，由正弦函数的单调性可得

当a为钝角或直角时，由于异面直线所成的角是锐角或直角，此时显然有々24.

由直线ZM与平面A5C所成的角是与平面内所有直线所成的角中的最小角，可得尸4人

由于，的范围是在夕和90。之间变化，因此a和/的大小关系不确定.

故A正确，B,C,D错误

故选：A.

【题型五】二面角型计算求角

【典例分析】

如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面A88为矩形，一PCD是等边三角形，平面PCO_L底面ABC。，AQ=3,

四棱锥P-A3CO的体积为186,E为尸C的中点.平面Q48与平面ABC。所成二面角的正切值是（）

【答案】B

【分析】由PGJL底面ABCQ得出CD=6,进而由PF_LAB,FG1Afi得出平面H40与平面ABCD所成二

面角的正切值.

【详解】分别取C3A8的中点为G,尸，连接P£FG,PG,AG,8G,设CD=2a,（a>0）,则PG=ga.

因为一PCD是等边三角形，所以PG_LC£>,又因为平面PC。_L平面ABC。，平面PC。平面ABCO=C3,

PGu平面PCO,PG_L底面ABC。，因为四棱锥P-ABC。的体积为18々，所以g（3x2a）x&a=186，

解得a=3.

则PG_LFG,PG1.AG,PG±BG,所以R4=PB,PF±AB,

又因为底面A5CD为矩形，所以FG1AB,

所以4PFG为平面P4B与平面A3CO所成：面角的平面角，

【提分秘籍】

基本规律

计算二面角，常用方法

rr

u-v

|cos0|=i*ijr.

1.向量法：二面角a-1-〃的大小为6（046（乃），

2.定义法：在棱上任一点，分别在两个半平面内做棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角

3.垂面法：做与棱垂直的平面，交二面南两个半平面，两条交线所成的角即为二面角的平面角

【变式训练】

1.二面角a-/-/7的平面角为60。，A,2是棱/上的两点，AC,8。分别在半平面a,夕内，AC±l,BDII

且AB=AC=1,BD=2,则CO的长为（）

a

c

C.>/5D.2

【答案】D

【分析】利用二面角、空间向量的数量积运算、空间向量的模、夹角与距离求解问题

【详解】•.•二面角a-/-力的平面角为60。，

A8是棱/上的两点，AC,8/)分别在半平面a、夕内，ACrl,BD11,

=60,AC-B4=0，ABBD=0,CD=CA+AB+BD|C£>|=^(C4+AB+B£>)：

=河+AB，+BQ，+2(C4•AB+CA•BE»+AB•BD)=府+AB，+8n?+2cA-BD

2.已知在长方体A8CC-A4GA中，AB=AD=i,44,=a,记平面AC。和平面ABC。的交线为/,己知

二面角A-1-A的大小为60。，则。的值为()

A.立B.1C.8D.2

3

【答案】C

【分析】如图所示，连接A8,A.D//BC,得到A，2，B,C四点共面，确定二面角R-/-A的大小为

Z4BA=60。，计算得到答案.

【详解】如图所示：连接A8,AQ//BC,故'R，民C四点共面，

故平面AC"和平面ABC。的交线为BC,

8C/平面ABB|A，ABU平面AB耳4,故BC_LAB,义ABJ.BC,

A8u平面ABC。，A8u平面A8CD,,

故二面角A-'A的大小为NA%=60。，a=6

3.如图所示，二面角的棱上有A,B两点，直线AC,8。分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已

知A8=4,AC=6,BD=8,CD=2后，则该二面角的大小为（）

【答案】C

【分析】根据垂直的条件得。VAB=0，ABBD=0,再由向量的数量积运算可得cos〈以,而〉=-g,根据

图示可求得二面角的大小.

【详解】由题意得：CAAB=0,ABBD=0<

因为CD=C4+A8+BO，

所以|CD|2=+|呵+2CAAB+2ABBD+2CABD,

21

即（2a）-=62+42+82+2X6X8XCOS〈C4,BO〉，解得：cos<CA,B£>）=--,

27r

又〈C4,5D〉w[0,司,则〈CA,BD〉=w，

由图示得，该二面角为〈AC,BD〉为锐角，即该二面角为g,

故选：C.

【题型六】翻折型二面角

【典例分析】

如下图，已知四边形ABC。，ADEF,AFGH均为正方形,先将矩形ECHG沿A。折起，使二面角£-AD-B

的大小为30。，再将正方形沿AF'折起，使二面角。的大小为30。，则平面AF'GT/'与平

面4BCO所成的锐二面角的余弦值为

【答案】B

【分析】根据射影面积法找到平面A8CD平面AFEO,平面A尸G"”'所成的锐.面角的关系，进而求的

结果.

【详解】如图，作"N_L£>£，G"N1DE'.

H'M±DE

DE',AD在平面AF'ED内，由AO_LH'M_L平面AF'EZ).

DE'nAD=D

G"N±DE'

在平面内，由AO，GW>nG"N_L面WE。.又因为△ADM与△FEW全等,

DE'nAD=D

设平面ABCD为平面a,平面AF'ED为平面p,平面AF'G"H'为平面y.

S四边形Af'MW=S四边形4尸'£7)

由面积射影定理知：cos(Ar)=

S四边形AFGTTS四边形赫底〃，

cos(a,y)=S明幽幽_

同理可得cosg,⑼=:叫.陵,2

3四边形4尸'£。S四边形AF'G"H'

3

所以cos(a,⑼.cosgy)=cos(a,/,故有cos(a,X)=cos30°cos30°=-

4

G"

【变式训练】

1.已知矩形A3CO中,AB=2,BC=\,折叠使点A,C重合,折痕为MN,打开平面ADMN,使二面角

A-MN-C的大小为3,则直线MN与直线4c的距离为()

A.走B.巫C.1D.—

242

【答案】B

【分析】设MN的中点为P,AC的中点为Q,则PQ为AC与MN的公垂线段，利用题设中的二面角可求公

垂线段的长度.

【详解】如图，设MN的中点为P,则折叠后二面角A-MV-C的平面角为/APC.

又尸A=PC=@，于是是边长为好的正三角形.

22

设AC的中点为Q,则P0为AC与MN的公垂线段，也即直线MN与直线AC的距离，为尸。=虫乂91=巫.

224

故选：B.

2.已知菱形A5CD中，2BAD",沿对角线8。折起，使二面角A-3O-C的平面角为0,若异面直线AC

3

与8。的距离是菱形边长的则。=()

4

【答案】c

［分析】先找到二面角A-BD-C的平面角为ZAOC,再证明是异面直线AC与BD的距离，在RJAOM

中求解.

【详解】如图，设菱形的边长为2a,连接两条对角线ACBD=O

易得AC，BD,AO=OC=

A

DC

AB

B

菱形ABC。沿对角线8。折起,连接AC,得到三棱锥A-BCD

__\AOLBD

在菱形A3CO中，ACJ.BD,翻着后垂直不变，即八人，cQ

A01BD

CO1BD

即NAOC=6又因为LcMc所以301平面AOC,取AC中点M,连接OM

AOcCO=O

AO,COu面AOC

又因为OMu平面AOC所以。在J1OC中，AO=OC=岳，并且M为AC的中点,

所以QW_LAC故OM是异面宜线ACLjBO的距离

333

又因为异面直线AC与30的距离是菱形边长的=所以OM=；x2a="

442

3

在RrAOM中，ZAOM=4所以5"_君，又因为

2COS2-7O-^-T2(2)

所以?=g.・.6=5故选：C

263

3.如图已知矩形ABCD,AB=1,BC=6,沿对角线AC将“3C折起,当二面角8-AC—。的余弦值为时,

则8与。之间距离为()

B

—

>c

D

D.叵

A.1B.上C.石

2

【答案】c

【分析】过8和。分别作BE,AC,DF1AC,根据向量垂直的性质,利用向量数量积进行转化求解即可.

【详解】解：过B和O分别作BELAC,DFJ.AC,

B

/1

/1\

/1\

//1।\\—

在矩形ABCD,AB=1,BC

'*****^\1

\1/

D

A1

-SfBc=S^ADC，•・3AB，BC=~^AC•BE：.BE二二DF=上,则AE=CF=不，即即=2—1=1,

22

.・平面45C与平面AC。所成角的余弦值为一，f1

cos<EB,FD>=--,

BD=BE+EF+FD，

2

BD=(BE+EF+FD)=BE+EF+FD+2BE-EF+2FD-BE+2EF-FD=-+\+--2\EB\\FD[\COS<EB,

FD>=--2x—x—x(--)=-+-=3,贝lj80=6,即B与。之间距离为G，故选：C.

222322

M分阶培优练

培优第一阶——基础过关练

1.在正方体中,E,F分别为48,4。的中点厕异面直线型：与E尸所成角的大小为（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】C

【分析】由题易得EF〃与A，连接CD”即可得出sBCR为等边三角形，从而得出所求角的大小为60°.

【详解】如下图所示，连接BDBQQC

EF//DB,DB//DR、:.EFHDR

则异面直线BC与所所成角为NA4c

=B.C=r>,c,gpBg为等边三角形

卬8（=60二

故选:c.

2.如图，空间四边形ABC£>中，平面平面8a）,NBA。=90。，且AB=AO,则A。与平面BCD所

成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】过点A作AEJ_30,垂足为E.证明AD与平面BCD所成的角是-4DE,再求ZADE的大小即得解.

如图，过点A作垂足为E.

因为平面平面BCD,AE1,BD,平面A3Dc平面8C£>=3£）,

所以AEJ_平面BCD

所以AD与平面BCD所成的角是4£>E.

因为ZBAD=90°,RAB=AD,

所以/ADE=45.

所以AZ）与平面8CQ所成的角是45.

故选：B.

【点睛】本题主要考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生时该知识的理解掌握水平.

3.已知正方形A8C。的边长为平面A8CD,PA=2,则PC与平面力5c。所成角是（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】B

【分析】根据线面角的知识求得正确答案.

【详解】由于"J_平面ABC。，ACu平面A8C。，

所以PAJ.AC,故NPC4是PC与平面ABC。所成角，

由于正方形ABCD的边长为&,所以AC=J（司+（可=2=尸4,

所以NPC4=45。.

故选：B

4.已知正方体4BCO-A/B/C/。，则O/A与平面A8CD所成的角为（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【答案】A

【分析】根据正方体的性质可知即为直线RA与平面ABC0所成的角，从而求出结果.

【详解】解：依题意，如图所示，

根据正方体的性质可知，DD、±平面ABCD,

ZD.AD即为直线RA与平面A3。所成的角，

又,/AD=DD、,NDQA=90°,

.•..4OR为等腰直角三角形，

二NRAD=45。，

故选：A.

5.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（）

A.相等B.互补C.互余D.相等或互补

【答案】D

【3析】作出图像数形结合即可判断.

A为二面角a-//内任意一点，ABLa,ACL/3,过B作8nl./于。、连接C。，

则/BDC为二面角a-//的平面角，乙48。=乙48=90。，

N8AC为两条垂线48与AC所成角或其补角，

,//4+NBDC=180。，

当二面角的平面角为锐角或直角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等，

当二面角的平面角为钝角时•，48与AC所成角与二面角的平面角大小互补.

故选：D.

6.过正方体A8CO-A8cq的顶点A作平面a,使正方形A8CD、正方形ABgd、正方形AORA所在平面

与平面a所成的二面角的平面角相等，则这样的平面a可以作（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】由正方体性质可直接判断.

如图所示，

由正方形可知，三棱锥A-ABO为正三棱锥，

所以平面AB£）与平面ABCZ）,平面A88M，平面所成角均相等，

所以平面a〃平面A23,

同理，因为平面A4GA〃平面43a）,平面CCQQ//平面ABAA,平面BBCC〃平面AO"A，

所以平面ACB,,平面ACR,平面ABQ与平面ABCO,平面488园，平面4。。A所成角均相等，

所以有4个，

故选：D.

7.如图，在长方体ABCO-AqCQ中，B4=8C,P为CQ的中点，则二面角B