2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第7章　§7.4　空间直线、平面的垂直（含解析）

第第页§7.4空间直线、平面的垂直课标要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊂α,n⊂α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围：[0，π]．4．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,a⊥β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α常用结论1．三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)2．(多选)下列命题中不正确的是()A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面βC．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案ABD解析若直线a垂直于平面α，则直线a垂直于平面α内的所有直线，故C正确，其他选项均不正确．3．如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法错误的是()A．PA⊥平面ABCB．BC⊥平面PACC．AC⊥平面PBCD．三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形答案C解析因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则有BC⊥平面PAC，故B正确；由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；假定AC⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，则AC⊥PC，即∠PCA＝90°，而在△PAC中∠PAC＝90°，矛盾，所以AC⊥平面PBC不正确，故C错误．4．过平面外一点P的斜线段是过这点的垂线段的eq\f(2\r(3),3)倍，则斜线与平面α所成的角是________．答案eq\f(π,3)解析如图，连接AB，由PB⊥α，知∠PAB是线段PA与平面α所成的角，在Rt△PAB中，因为PA＝eq\f(2\r(3),3)PB，所以sin∠PAB＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(\r(3),2)，∠PAB∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠PAB＝eq\f(π,3)，即线段PA与平面α所成的角为eq\f(π,3).题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C.(1)若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC1；(2)已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周长．(1)证明∵点B1在底面ABC内的射影是点C，∴B1C⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴B1C⊥AB.在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，∵BC∩B1C＝C，BC，B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵CC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.(2)解如图，延长BC至点E，使BC＝CE，连接C1E，则B1C1綉CE，四边形B1CEC1为平行四边形，则C1E綉B1C.由(1)知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE⊂平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，∵C1E＝B1C＝2eq\r(3)，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，∴CC1＝eq\r(CE2＋C1E2)＝4，BC1＝eq\r(BE2＋C1E2)＝2eq\r(7)，∴△BCC1的周长为2＋4＋2eq\r(7)＝6＋2eq\r(7).思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.证明(1)如图，连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因为A1C⊂平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1.(2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1＝AD，B1C1∥AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高．(1)证明因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如图，过点A1作A1O⊥CC1于点O.因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱锥A1－BB1C1C的高为A1O.因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC与Rt△A1BC中，因为A1B＝AB，BC＝BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C＝AC.设A1C＝AC＝x，则A1C1＝x，所以O为CC1中点，OC1＝eq\f(1,2)AA1＝1，又因为A1C⊥AC，所以A1C2＋AC2＝AAeq\o\al(2,1)，即x2＋x2＝22，解得x＝eq\r(2)，所以A1O＝eq\r(A1C\o\al(2,1)－OC\o\al(2,1))＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以四棱锥A1－BB1C1C的高为1.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．跟踪训练2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊂平面PAD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PA⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE，∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD，∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF，∴平面BEF∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.题型三垂直关系的综合应用例3如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点．(1)试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论；(2)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值；(3)求PB1与平面AA1D1D所成角的正切值的最大值．解(1)是．∵BA⊥平面AA1D1D，BA⊂平面BPA，∴平面BPA⊥平面AA1D1D，∴无论点P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D.(2)过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E，如图，则PE∥AA1，∴∠B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角．在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，∴∠A1AD1＝30°，∴A1B1＝A1D1＝eq\f(1,2)AD1＝2，∴A1E＝eq\f(1,2)A1D1＝1，AA1＝eq\r(3)A1D1＝2eq\r(3)，∴PE＝eq\f(1,2)AA1＝eq\r(3)，B1E＝eq\r(A1B\o\al(2,1)＋A1E2)＝eq\r(5)，∴在Rt△B1PE中，B1P＝eq\r(B1E2＋PE2)＝2eq\r(2)，∴cos∠B1PE＝eq\f(PE,B1P)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，∴异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为eq\f(\r(6),4).(3)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1D，∴∠B1PA1是PB1与平面AA1D1D所成的角，∴tan∠B1PA1＝eq\f(A1B1,A1P)＝eq\f(2,A1P)，∴当A1P最小时，tan∠B1PA1最大，这时A1P⊥AD1，A1P＝eq\f(A1D1·AA1,AD1)＝eq\r(3)，得tan∠B1PA1＝eq\f(2\r(3),3)，即PB1与平面AA1D1D所成角的正切值的最大值为eq\f(2\r(3),3).课时精练一、单项选择题1．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为()A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β答案B解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于平面β，因此A是真命题；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B是假命题；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D是真命题．2．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心答案D解析如图所示，因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，所以BC⊥平面PAO，则BC⊥OA，同理得OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心．3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC内的射影H必在()A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部答案A解析连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC内的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上．4．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若m⊥α，n⊥β，且α∥β，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n答案C解析由n⊥β且α∥β，可得n⊥α，而垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故A正确；由于α∥β，m⊥α，所以m⊥β，又因为n∥β，则m⊥n，故B正确；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故C错误；如图，设α∩β＝l，在平面β内作直线c⊥l，又因为α⊥β，则c⊥α，又m⊥α，所以m∥c，因为n⊥β，c⊂β，所以n⊥c，从而有m⊥n，故D正确．二、多项选择题5．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是()A．CD⊥PDB．AB⊥PCC．平面PBD⊥平面PACD．E，F，C，D四点共面答案AD解析如图所示，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正确；因为CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB与PC不垂直，故B错误；因为底面ABCD是矩形，所以BD与AC不一定垂直，则BD与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误；因为点E，F分别是棱PA，PB的中点，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F，C，D四点共面，故D正确．6.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2eq\r(3).则下列说法正确的有()A．CD⊥平面EDPB．四棱锥P－EBCD外接球的体积为4eq\r(3)πC．二面角P－CD－B的大小为eq\f(π,4)D．直线PC与平面EDP所成角的正切值为eq\r(2)答案ABC解析对于A，∵E为AB的中点，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形EBCD为平行四边形，又AB⊥BC，∴四边形EBCD为矩形，∴CD⊥DE.∵PD＝AD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，CD＝2，PC＝2eq\r(3)，∴PD2＋CD2＝PC2，∴CD⊥PD，又PD∩DE＝D，PD，DE⊂平面EDP，∴CD⊥平面EDP，A正确；对于B，∵BC∥DE，AB⊥BC，∴AE⊥DE，即PE⊥DE，∵CD⊥平面EDP，PE⊂平面EDP，∴CD⊥PE，又CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面EBCD，∴PE⊥平面EBCD，∵矩形EBCD的外接圆半径r＝eq\f(1,2)×eq\r(22＋22)＝eq\r(2)，∴四棱锥P－EBCD的外接球半径R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PE))2)＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，∴四棱锥P－EBCD外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，B正确；对于C，∵CD⊥平面EDP，PD⊂平面EDP，∴PD⊥CD；又DE⊥CD，∴二面角P－CD－B的平面角为∠PDE，∵PE⊥DE，PE＝DE＝2，∴∠PDE＝eq\f(π,4)，∴二面角P－CD－B的大小为eq\f(π,4)，C正确；对于D，∵CD⊥平面EDP，∴∠CPD即为直线PC与平面EDP所成的角，∵CD⊥PD，PD＝2eq\r(2)，CD＝2，∴tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即直线PC与平面EDP所成角的正切值为eq\f(\r(2),2)，D错误．三、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有________个．答案2解析在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有平面ABCD和平面A1B1C1D1，共两个．8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为eq\f(\r(5)－1,2)，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为________．答案eq\f(\r(10)－\r(2),2)解析画出如图所示示意图，设底面边长为a，则塔高EF＝eq\f(\r(5)－1,2)a，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)a，所以侧棱与底面所成的角∠EAF的正切值为eq\f(EF,AF)＝eq\f(\f(\r(5)－1,2)a,\f(\r(2),2)a)＝eq\f(\r(10)－\r(2),2).四、解答题9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝