2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第7章　§7.5　空间向量的概念与运算（原卷版）

第第页§7.5空间向量的概念与运算课标要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量长度相等而方向相反的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0常用结论1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．()(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．()(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．()(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.()2．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(C1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能确定4．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.题型一空间向量的线性运算例1(1)设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于()A．2B．3C．4D．5(2)在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若eq\o(DA,\s\up6(→))＝a，eq\o(DB,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,4)cB.eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,4)a＋b＋eq\f(1,4)cD.eq\f(1,2)a－b＋c跟踪训练1(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，则x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；②用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，则eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________.题型二空间向量基本定理及其应用例2(1)下列命题正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc(2)(多选)下列说法中正确的是()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CDC．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面D．若P，A，B，C为空间四点，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件跟踪训练2(1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若eq\o(BD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，则λ等于()A．2B．－2C．1D．－1(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足eq\o(DE,\s\up6(→))＝xeq\o(DA,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(DD1,\s\up6(→))，则|eq\o(DE,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)题型三空间向量数量积及其应用例3如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)求证：AA1⊥BD.跟踪训练3(1)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))等于()A.eq\f(5,9)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(4\r(2),3)D.eq\f(8,3)题型四向量法证明平行、垂直例4如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．跟踪训练4如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，PB⊥AC.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求eq\f(PQ,QD)的值；若不存在，说明理由．课时精练一、单项选择题1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于()A．－6B．6C．－4D．42.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．1B．2C．3D.eq\f(\r(6),3)3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2)))4.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝eq\r(2)，AC＝1，BD＝2，则CD的长为()A．2B．3C．2eq\r(3)D．45．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D二、多项选择题6．下列关于空间向量的命题中，正确的有()A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥bB．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥cC．若{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}是空间的一个基底，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共面D．若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底，则{a，b，c}也是空间的一个基底三、填空题7．已知向量a＝(1,1,0)，则与a同向共线的单位向量e＝________.8．在空间直角坐标系中，已知A(1,1,0)，B(－1,0,2)，点C满足eq\o(AC,\s\up6(→))＝3e