初中函数难题

1.如图，直线"：y=2x与直线G：y=-3x+6相交于点A,直线㊀与x轴交于点8,平行于x轴的

直线y=〃分别交直线L、直线于2、。两点（点尸在。的左侧）

⑴点A的坐标为;

⑵如图1,若点P在线段AO上，在x轴上是否存在一点H,使得APQH为等腰直角三角形，若存在,

求出点H的坐标；若不存在，说明理由；

⑶如图2.若以点P为直角顶点，向下作等腰直角APQF,设APQb与

AAO8重叠部分的面积为S,求S与〃的函数关系式；并注明〃的取值范围.

1

2.如图，直线y=kx+6与x轴，y轴分别相交于点A,B,0为坐标原点，点A的坐标为(-8,0).

(1)求k的值；

(2)若点P(x,y)是第二象限内直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出AOPA的面积S

与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)若点P(0,m)为射线BO(B,。两点除外)上的一动点，过点P作PC_Ly轴交直线AB于C,连

接PA.设APAC的面积S.求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.

2

3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-3,与x轴交于点A,与y轴交于点B；等腰直角APaC中,

PQ=PC；点P在x轴上，点Q在y轴上，点C在直线AB上，且位于点A的上方.

(1)如果点C的坐标为(5,m),求出点Q的坐标；

(2)如果点C的坐标为(x,y)(x>y),求出点Q的坐标；

(3)把直线AB向下平移b(b>0)个单位，请求出点Q的坐标(直接写出结果).

付

Ox

3

4.我们给出如下定义：如图①.，平面内两条直线4、4相交于点°，对于平面内的任意一点M,若P、

q分别是点M到直线/1和4的距离(P'O,q>0)，称有序非负实数对上过］是点M的距离坐标。

根据上述定义，请解答下列问题：

如图②，平面直角坐标系xoy内，直线4的关系式为y=%,直线4的关系式为y=M是平面

直角坐标系内的点。

(1)若p=q=O,求距离坐标为［0,0］时，点M的坐标；

(2)若q=0,且2+4=机(机>0),利用图②，在第一象限内，求距离坐标为［p,q］时，点M的坐

标；

(3)若p=l,q=；,则坐标平面内距离坐标为［〜引时，点M可以有几个位置？并用三角尺在图③

画出符合条件的点M(简要说明画法)。

4

1.解：⑴点A的坐标为(!，£)一一2'

(2)令y=ri9贝！J〃=2%；・x=!儿

2

••点P(—n9〃)

2

n——3x+6••x—2—n

3

:.点Q(2-工〃，n)-----------------------3'

3

/.PQ=2--n--n=2--n---------4，

326

作轴于H当尸”=P。时APQ”为等腰直角三角形

121126

2—n=nn=一—x——=一/.H(―,0)--5'

611211111l11

作QHLx轴于“当Qa=PQ时APQ//为等腰直角三角形

1=1rm-=-rzB.1211218•口/18八、

I可理可得〃=—2—x—=—・.H(—，0)-------6

113111111

当尸"="Q且Z.PHQ=90°时APQH为等腰直角三角形

作"G_LQQ可得PQ=2HG

12

/.2——n=2nn=一

617

11263018

_y__—__c2—1x——12・・.”(―,0)——8'

217-1731717EQ与1717

点的坐标为(-,0),(―,0),(―,0)

111117

⑶当g时

115

=g(2_|”—io，

当04〃<3时

2——n-n=2--n

66

AS=-|2--n+2-—n|-n=--n2+2n--------12'

2(66)3

3

2.解：(1)A(-8,0)代入直线尸kx+6,得k二一.

4

113

(2)P(x,y)则S=—0A・y二一・8(-x+6)=3x+24(-8<x<0).

224

5

(3)如图，PC，y轴，P(0,m),所以C点的纵坐标为m,则有±3x+6=m,x=-z-lm--—--2-4，BPC(-----—-2--4,

433

24-4m

PC=-------

3

I124—2

分两种情况：①当0<m<6,S=—OP,PC=—m-------=m2+4m.

2233

3.解:(1)3点C在直线y=x-3上,C的坐标是(5,m),.\m=5-3=2,即C(5,2),

过C作CMLx轴于M,则CM=2,0M=5,「△PQC是等腰直角三角形，...NQPC=90°,PQ=PC,VZQOP=

ZCMP=90°,.,.Z0QP+Z0PQ=90°,Z0PQ+ZCPM=90°,

ZCPM=ZOQP,在△OQP和AMPC中，ZQ0P=ZPMC,Z0QP=ZCPM,PQ=PC,/.AOQP^AMPC,.*.OQ=PM,

0P=CM=2,.\OQ=PM=5-2=3,；.Q的坐标是(0,3)；

(2)VC(x,y),.*.CM=y,0M=x,由(1)得：OP=CM=y,0Q=PM=x-y,；.Q的坐标是(0,x-y)；

(3):把直线AB(y=x-3)向下平移b(b>0)个单位，，平移后的解析式是y=x-3-b,.•.设C的坐

标是(x,x-3-b).由(1)知：OQ=PM,OP=CM=x-3-b,.*.OQ=PM=x-(x-3-b)=3+b,；.Q的坐标是(0,

3+b).

6

4.（1）：p=q=O；.点四是4和4的交点，故M（0,0）

（2）,.•4=0二点”在/2上，如图②在第一第一象限内取点

过点M作加A，/i交人于点A,过点Af作BC〃y轴交小x轴于点8、。则OC=BC

*.*p+q=>0）MA—m,Z^B—45°,BM=y/'2AM=yl'2m

BC=BM+MC=41m+-a

2

画法：1分别过点（0,3）、（0,-JE）作与直线人平行的直线EAE书（与4距离为1）