贵州省遵义汇川区六校联考2022年数学九年级第一学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm2．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°3．已知二次函数的与的部分对应值如表：下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是；⑤若是抛物线上两点，则；⑥.其中正确的个数是()A． B． C． D．4．方程的解是（）A． B． C．或 D．或5．如图，在中，，，将绕点按顺时针旋转后得到．此时点在边上，则旋转角的大小为()A． B． C． D．6．有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A． B． C． D．7．如图，在中，，为上一点，，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，同时点由点出发，沿方向以的速度匀速运动，设运动时间为，连接交于点，若，则的值为()A．1 B．2 C．3 D．48．抛物线，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标9．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣5x的图象上，则y1，y2，y3A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y110．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（）A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6m11．如图，点E为菱形ABCD边上的一个动点，并延A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A． B．C． D．12．如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（）A．1.1米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.3米二、填空题（每题4分，共24分）13．对于实数a和b，定义一种新的运算“*”，，计算=______________________．若恰有三个不相等的实数根，记，则k的取值范围是_______________________．14．分解因式：__________．15．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．16．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是_____；17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．18．在一个不透明的盒子中装有6个白球，x个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率为，则x=_______．三、解答题（共78分）19．（8分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．20．（8分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分女生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和频数直方图，请你根据图表中的信息完成下列问题：（1）频数分布表中a=，b=；（2）将频数直方图补充完整；（3）如果该校九年级共有女生360人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30次或30次以上的女学生有多少人？（4）已知第一组有两名甲班学生，第四组中只有一名乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？21．（8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）求当线段AM最短时的长度22．（10分）阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的面积为S1，正方形ABCD的面积为S1．以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON＝90°．将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，分别与正方形ABCD的边交于点G、H．设由OE、OF、及正方形ABCD的边围成的图形(阴影部分)的面积为S．（1）当OM经过点A时(如图①)，则S、S1、S1之间的关系为：(用含S1、S1的代数式表示)；（1）当OM⊥AB于G时(如图②)，则(1)中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论任然成立吗：请说明理由.23．（10分）（1）①如图1，请用直尺（不带刻度）和圆规作出的内接正三角形（按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）.②若的内接正三角形边长为6，求的半径；（2）如图2，的半径就是（1）中所求半径的值.点在上，是的切线，点在射线上，且，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，点是上的点（不与点重合），是的切线.设点运动的时间为（秒），当为何值时，是直角三角形，请你求出满足条件的所有值.24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=1．（1）求反比例函数的解析式；（2）求cos∠OAB的值；（1）求经过C、D两点的一次函数解析式．25．（12分）已知是关于的一元二次方程的两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若，求的值；26．在一个不透明的小布袋中装有4个质地、大小完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，2，3，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．（1）画树状图或列表，写出点所有可能的坐标；（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若在第一象限，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？请你作出判断并说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】根据相似三角形三边对应成比例进行求解即可得.【详解】设另一个三角形的最长边为xcm，由题意得5：2.5=9：x，解得：x=4.5，故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键.2、B【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解．【详解】解：∵直径AB⊥弦CD∴CE＝DE故选B.【点睛】本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成．3、B【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，则可对①进行判断；求出抛物线的对称轴则可对②进行判断；利用抛物线与x轴的两个交点可对③④进行判断；根据二次函数的增减性可对⑤进行判断；根据a、b、c的具体数值可对⑥进行判断．【详解】解：由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），∴设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把（﹣1，5）代入得：5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确；∵（0，0）与（4，0）关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，所以②正确；∵抛物线的开口向上，且与x轴交于点（0，0）、（4，0），∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；抛物线与x轴的两个交点（0，0）与（4，0）间的距离是4，所以④正确；若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则，所以x1与x2的大小不能确定，所以⑤错误；∵a=1，b=－4，c=0，∴，所以⑥错误．综上，正确的个数有3个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与x轴的交点以及二次函数与不等式等知识，属于常见题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4、C【解析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案.【详解】解：∵，∴x－1=0或x－2=0，解得：或.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.5、A【分析】根据旋转的性质和三角形的内角和进行角的运算即可得出结果．【详解】解：∵在中，，，∴∠B=59°，∵将绕点按顺时针旋转后得到，∴∠BCD是旋转角，，∴BC=DC，∴∠CDB=∠B=59°，∴∠BCD=180°−∠CDB−∠B=62°，故选A．【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形的内角和，解题的关键是找到旋转角并熟练运用旋转的性质求解．6、B【详解】试题分析：根据题意，画出树状图如下：一共有6种情况，在第二象限的点有（﹣1，1）（﹣1，2）共2个，所以，P=．故选B．考点：列表法与树状图法求概率．7、B【分析】过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则DF=10-2-t=8-t，证明△DFG∽△HCG，可求出CH，再证明△ADE∽△CHE，由比例线段可求出t的值．【详解】解：过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则BD=t，AE=2t，DF=10-2-t=8-t，

∵DF∥CH，

∴△DFG∽△HCG，∴，∴CH=2DF=16-2t，

同理△ADE∽△CHE，∴，∴，解得t=2，t=（舍去）．故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．8、C【分析】直接根据顶点式即可得出顶点坐标，根据a的正负即可判断开口方向．【详解】∵，∴抛物线开口向下，由顶点式的表达式可知抛物线的顶点坐标为，∴抛物线开口向下，顶点坐标故选：C．【点睛】本题主要考查顶点式的抛物线的表达式，掌握a对开口方向的影响和顶点坐标的确定方法是解题的关键．9、C【解析】将点A（-1，y1），B（1，y2），C（3，y3）分别代入反比例函数y＝﹣5x，并求得y1、y2【详解】根据题意，得

y1=-5-1=5，即y1=5，

y2=-51=-5，即y2=-5，

y3=-53=-53，即【点睛】本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟记点的横纵坐标满足反比例函数的解析式．10、D【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，∵△ABC∽△EDC，∴，即，解得：AB＝6，故选D．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．11、D【解析】点E沿A→B运动，△ADE的面积逐渐变大；点E沿B→C移动，△ADE的面积不变；点E沿C→D的路径移动，△ADE的面积逐渐减小．故选D.点睛：本题考查函数的图象.分三段依次考虑△ADE的面积变化情况是解题的关键.12、D【分析】根据黄金分割点的比例，求出距离即可．【详解】∵黄金分割点的比例为（米）∴主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（米）故答案为：D．【点睛】本题考查了黄金分割点的实际应用，掌握黄金分割点的比例是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】分当时，当时两种情况，分别代入新定义的运算算式即可求解；设y=，绘制其函数图象，根据图象确定m的取值范围，再求k的取值范围．【详解】当时，即时，当时，即时，；设y=，则y=其函数图象如图所示，抛物线顶点，根据图象可得：当时，恰有三个不相等的实数根，其中设，为与的交点，为与的交点，，，时，，故答案为：；【点睛】本题主要考查新定义问题，解题关键是将方程的解的问题转化为函数的交点问题．14、【解析】试题分析：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．先把式子写成a2-32，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．故答案为（a+3）（a-3）．考点：因式分解-运用公式法．15、2-2【解析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．【详解】如图：取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，由以上作图可知，BG⊥EC于G，PD+PG=PD′+PG=D′G，由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，∵D′C’=4，OC′=6，∴D′O=，∴D′G=-2，∴PD+PG的最小值为-2，故答案为-2.【点睛】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.16、【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．【详解】作AH⊥BC交CB的延长线于H，∵反比例函数y＝的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），∴AH＝3﹣1＝2，BH＝3﹣1＝2，由勾股定理得，AB＝＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝BC×AH＝4，故答案为4．【点睛】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键．17、（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．18、1【分析】直接以概率求法得出关于x的等式进而得出答案．【详解】解：由题意得：，解得，故答案为：1．【点睛】本题考查了概率的意义，正确把握概率的求解公式是解题的关键．三、解答题（共78分）19、解：（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是7.5cm．【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【详解】（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴．连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴．∴．则AC=15（cm）．∴⊙O的半径是7.5cm．考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．20、（1）0.3，4；（2）见解析；（3）198；（4）.【分析】（1）由第一组的频数和频率得到总人数，乘以0.2即可得b的值，用1−0.15−0.35−0.20可得a的值；（2）根据表格中第二组的数据将直方图补充完整；

（3）利用样本估计总体的知识求解即可得答案；

（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求答案．【详解】解：(1)a=1−0.15−0.35−0.20=0.3；总人数为：3÷0.15=20(人)，b=20×0.20=4(人)；故答案为：0.3，4；（2）补全统计图如图：(3)估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：360×(0.35+0.20)=198(人)；(4)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有6种情况，∴所选两人正好都是甲班学生的概率P=.【点睛】本题考查统计图与概率的计算，找到统计图中数据的对应关系是解题的关键.21、（1）证明见解析；（2）BE=1或；（3）．【解析】试题分析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；（3）先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=-（x-3）2+，利用二次函数的性质，继而求得线段AM的最小值．试题解析：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC-EC=6-5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴∴CE=∴BE=6-∴BE=1或（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴即：∴CM=∴AM=-5-CM=∴当x=3时，AM最短为．考点：相似形综合题．22、（1）；（1）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（1）（1）中的结论仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）结合正方形的性质及等腰直角三角形的性质，容易得出结论；（1）仍然成立，可证得四边形OGHB为正方形，则可求出阴影部分的面积为扇形OEF的面积减去正方形OGBH的面积；（3）仍然成立，过O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为R、S，则可证明△ORG≌△OSH，可得出四边形ORBS的面积=四边形OGBH的面积，再利用扇形OEF的面积减正方形ORBS的面积即可得出结论．试题解析：（1）当OM经过点A时由正方形的性质可知：∠MON=90°，∴S△OAB=S正方形ABCD=S1，S扇形OEF=S圆O=S1，∴S=S扇形OEF-S△OAB=S圆O-S正方形ABCD=S1-S1=（S1-S1），（1）结论仍然成立，理由如下：∵∠EOF=90°，∴S扇形OEF=S圆O=S1∵∠OGB=∠EOF=∠ABC=90°，∴四边形OGBH为矩形，∵OM⊥AB，∴BG=AB=BC=BH，∴四边形OGBH为正方形，∴S四边形OGBH=BG1=（AB）1=S1，∴S=S扇形OEF-S四边形OGBH=S1-S1=（S1-S1）；（3）（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵∠EOF=90°，∴S扇形OEF=S圆O=，过O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为R、S，由（1）可知四边形ORBS为正方形，∴OR=OS，∵∠ROS=90°，∠MON=90°，∴∠ROG=∠SOH=90°-∠GOS，在△ROG和△SOH中，，∴△ROG≌△SOH（ASA），∴S△ORG=S△OSH，∴S四边形OGBH=S正方形ORBS，由（1）可知S正方形ORBS=S1，∴S四边形OGBH=S1，∴S=S扇形OEF-S四边形OGBH=（S1-S1）．考点：圆的综合题．23、（1）①见解析；②；（2）.【分析】（1）①作半径的垂直平分线与圆交于，再取，则即为正三角形；②连接，设半径为，利用勾股定理即可求得答案；（2）分当，且点在点左侧或右侧，时四种情况讨论，当时，在Rt中利用勾股定理求解即可；当且点在点左侧或右侧时，构造矩形和直角三角形，利用解直角三角形即可求解；当时，构造正方形和直角三角形即可求解.【详解】（1）①等边如图所示；②连接，如图，设半径为，由作图知：，⊥，∴，在中，，即，解得：；（2）当时，连接，如图，∵QG是的切线，∴，∵，∴三点共线，又∵DF是的切线，∴，设点运动的时间为（秒），∴，在中，，，∴，在Rt中，，，，∴，即，解得：；当，且点在点左侧时，连接，过点G作GM⊥OD于M，如图，∵是的切线，∴，∴四边形DFGM为矩形，∴，在Rt中，，，∴，∵，∴，∵QG是的切线，四边形DFGM为矩形，∴，∴在Rt中，，，∴即解得：；当时，连接，如图，∵是的切线，QG是的切线，∴，，∴四边形ODQG为正方形，∴，∴；当，且点在点左侧时，连接，过点O作ON⊥于N，如图，∵是的切线，∴，∴四边形DFNO为矩形，∴，在Rt中，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵QG是的切线，，∴，∴，∴，∴；综上：当、、、时，是直角三角形.【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到的知识有：简单作图，勾股定理，切线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，构造合