高考数学一轮复习（知识回扣+热点突破+能力提升）数系的扩充与复数的引入 理 北师大版

第四节数系的扩充与复数的引入【考纲下载】1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类eq\a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，b≠0，,非纯虚数a≠0，b≠0.))))(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a、b∈R)．2．复数的几何意义(1)复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．(3)复数的几何表示复数z＝a＋bieq\a\vs4\al(一一对应)复平面内的点Z(a，b)eq\a\vs4\al(一一对应)平面向量.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.1．复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0吗？提示：不是，a＝0是a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要条件，只有当a＝0，且b≠0时，a＋bi才为纯虚数．2．z1，z2是复数，z1－z2>0，那么z1>z2，这个命题是真命题吗？提示：假命题．例如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－z2＝3>0，但z1>z2无意义，因为虚数无大小概念．3．若z1，z2∈R，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0，此命题对z1，z2∈C还成立吗？提示：不一定成立．比如z1＝1，z2＝i满足zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0.但z1≠0，z2≠0.1．(·湖南高考)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．2．复数eq\f(5i,1－2i)＝()A．2－iB．1－2iC．－2＋iD．－1＋2i解析：选Ceq\f(5i,1－2i)＝eq\f(5i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(5i＋10i2,1－2i2)＝eq\f(5i－10,5)＝－2＋i.3．(·新课标全国卷Ⅱ)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝()A．2eq\r(2)B．2C.eq\r(2)D．1解析：选C∵eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝eq\f(21－i,2)＝1－i，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝|1－i|＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2).4．已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.解析：根据已知可得eq\f(a＋2i,i)＝b＋i⇒2－ai＝b＋i⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,－a＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,a＝－1.))从而a＋b＝1.答案：15．设a是实数，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)是实数，则a＝________.解析：eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a－ai,2)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a＋1＋1－ai,2)为实数，故1－a＝0，即a＝1.答案：1考点一复数的有关概念[例1](1)(·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1(2)(·山东高考)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i是虚数单位)，则z的共轭复数eq\x\to(z)为()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i[自主解答](1)∵a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.(2)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋eq\f(5,2－i)＝eq\f(52＋i,2－i2＋i)＋3＝eq\f(52＋i,5)＋3＝5＋i，∴eq\x\to(z)＝5－i.[答案](1)D(2)D【互动探究】若将本例(2)中的“z－3”改为“z－i”，则eq\x\to(z)为何值？解：∵(z－i)(2－i)＝5，则z－i＝eq\f(5,2－i)，∴z＝i＋eq\f(5,2－i)＝i＋(2＋i)＝2＋2i，∴eq\x\to(z)＝2－2i.【方法规律】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．1．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq\x\to(z)＝a－bi，则z－eq\x\to(z)为()A．实数B．纯虚数C．零D．零或纯虚数解析：选D由题意知z－eq\x\to(z)＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，当b＝0时，z－eq\x\to(z)为0；当b≠0时，z－eq\x\to(z)为纯虚数．2．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z2＋eq\x\to(z)2的虚部为()A．0B．－1C．1解析：选A∵z2＋eq\x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋eq\x\to(z)2的虚部为0.考点二复数的几何意义[例2](1)(·江西高考)已知复数z的共轭复数eq\x\to(z)＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)(·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D(3)(·辽宁高考)复数z＝eq\f(1,i－1)的模为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2[自主解答](1)由共轭复数的定义知：z＝1－2i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．(2)设z＝－a＋bi(a>0，b>0)，则z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝－a－bi.它对应的点为(－a，－b)，是第三象限的点，即图中的B点．(3)∵z＝eq\f(1,i－1)＝eq\f(i＋1,i－1i＋1)＝eq\f(i＋1,－1－1)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).[答案](1)D(2)B(3)B【方法规律】判断复数在平面内的点的位置的方法首先将复数化成a＋bi(a，b∈R)的形式，其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限．1．在复平面内，复数6＋5i、－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：选C由题意得A(6,5)，B(－2,3)，所以AB中点C的坐标为(2,4)，所以点C对应的复数为2＋4i.2．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C.O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是________．解析：由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∵＝x＋y，∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3，,2x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))故x＋y＝5.答案：5高频考点考点三复数代数形式的运算1．复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题．2．高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下几个命题角度：(1)复数的乘法运算；(2)复数的除法运算；(3)利用复数相等求参数．[例3](1)(·浙江高考)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()A．5－5iB．7－5iC．5＋5iD．7＋5i(2)(·新课标全国卷Ⅰ)eq\f(1＋2i,1－i2)＝()A．－1－eq\f(1,2)iB．－1＋eq\f(1,2)iC．1＋eq\f(1,2)iD．1－eq\f(1,2)i(3)(·广东高考)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是()A．2B．3C．4[自主解答](1)(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.(2)eq\f(1＋2i,1－i2)＝eq\f(1＋2i,－2i)＝eq\f(1＋2ii,－2ii)＝eq\f(－2＋i,2)＝－1＋eq\f(1,2)i.(3)由已知得x＋yi＝eq\f(3＋4i,i)＝4－3i，故|x＋yi|＝eq\r(42＋－32)＝5.[答案](1)C(2)B(3)D复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．(3)利用复数相等求参数．a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．1．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i解析：选A由题意知z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.2．i为虚数单位，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2014＝()A．－iB．－1C．iD．1解析：选Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2014＝i2014＝i2＝－1.3．设a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．解析：∵eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i＝a＋bi，∴a＋b＝8.答案：8———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个分类——复数的分类对复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数．2个技巧——复数的运算技巧(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．3个结论——复数代数运算中常用的三个结论(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.前沿热点(六)与复数有关的新定义问题1．复数的定义及运算的考查多以客观题的方式呈现，也常从与实数的一些性质类比的角度命制新定义问题．2．解决此类问题的关键是抓住新定义或新运算的特征，对所给的新信息进行分析，并将所给信息与所学相关知识结合．[典例](·南昌模拟)在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，z1>z2当且仅当“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2按上述定义的关系“>”，给出如下四个命题：①若z1>z2，则|z1|>|z2|；②若z1>z2，z2>z3，则z1>z3；③若z1>z2，则对于任意z∈C，z1＋z>z2＋z；④对于复数z>0，若z1>z2，则zz1>zz2.其中所有真命题的个数为()A．1B．2C．3[解题指导]新定义复数的“序”：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，z1>z2当且仅当“a1>a2”或“a1＝a2且b1＞b2[解析]对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1>z2，但|z1|＝eq\r(5)，|z2|＝eq\r(10)，不满足|z1|>|z2|，故①不正确；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，由z1>z2，z2>z3可得“a1>a3”或“a1＝a3且b1>b3”，故②正确；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋bi，由z1>z2可得“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2”．显然有“a1＋a>a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b>b2＋b”，从而z1＋z>z2＋z，故③正确；对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i显然满足z1>z2，令z＝1＋i，则zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，显然不满足zz1>zz2，故④错误．综上②③正确，故选B.[答案]B[名师点评]解决本题的关键有以下两点：(1)根据所给的新定义把所给的复数大小比较问题转化为复数的实部、虚部之间的大小比较问题来处理．(2)能善于利用举反例的方法解决问题．定义一种运算如下：＝x1y2－x2y1，则复数z＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)＋i－1,\r(3)－ii))(i是虚数单位)的共轭复数是________．解析：由定义可知，z＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)＋i－1,\r(3)－ii))＝(eq\r(3)＋i)·i－(－1)·(eq\r(3)－i)＝eq\r(3)i＋i2＋eq\r(3)－i＝(eq\r(3)－1)i＋eq\r(3)－1，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝(eq\r(3)－1)＋(1－eq\r(3))i.答案：(eq\r(3)－1)＋(1－eq\r(3))i[全盘巩固]1．(·浙江高考)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝()A．－3＋iB．－1＋3iC．－3＋3iD．－1＋i解析：选B(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.2．(·北京高考)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A∵z＝i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i，∴复数z在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限．3．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝()A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i解析：选B由(x－i)i＝y＋2i，得xi＋1＝y＋2i.∵x，y∈R，∴x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.4．(·新课标全国卷Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4 B.－eq\f(4,5) C.4 D.eq\f(4,5)解析：选D因为|4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，所以已知等式为(3－4i)z＝5，即z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(53＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(53＋4i,25)＝eq\f(3＋4i,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以复数z的虚部为eq\f(4,5).5．设z1，z2是复数，则下列命题中假命题的是()A．若|z1－z2|＝0，则eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2B．若z1＝eq\x\to(z)2，则eq\x\to(z)1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2D．若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)解析：选D对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋eq\r(3)i，则|z1|＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝4，zeq\o\al(2,2)＝－2＋2eq\r(3)i，是假命题．6．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则eq\f(1,z＋a)的虚部为()A．－eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)iC.eq\f(2,5)D.eq\f(2,5)i解析：选A由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a＋1≠0，))所以a＝1，所以eq\f(1,z＋a)＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，根据虚部的概念，可得eq\f(1,z＋a)的虚部为－eq\f(2,5).7．若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.解析：由eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(3＋bi1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(3－b＋3＋bi,2)＝a＋bi，得a＝eq\f(3－b,2)，b＝eq\f(3＋b,2)，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.答案：38．复数z＝eq\f(1,1＋i)(i是虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点位于第________象限．解析：由题意得z＝eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，所以其共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，在复平面上对应的点位于第一象限．答案：一9．定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ac,bd))＝ad－bc，复数z满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(zi,1i))＝1＋i，则复数z的模为________．解析：由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(zi,1i))＝1＋i，得zi－i＝1＋i⇒z＝eq\f(1＋2i,i)＝2－i，故|z|＝eq\r(22＋－12)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)10．计算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2).解：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－3＋i,－i)＝－1－3i.(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)＋eq\f(1＋i,－2i)＝eq\f(1＋i,－2)＋eq\f(－1＋i,2)＝－1.(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)＝eq\f(\r(3)＋i－i,\r(3)＋i2)＝eq\f(－i,\r(3)＋i)＝eq\f(－i\r(3)－i,4)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i.11．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝2，,m2－2m－15＝－12，))解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝12，,m2－2m－15＝－16，))解得m＝1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，解得m＜－3或m12．复数z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，若eq\x\to(z)1＋z2是实数，求实数a的值．解：eq\x\to(z)1＋z2＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝eq\f(a－13,a＋5a－1)＋(a2＋2a－15)i.∵eq\x\to(z)1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.[冲击名校]1．若sinα＋2icosα＝2i(i为虚数单