高中数学第二章平面向量2-2-2向量减法运算及其几何意义课件新人教A版必修4

2.2.2向量减法运算及其几何意义必备知识·自主学习1.相反向量定义:如果两个向量_________,_________,那么称这两个向量是相反向量.性质:(1)对于相反向量有:a+(-a)=__.(2)若a,b互为_________,则a=-b,a+b=0.(3)零向量的相反向量仍是_______.导思(1)相反向量与相反数一样吗?你能作出向量a与b的差a-b吗?(2)向量减法有哪些运算法则?长度相等方向相反0相反向量零向量【思考】有人说:相反向量即方向相反的向量,定义中“长度相等”是多余的,对吗?提示:不对,相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解,不是仅方向相反,还必须长度相等.2.向量的减法(1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.(2)作法:在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量a-b=____,如图所示.(3)几何意义:a-b可以表示为从向量b的_____指向向量a的_____的向量.终点终点【思考】(1)由向量减法的定义,你认为向量的减法与加法有何联系?提示:向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法.(2)由向量减法作图方法,求差的两个向量的起点是怎样的?差向量的方向如何?提示:求差的两个向量是共起点的,差向量连接两向量终点,方向指向被减向量.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两向量首尾相连,和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点. (

)(2)向量a-b,当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量. (

)(3)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量. (

)(4)向量与向量是相反向量. (

)提示:(1)√.由向量加法的三角形法则知正确.(2)√.由向量减法法则知正确.(3)×.由平行向量与相反向量的定义可知,相反向量必为平行向量,平行向量不一定是相反向量.(4)√.向量与向量长度相等,方向相反.2.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,D是BC的中点,设=c,=b,=a,=d,则d-a=________.

【解析】d-a=d+(-a)=+==c.答案:c2.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,D是BC的中点,设=c,=b,=a,=d,则d-a=________.

【解析】d-a=d+(-a)=+==c.答案:c3.设b是a的相反向量,则下列说法正确的有________.

①a与b的长度必相等;②a∥b;③a与b一定不相等;④a是b的相反向量.【解析】因为0的相反向量是0,故③不正确.其他均正确.答案:①②④关键能力·合作学习类型一向量减法的几何意义(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.(2020·济南高一检测)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.2.如图,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作:(1)b+c-a;(2)a-b-c.【解析】1.方法一:如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,

则=a+b,再作=c,则=a+b-c.方法二:如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.2.如图所示,以,为邻边作▱OBDC,连接OD,AD,则=+=b+c,所以,(1)b+c-a=-=.(2)a-b-c=a-(b+c)=-=.【解题策略】(1)作两向量的差的步骤.【解题策略】(1)作两向量的差的步骤.(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后用加法a+(-b)即可.(3)向量减法的三角形法则对共线向量也适用.【补偿训练】

1.如图所示,已知向量a,b,c,求作a-b-c.【解析】如图所示,以A为起点分别作向量和,使=a,=b.连接CB,得向量,再以C为起点作向量,使=c.连接DB,得向量.则向量即为所求作的向量a-b-c.2.试根据图中给出的向量,确定a,b,c,d的方向(用箭头表示),使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d.【解析】因为a+b=,c-d=,所以如图所示,作平行四边形OBEC,平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可得b-c=,a+d=.类型二向量的加减法运算(逻辑推理、直观想象)【题组训练】1.在△ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,则等于(

)2.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,||2=16,||=||,则||=(

)A.8 B.4 C.2 D.13.化简:(1)(2)【解析】1.选D.如图所示,2.选C.由||=||可知与垂直,故△ABC为直角三角形,AM为斜边BC的中线,所以||=2.【解题策略】1.向量减法运算的常用方法2.向量加法与减法的几何意义的联系

如图所示,平行四边形ABCD中,若=a,=b,则=a+b,=a-b.【补偿训练】

1.化简下列各式:(1)()+(-).(2)【解析】(1)方法一:原式==.方法二:原式=(2)方法一:原式=方法二:原式=2.下列各式中不能化简为的是 (

)A.B.C.D.【解析】选D.选项A中,=;选项B中,选项C中,类型三向量加减运算几何意义的应用(数学建模、逻辑推理)

角度1利用已知向量表示未知向量

【典例】如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且试用向量a,b,c表示向量【思路导引】由平行四边形的性质可知=c,由向量的减法可知:=,由向量的加法可知=.【解析】因为四边形ACDE是平行四边形,所以故【变式探究】本例中的条件“B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”,其他条件不变,其结论又如何呢?【解析】如图,因为四边形ACDE是平行四边形,所以角度2求解或证明几何问题

【典例】已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|的值为________.

【思路导引】作出图形,利用向量的加减法几何意义求解.【解析】如图,=a,=b,则||=|a-b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB,则||=|a+b|.由于(+1)2+(-1)2=42.故||2+||2=||2,所以△OAB是以∠AOB为90°的直角三角形,从而OA⊥OB,所以▱OACB是矩形.根据矩形的对角线相等有||=||=4,即|a+b|=4.答案:4【解题策略】1.解决用已知向量表示未知向量问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系,确定已知向量与被表示向量的转化渠道.2.利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤如下:(1)由题意作出相对应的几何图形,构造有关向量.(2)利用三角形法则和平行四边形法则,对向量的加、减法进行运算.(3)构造三角形(一般是直角三角形),利用三角形的边、角关系解题.【题组训练】1.如图,在△ABC中,D,E分别为边AC,BC上的任意一点,O为AE,BD的交点,已知

=a,=b,=c,=e,用a,b,c,e表示向量.【解析】在△OBE中,有=e-c,在△ABO中,=e-c-a,在△ABD中,=a+b,所以在△OAD中,=e-c-a+a+b=e-c+b.2.如图所示,已知试用a,b,c,d,e,f表示:

【解析】(1)因为(2)因为所以=b+f-a-c.(3)因为所以备选类型向量加减运算的三角不等式(数学建模、逻辑推理)【典例】已知向量a,b,那么|a|-|b|与|a±b|及|a|+|b|三者具有什么样的大小关系?【思路导引】(1)零向量的运算性质.(2)向量加(减)法的三角形法则.【解析】它们之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(1)当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立.(2)当a,b不共线时,作=a,=b,则a+b=,如图(1)所示,根据三角形的性质,有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可证||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.(3)当a,b非零且共线时,①当向量a与b同向时,作法同上,如图(2)所示,此时|a+b|=|a|+|b|.②当向量a,b反向时,不妨设|a|>|b|,作法同上,如图(3)所示,此时|a+b|=|a|-|b|.

综上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【解题策略】1.平面向量加减法的几何意义:平行四边形ABCD中,若=a,=b,则

=a+b,=a-b.

2.类比||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|可知||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.【补偿训练】

(2020·本溪高一检测)已知菱形ABCD的边长为2,则向量的模为________;||的取值范围是________.

【解析】因为又||=2,所以答案:2

(0,4)1.下列等式:①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a-b=a+(-b),其中正确的个数是(

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选D.根据向量的加减运算易知①②③④均正确.课堂检测·素养达标2.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,向量可表示为 (

)A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④【解析】选C.由向量的减法与加法可得②③④正确.3.如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则等于 (

)

A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c【解析】选A.=a+c-b=a-b+c.4.如图,在正六边形ABCDEF中,与相等的向量有_______.(填序号)

【解析】因为所以填①.答案:①5.在平行四边形ABCD中,=a,=b,先用a,b表示向量和,并回答:当a,b分别满足什么条件时,四边形ABCD为矩形、菱形、正方形?【解析】由向量加法的平行四边形法则,得=a+b,=-=a-b.当a,b满足|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线相等,四边形ABCD为矩形;当a,b满足|a|=|b|时,平行四边形的两条邻边相等,四边形ABCD为菱形;当a,b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时,四边形ABCD为正方形.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏5.在平行四边形ABCD中,=a,=b,先用a,b表示向量和,并回答:当a,b