等比数列的概念高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册+

4.3.1等比数列的概念复习湖南省长沙市一中卫星远程学校如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥？折纸问题情境:湖南省长沙市一中卫星远程学校…...对折次对折纸的次数纸的层数

…...…...引入1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列:9,92,93,...,910;①100,1002,1003,...,10010;②5,52,...,510③2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把一尺之锤的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“锤”的长度依次是④3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2,4,8,16,32,64,……引入4.某人存入银行a元,存期为五年,年利率为r,那么按照复利,他五年内每年末得到的本利和分别是a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息探究（1）9,92,93,...,910;（2）100,1002,1003,...,10010;（3）5,52,...,510（4）（5）2,4,8,16,32,64,……（6）a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5思考1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律，你发现了什么规律如果用{an}表示数列①，那么有表明,数列①有这样的取值规律:从第2项起,每一项与它前一项的比都等于9思考2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？

等比数列一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)

。符号表述：新知注：（1）“从第二项起每一项”与“它的前一项”之比为常数q

（2）

任意一项an≠0且q≠0

（3）

q=1时，｛an｝为非零常数列

等比数列一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)

。符号表述：新知说出下列等比数列的公比（1）9,92,93,...,910;（2）100,1002,1003,...,10010;（3）5,52,...,510（4）（5）2,4,8,16,32,64,……（6）a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5是，q＝2是，q=－2是，q＝1不是不是是，q＝－1练习是，

观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：（1）1，

，9（2）-1，

，-4

±3±2练习如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

即G2=ab新知探究你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？问题：已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，求数列{an}的通项公式解：根据等比数列的定义有an+1=anq则

a2=a1q

a3=a2q=a1q2

a4=a3q=a1q3...

an=a1qn-1(n≥2)又a1=a1q0=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立等比数列的通项公式：an=a1qn-1（n∈N﹡,q≠0）新知求下列等比数列的通项公式(1)2，4，8，16，32，64.(2)1，3，9，27，81，243，…在等比数列{an}中，a1＝3，a3＝27，求an；练习解：设公比为q∵a3＝a1·q2∴27＝3·q2，∴q＝±3.∴an＝3·3n－1或an＝3·(－3)n－1解：设公比为q的等比数列，由已知条件，有解得因此例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项例题解法二：∵a5是a4与a6的等比中项∴=a4×a6=48×12=576∴a5==±24故{an}的第5项是24或－24变式.若等比数列{an}的第2项和第6项分别为4和16,求{an}的第4项例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项例题解：∵a4是a2与a6的等比中项∴=a2×a6=4×16=64∴a3=±8∵a4=a2×q2=4q2＞0故{an}的第4项是8变式.若等比数列{an}的第2项和第6项分别为4和16,求{an}的第4项在等比数列中，应用等比中项解决问题，要注意下标都是奇数或者都是偶数的情况练习解：由已知条件，有a1＋a2=1，a3＋a4=4练习若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，求a1和公比q等比数列通项公式的求法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：1.根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．2.充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a