数学中蕴涵的美学思想省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第六章数学中蕴涵美学思想第一节

数学美涵义第二节数学美特征退出一、数学家论数学美二、数学美涵义

一、

简单美

二、

对称美三、友好美四、奇异美第1页第三节

让学生感受数学美

第四节

数学美在中国源头

一、美观---外在美二、美好---内在美三、美妙---高兴美四、完美---

至善至美一、太极八卦---中国象数学美二、河图洛书—数学形式美雏形第2页第一节

数学美涵义一、数学家论数学美古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯(Proelus)断言:“哪里有数，哪里就有美。”

古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学有很深造诣,其中毕氏定理(勾股定理)就是他杰作,他认为“万物最基本元素是数,数友好---这就是美。”返回第3页庞加莱：“数学家们十分重视他们方法和理论是否十分优美，这并非华而不实作风，那么到底是什么使我们感到一个解答、一个证实优美呢？那就是各个部分之间友好、对称、恰到好处平稳。”克莱因:“数学是人类最高超智力成就，也是人类灵魂最独特创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能感人心弦，哲学使人取得智慧，科学可改进物质生活，但数学能给给予上一切。”高斯:“去寻求一个最美和最简练证实，乃是吸引我研究主要动力。”返回第4页数学美是数学科学本质力量感性和理性显现,是一个人本质力量经过宜人数学思维结构展现。它是自然美客观反应,是科学美关键。二、数学美涵义返回第5页第二节数学美特征

一、

简单美

简单是指数学语言、符号、方法、逻辑结构和理论体系简单。

1.符号简单符号是书写数学语言文字，大数学家克莱因说:“符号经常比创造它们数学家更能推理”,人们总是探索用简单符号去表现复杂数学内容。比如，微积分学中惯用符号:返回第6页又如,哈密顿微分算子符号向量场函数v=v1i+v2j+v3k,

(vi是x,y,z函数)▽v=()(v1i+v2j+v3k)

返回数量场函数u(x,y,z)时,产生梯度第7页拉普拉斯方程:若用哈密顿算子表示,也十分漂亮、利落:

▽u·▽u=0返回第8页在线性方程组表示为AX=B返回第9页在埃及出土三千六百年前莱因特纸草上有下面一串符号用今天符号表示即：宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论”研究,当初记数使用是“算筹”,记号来表示二次三项式412x2－x+136其中x系数旁边注以“元”字,常数项注以“太”字,筹上画斜线表示“负数”。返回第10页16世纪,数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进,直到笛卡尔才第一个倡用x,y,z表示未知数。他曾用xxx－9xx+26－24∝0表示方程x3－9x2+26－24=0

这个演变过程就是对简单美追求过程。返回第11页假如要详细写出圆周率或欧拉常数根本不可能,然而用数学符号却能准确地表示它们。有些数及其运算只有用符号表示,才能更准确、更完美。比如,圆周率是一个常数,1737年欧拉首先提倡用希腊字母π来表示它,且通用全世界；也是欧拉用e表示特殊无理常数─欧拉常数返回第12页2.形式简单艺术家们追求美中,形式美是其中尤其主要内容,他们在渲染美时,经常利用不一样形式,如泰山雄伟,华山险峻,黄山奇特,峨眉秀丽,青海幽深,滇池开阔等。数学家们也十分重视数学形式美,美国数学家柏克提出了一个公式

审美度=即人们对数学审美感受程度,与数学表现出秩序成正比,与数学表现出复杂性成反比。所以,按审美度要求,数学表现形式越简单就越美。返回第13页格林公式斯托克斯公式返回第14页空间解析几何中

椭球

椭圆抛物面

它们不但便于记忆,而且含有形式美。返回第15页3.语言简单数学简单美表现在语言上使人回味无穷。

如“负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不可数”；

“角、边、角”；“边、角、边”等。数列极限

函数极限

导数概念

返回第16页4.方法简单数学中许多简单有效判定定理,形式优美表示方式,并不是原本固有,而是经过人们长久比较、筛选结果。比如,对于正项级数收敛性判别,达朗贝尔判别法(比值法)与柯西判别法(根式法)都是十分简单有效判别法,然而它们都有一个共同不足,就是不能判别当极限值时级数敛散性,于是人们不停地给出了许多其它形式判别法。比达朗贝尔判别法更精细是拉贝(Laber)判别法

设则当r>1时，级数收敛；

当r<1时，级数发散。返回第17页实际上，由达朗贝尔判别法：设级数满足级数收敛级数发散不确定收敛；返回第18页收敛；发散；敛散性不确定。凡是用达氏法能判别级数敛散性,用拉贝法也能判别,所以,拉贝法比达氏法更精细。返回第19页比拉贝判别法更精细是库麦尔(Kummer)判别法,其中{Cn}适合条件:级数发散。

设则当k>0时,级数收敛;当k<0时,级数发散。返回实际上，当时，库麦尔判别法即为拉贝判别法。第20页拉格朗日型余项简单整齐,易于记忆,使用方便。从审美度而言拉格朗日型余项是最美,所以受到人们青睐。然而,人们在应用泰勒公式时,最习惯使用还是拉格朗日型余项其中在x与x0之间。返回又如,泰勒公式余项,局部性有皮亚诺(Peano)余项,整体性有施诺米尔奇(Schlomilch)─罗赫(Roche)余项,柯西余项和拉格朗日余项等。在整体性余项中,后两种余项仅是前一个余项特例。因而,从整体性考虑,前一个余项更完美。第21页二、

对称美

对称是指图形或数式对称,概念、命题、法则或结构对偶、对应、对逆等。1.形式对称解析几何中标准图形

返回第22页代数中二项式定理:对称行列式:

对称矩阵：返回第23页微积分中空间曲线L:x=x(t),y=y(t),z=z(t)切线方程空间曲面S:F(x,y,z)=0法线方程==导数运算法则

返回第24页2.关系对称运算对称:加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等；概念对称:函数与反函数、奇与偶、单增与单减、连续与间断、收级与发散等；命题对称:严格单减。

返回第25页“共轭”关系对称性:共轭无理数

共轭矩阵

共轭积分返回第26页“对偶”关系对称性:集合中对偶关系

线性规划中对偶关系

线性规划问题：

(*)返回第27页对偶规划问题：

(**)由对偶定理知,若线性规划问题(*)有最优解,则其对偶规划问题(**)也有最优解,且两问题目标函数最优值相等。反之也成立。返回返回第28页3.对称美方法利用对称美方法是数学中锐利武器,数学家们利用它揭示和发觉了很多数学中奥秘,其中最经典有麦克斯韦方程、笛沙格定理和伽罗瓦群等,它被著名数学家狄拉克(Dirac)称为“自然科课时代新方法精华”。下面仅以求积分为例,来说明它妙用。(1)利用积分区间对称性

利用积分区间关于原点对称性和被积函数奇偶性,简化定积分计算,是积分运算中最惯用一个方法。若积分区间不关于原点对称,或积分区间即使关于原点对称,但被积函数是非奇非偶函数,有时经过适当换元或拆项等方法也可转化为对称区间上积分问题。返回第29页例1求(n为自然数)。令,则可将积分化为对称区间。

返回第30页(2)利用函数图象对称性

借助积分中函数图象对称性,取得简捷解题路径,这是对称美方法又一妙用。例2设C为对称于坐标轴平面光滑闭曲线,证实易知积分与路径无关。设D为曲线C围成平面闭区域,则由格林公式返回第31页因为积分域D关于x轴对称,又y3是奇函数,同理，所以(3)利用轮换对称性

依据研究问题中解析式结构对称性,由一个结论快速地得出相同结论,这不但能缩减冗长繁琐计算或证实过程,而且给人以对称美享受。例3计算

椭球外表面。

返回第32页作广义极坐标变换,则

返回第33页用轮换对称法,即得于是

返回第34页(4)挖掘潜在对称关系

有问题从表面上看,似乎与对称无关。但假如仔细分析,寻找潜在对称关系,从而将问题转化为对称问题,就能很快找到突破口,使问题迎刃而解。例4计算

若直接令,则会造成错误结论。

因为f(x)=在[0,]上原函数不是初等函数,所以不能用普通定积分方法来计算。

返回第35页于是寻找有没有对称点,轻易发觉

即在区间[0,]上横坐标关于任意两个对称点x与对应函数值关于也对称,故

返回第36页(5)结构对称关系

有些数学问题,原来并不含有对称性,在解题过程中,假如善于依据问题特点,结构出某种对称关系,便能使问题很快得到处理。例5计算其中D为y=1,x=－1所围成区域,f是一连续函数。

积分区域不具有对称性，作曲线,

将D分成D1,D2两部分,返回第37页于是D1与D2

分别关于y轴和x轴对称。

又因为是x或y奇函数,所以=0从上述解题过程中都放射出对称美思想光芒，正如德国数学家外尔(Weyl)所说:“美和对称紧密相关”。返回第38页三、友好美

数学中友好美是指数学内容与内容之间、内容与形式之间、部分与整体之间存在着内在联络或共同规律,从而形成本质上严谨与统一。友好指事物之间含有匀称、有序、明确改变规律。1.严谨是友好基础数学严谨自然显现出它友好。为了追求严谨,消除数学中不友好原因,数学家们一直在努力。数学史上所谓“数学危机”正是一些数学理论不友好所致。

返回第39页第一次危机---无理数诞生。

第二次危机------实数理论得以建立,造成集合论诞生。第三次数学危机------“罗素悖论”和其它悖论产生,为了防止悖论,策梅洛(Zermelo)在19提出了一个公理系统,后经弗兰克尔(Fraenkel)在19加以改进,形成了当前公认彼此无矛盾公理系统,简称ZF公理系统。函数连续性,是当今数学中一个主要基本概念,然而它当代定义形成,也经历了一个从不友好到友好漫长过程。18世纪,数学家欧拉认为,由一个单独表示式给出函数是连续,而由几个表示式给出函数是不连续。比如,欧拉函数返回第40页是不连续,而由两个分支组成双曲线(反百分比函数),因为它是由一个表示式给出,就认为它是连续。19世纪，傅立叶证实:定义在某个区间上任意函数可表示成该区间上正弦与余弦无穷级数。比如，返回第41页可表示为这么一来,上述函数依照欧拉看法既不是连续,同时又是连续。18,柯西对“连续”概念重新叙述,直至1850年魏尔斯特拉斯给出“”形式定义,才使得“连续”这一概念有了新解释。2.统一是友好标志统一是指数学中内容与内容之间、内容与形式之间、章节与章节之间客观存在相互联络。

返回第42页解析几何中,引入极坐标之后,椭圆、双曲线、抛物线统一于公式平面上二次曲线方程因为系数A,B,C,…,F不一样,其形态万千,不过欧拉经过坐标变换,将它们化为下面九种标准形状:返回第43页(双曲线)(两虚直线相交)(虚椭圆)(椭圆)返回第44页(两重合直线)(两平行虚直线)(两平行直线)(抛物线)(两相交直线)返回第45页在积分学中,不定积分与定积分是两个切然不一样概念,但在微积分基本公式之中得到友好统一,从而极大地推进了微积分应用与发展。

定积分、重积分、曲线积分和曲面积分,它们表述实际意义各不相同,但却都统一于黎曼积分之中。各类积分之间都有着内在联络:返回第46页二重积分三重积分Ⅰ型曲线积分Ⅰ型曲面积分Ⅱ型曲线积分Ⅱ型曲面积分定积分返回第47页

四、奇异美

奇异指数学中方法、结论或相关发展出乎意料,使人既惊奇又赞赏与折服。徐利治先生说:“奇异是一个美，奇异到极度更是一个美。”在数学史上曾吸引人们广泛关注有“蝴蝶定理”。

1815年,数学家奥纳首先处理了这个问题证实。但因为它优美外形及包含深刻内涵,引发了人们广泛兴趣,100多年来研究者众多,给出了不少初等与高等证实,其中被公认为最奇妙证实是1973年由斯特温等人给出。返回第48页证实:由图所表示，圆内共有四对相等角。设PM=x,MQ=y,AM=MB=a,则有

化简得

返回第49页由相交弦定理知

故有

因x,y都大于0,上式仅在x=y,即PM=MQ时成立。

上述证实中没有添加任何辅助线，证实过程简明、匀称，好优美漂亮！返回第50页高等数学中这种“离经叛道”奇异现象,随地可见。比如,人们长久认为,周期函数一定存在最小正周期,然而狄利克雷函数是周期函数,但不存在最小正周期。实数轴上有理点与无理点都是处处稠密,然而无理点却比有理点多得多。洛比达(L’Hospital)法则是求未定式极限锐利武器,但它对极限返回第51页却无能为力。

在不定积分中，有些看上去非常简单函数，却“积”不出来:在欧拉公式

代入,得

真叫人拍案叫绝,人们把这5个常数戏称为数学中“五朵金花”。

返回第52页对于n!,人们长久认为除了表示1,2,3,…,n这n个连续自然数乘积外,再没有别意义。但在微积分中依据嘎玛函数Г()递推性质,能够得到n!分析表示式这确实令人震惊而又感到数学魅力无穷。

第二型曲面积分是在双侧曲面上进行。那么，单侧曲面又是什么样子呢？假如把一条长矩形纸带扭转180o后,再把两端粘起来,这就成了仅有一个侧面曲面,它通常叫做莫比乌斯带,它是德国数学家莫比乌斯在1858年发觉。返回第53页莫比乌斯带有许多有趣性质，比如用不一样方式去剪开它，可有不一样结果:假如沿着纸带中线剪开,它仍是一条莫比乌斯带,只是长度增加了一倍；若沿纸带宽处剪开,它却成了一个扭了两圈长莫比乌斯带套上一个小莫比乌斯带。两位美国学者在研究莫比乌斯带制作时提出过一个问题：在确保不摺折纸条前提下，能做成功莫比乌斯带纸条最短长度是多少？问题看上去似乎很简单，然而回答起来却是如此困难。两位美国人预计是:若纸条宽是1,则能做成莫比乌斯带最小长度在之间。返回第54页从图看出,只要,做成功是没有问题。但它并不是最小预计,这个最小预计至今依然是一个未解之“谜”。

有趣是,这个在数学史上完全由数学家构想出来东西,竟进入了有机化学领域。美国科罗拉多大学化学系沃尔巴、理查兹和霍尔提万格,在试验室第一次合成了形状和莫比乌斯带一样莫比乌斯分子,他们制造莫比乌斯分子方法同制作莫比乌斯带方法极其相同。返回第55页数学中奇异现象还有另一个涵义,当人们没有认清它而做犯错误判断、结论或给出不尽完美方法时,将会出现一些“反例”。以后又有些人发觉,存在着黎曼可积而又含有没有穷多个间断点函数。连续函数是微积分学主要研究对象,起初,数学家们认为“连续函数最少在某点处可微”,然而魏尔斯特拉斯却找到了一个“处处连续但处处不可微”例子。返回第56页第三节

让学生感受数学美

怎样在数学教学过程中展现数学美，让学生在数学学习中能够感受和观赏数学美，张奠宙教授认为，数学教学中美学教育有以下4个层次:

美观、美好、美妙、完美。

返回第57页一、美观---外在美

这主要是数学对象以形式上对称、友好、简练,给人感官带来漂亮、漂亮感受。几何学经常带给人们直观美学形象

返回第58页,在东京召开国际数学教育大会上,日本教师一堂公开课题目:在一块矩形场地上筑一花坛,使其面积为场地二分之一,要求设计美观。美国教师要求学生用二次曲线画“米老鼠”或其它画作,发挥学生用几何曲线(写出方程)进行美术创作想象力。上海进才中学教研组,他们在进行立体几何教课时,要求学生以“柱体”、“台体”、“锥体”、“球体”、“圆柱”、“圆锥”等3维几何图形,制作一座运动会奖杯,并要求学生写出每个部件方程式。返回第59页二、美好---内在美

数学上许多东西,只有认识到它正确性,才能感觉其“美好”。“美观”数学对象,也必须进到“美好”层次。

“圆”从结构上看是极其美观。从性质上看它也十分美好。任何圆周长与直径之比总是一个常数π。π既非有理数又非代数数,是超越数。这种内在数学价值,展现了“圆”魅力,引无数英雄尽折腰。从祖冲之计算到今天用计算机算到60亿位小数,对它研究还未完结。返回第60页不美观数学对象是很多。一个突出例子是一元二次方程求根公式:这一公式不论从哪方面看都不对称、不友好、不美观。

不过，当我们了解它、利用它，就会感到它价值，它“内秀”。这一公式会告诉我们许多信息:“士”表示它有2个根；“a≠0,△=b2一4ac”会显示根数目及方程性质……,所以，当你和它熟悉了，就会以为它形式上虽难看，本质却是美好。正如《巴黎圣母院》中卡西摩多，外表丑陋而内心美好。返回第61页三、美妙---高兴美

教师要给学生一些创新、探究、以至发觉机会,体验发觉真理高兴。美妙感觉需要培养,比如,三角形3条高、3条中线、3条内角平分线都交于一点,这是很漂亮、十分美好,同时令人惊奇结论。发觉它会使人以为数学妙不可言,尤其是几何学妙极了。那么在教课时,先不告诉学生结果,让学生自己亲手作图,让学生自己发觉这些一下子看不出来“真理”。能够想见,学生自己发觉一个数学真理该会是何等惊喜。一旦体会到数学“美妙”,对数学产生由衷兴趣,也就是顺理成章事了。返回第62页每个喜欢数字人，都曾感受到那样时刻:一条辅助线使无从着手几何题豁然开朗,一个技巧使百思不得其解不等式证实得以经过,一个特定“关系一映射一反演”方法使原不相干问题得以处理,这时高兴与兴奋真是难以形容,可能只有用一个“妙”字加以概括。这种美妙意境,会使人感到天地造化数学之巧妙,数学家创造数字之深邃,数学学习领悟之欢快。到达这一步,学生才算真正感受到数学美真谛,被数学所吸引,喜欢数学,热爱数学。返回第63页四、完美-----至善至美

数学总是尽力做到至善至美、完美无缺,这可能是数学最高“品质”和最高精神“境界”。

数学家经过300余年努力来证实费马定理,陈景润对歌德巴赫猜测苦苦追求,都是追求数学“完美”经典事例。二次曲线标准方程,现有圆锥曲线优美,又有数形结合风采;现有启迪二次型数学底蕴,更有描摹天体运动功效,确实是一件完美科学杰作。返回第64页数学美学格调,和艺术格调是一脉相承。徐利治先生早就把数学概念和诗意境相结合,如借“孤帆远影碧空尽”来描述极限,更是一个高端美学观赏。爱舍儿数学画,显示出浓厚哲学意味,而奇异数学分形艺术则是20世纪计算机技术产物。观赏数学艺术,怎样在课堂教学中发掘数学艺术魅力,在我国还没有得到应有重视,尤其是当前数学教学中某种过分形式化趋向,往往掩盖了数学漂亮色彩,遮蔽了数学文化光芒,以至丧失了数学教学美育功效。把数学美展示真正落实到课堂上,还有许多工作要做。返回第65页第四节

数学美在中国源头

数学作为一门有组织、独立、理性学科来说,形成于公元前6世纪至公元前3世纪古希腊时代。早期一些古代文明国家,如中国、埃及、印度和巴比伦等,数学已经有了开端和萌芽,我们称公元前6世纪以前这个时期数学为早期数学,而人类在早期数学中,就已经发觉一个朦胧而神秘数学美了,这是为考古学家和数学史家大量发觉和研究结果所证实了。人类关于数学美观念,对于数学美感受、追求、探索以及研究也早在遥远古代就开始了,这里介绍数学美在中国源头。返回第66页一、太极八卦---中国象数学美

中国,在古代对于数学美感受与体验,一直可追溯到公元前11世纪殷末周初时期。传说“天神”伏羲氏所创造太极八卦图,说明我国古代先人对于圆形所展现美有着自己独特认识。古希腊毕达哥拉斯之所以认为“一切平面图形中最美是圆形”,其主要原因是因为圆有着无数条对称轴,显示出一个绝正确对称与友好。返回第67页中国太极图表示出了阴与阳运动性质,黑色阴和白色阳也展现出一个对称。

但这种对称不是以平直单调直径作为对称轴,而是以一条S形曲线将大圆均分成两半。这一奇妙分割产生许多意想不到美效果:它使得这个阴与阳之间对称不是静止，而是若即若离、似合非合，彼此渗透、相互补充。暗示着无休止强有力运动,并可经过这个含有动态美几何图形对事物进行抽象,给出宇宙万物对立统一运动形象模式,告诉我们宇宙美一个简单美妙组合方式,但又没有详细指出它们确实切涵义,只道出了一个“互补性之谜”。其内含寓意深刻,令人赞叹不已。返回第68页“周易”经史学家考证,大约出于公元前11