黑河市重点中学2025届九上数学期末教学质量检测试题含解析

黑河市重点中学2025届九上数学期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，的实数根是3或6，的实数根是1或2，，则一元二次方程与为相似方程.下列各组方程不是相似方程的是()A．与 B．与C．与 D．与2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是()A． B． C．- D．3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）A．40° B．50° C．65° D．75°4．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B．C． D．5．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一个，周二个，周三个，周四个，周五个则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是A．180个，160个 B．170个，160个C．170个，180个 D．160个，200个6．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值（）A．0 B．1或2 C．1 D．27．下列事件中，必然发生的是（）A．某射击运动射击一次，命中靶心 B．通常情况下，水加热到100℃时沸腾C．掷一次骰子，向上的一面是6点 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上8．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别为OB，OC的中点，则cos∠OMN的值为()A． B． C． D．19．如图，平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，连结AE交CD于F，则图中相似的三角形共有（）A．1对 B．2对C．3对 D．4对10．将6497.1亿用科学记数法表示为（）A．6.4971×1012 B．64.971×1010 C．6.5×1011 D．6.4971×101111．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A． B． C． D．12．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为，缆车速度为每分钟米，从山脚下到达山顶缆车需要分钟，则山的高度为（）米.A． B．C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为，斜坡的倾斜角是，若，则此斜坡的为____m．14．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则此方程的另一个解为____.15．如果，那么锐角_________°．16．在－1、0、、1、、中任取一个数，取到无理数的概率是____________17．在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有______名同学．18．菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图一座拱桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线.当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m.、（1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式；（2）若水面上升1m，水面宽度将减少多少？20．（8分）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）两个班共有女生多少人？（2）将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数；（4）身高在的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．21．（8分）已知：如图，四边形的对角线、相交于点，.（1）求证：；（2）设的面积为，，求证：S四边形ABCD.22．（10分）如图，已知l1∥l2，Rt△ABC的两个顶点A，B分别在直线l1，l2上，，若l2平分∠ABC，交AC于点D，∠1=26°，求∠2的度数．23．（10分）某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t=204-3x.（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件售价x（元）之间的函数关系式（毛利润=销售价-进货价）；（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？24．（10分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A,B,C,D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）25．（12分）某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：数量/条平均每条鱼的质量/kg第1次捕捞201.6第2次捕捞152.0第3次捕捞151.8（1）求样本中平均每条鱼的质量；（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y（元）与出售该种鱼的质量x（kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．26．如图，直线分别交轴于A、C，点P是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点，PB⊥轴于B，且S△ABP=1．（1）求证：△AOC∽△ABP；（2）求点P的坐标；（3）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥轴于T，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据“相似方程”的定义逐项分析即可.【详解】A.∵，∴.∴x1=4，x2=-4，∵，∴x1=5，x2=-5.∵4：(-4)=5:(5)，∴与是相似方程，故不符合题意；B.∵，∴x1=x2=6.∵，∴(x+2)2=0，∴x1=x2=-2.∵6：6=(-2)：(-2)，∴与是相似方程，故不符合题意；C.∵，∴，∴x1=0，x2=7.∵，∴，∴(x-2)(x+3)=0，∴x1=2，x2=-3.∵0：7≠2：(-3)，∴与不是相似方程，符合题意；D.∵，∴x1=-2，x2=-8.∵，∴(x-1)(x-4)=0，∴x1=1，x2=4.∵(-2)：(-8)=1：4，∴与是相似方程，故不符合题意；故选C.【点睛】本题考查了新定义运算，以及一元二次方程的解法，正确理解“相似方程”的定义是解答本题的关键.2、A【分析】先根据勾股定理得到AB=，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB=，∴S扇形ABD=，又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD=，故选A.【点睛】本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键.3、C【详解】∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OA，即∠OBA=90°．∵∠BAO=40°，∴∠BOA=50°．∵OB=OC，∴∠OCB=．故选C．4、B【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．5、B【解析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【详解】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；故选B．【点睛】此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．6、D【分析】把x=1代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠1．【详解】解：根据题意，将x=1代入方程，得：m2-3m+2=1，

解得：m=1或m=2，

又m-1≠1，即m≠1，

∴m=2，

故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠1这一条件．7、B【解析】A、某射击运动射击一次，命中靶心，随机事件；B、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件．C、掷一次骰子，向上的一面是6点，随机事件；D抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；故选B．8、B【详解】∵正方形对角线相等且互相垂直平分∴△OBC是等腰直角三角形，∵点M，N分别为OB，OC的中点，∴MN//BC∴△OMN是等腰直角三角形，∴∠OMN=45°∴cos∠OMN=9、C【分析】根据平行四边形的对边平行，利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”找出相似三角形，然后即可选择答案．【详解】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，所以，△ABE∽△FCE，△FCE∽△FDA，△ADF∽△EBA，共3对．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，利用平行四边形的对边互相平行的性质，再结合“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”即可解题10、D【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6497.1亿＝649710000000＝6.4971×1．故选：D．【点睛】此题主要考查科学记数法，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法.11、B【解析】根据中心对称图形的定义“是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合的图形”和轴对称图形的定义“是指平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形”逐项判断即可.【详解】A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项不符题意B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，此项符合题意C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此项不符题意D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项不符题意故选：B.【点睛】本题考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，这是常考点，熟记定义是解题关键.12、C【分析】在中，利用∠BAC的正弦解答即可．【详解】解：在中，，，(米)，∵，(米)．故选．【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于基础题型，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1．【分析】由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：∵，，∴；故答案为：1．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；熟练掌握三角函数定义是解题的关键．14、【分析】将x=-3代入原方程,解一元二次方程即可解题.【详解】解：将x=-3代入得,a=-1,∴原方程为,解得：x=1或-3,【点睛】本题考查了含参的一元二次方程的求解问题,属于简单题,熟悉概念是解题关键.15、30【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案.【详解】∵∴故答案为30【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.16、【详解】解：根据无理数的意义可知无理数有：，，因此取到无理数的概率为．故答案为：．考点：概率17、1【解析】设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送10份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【详解】解：设参加聚会的有x名学生，根据题意得：，解得：，舍去，即参加聚会的有1名同学，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．18、1【分析】根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得菱形的边长为＝1．故答案为1．【点睛】此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用.三、解答题（共78分）19、(1)图见解析，抛物线的函数表达式为（注：因建立的平面直角坐标系的不同而不同）；(2)【分析】（1）以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在线为x轴，过点O作AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系（图见解析）；因此，抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，再将B点的坐标代入即可求解；（2）根据题（1）的结果，令求出x的两个值，从而可得水面上升1m后的水面宽度，再与12m作差即可得出答案.【详解】（1）以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在线为x轴，过点O作AB的垂线为y轴，建立的平面直角坐标系如下：根据所建立的平面直角坐标系可知，B点的坐标为，抛物线的顶点坐标为因此设抛物线的函数表达式为将代入得：解得：则所求的抛物线的函数表达式为（注：因建立的平面直角坐标系的不同而不同）；（2）由题意，令得解得：则水面上升1m后的水面宽度为：（米）故水面上升1m，水面宽度将减少米.【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键.20、（1）50；（2）详见解析；（3）；（4）【分析】（1）根据D的人数除以所占的百分比即可的总人数;（2）根据C的百分比乘以总人数，可得C的人数，再根据总人数减去A、B、C、D、F，便可计算的E的人数，分别在直方图上表示即可.（3）根据直方图上E的人数比总人数即可求得的E百分比，再计算出圆心角即可.（4）画树状图统计总数和来自同一班级的情况，再计算概率即可.【详解】解：（1）总人数为人，答：两个班共有女生50人；（2）C部分对应的人数为人，部分所对应的人数为；频数分布直方图补充如下：（3）扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数为；（4）画树状图：共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，所以这两人来自同一班级的概率是．【点睛】本题是一道数据统计的综合性题目，难度不大，这类题目，往往容易得分，应当熟练的掌握.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由S△AOD=S△BOC易得S△ADB=S△ACB，根据三角形面积公式得到点D和点C到AB的距离相等，则CD∥AB，于是可判断△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到结论；

（2）利用相似三角形的性质可得结论．【详解】（1）∵S△AOD=S△BOC，

∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB，即S△ADB=S△ACB，

∴CD∥AB，

∴△DOC∽△BOA，

∴；

（2）∵△DOC∽△BOA

∴＝k，2=k2，

∴DO=kOB，CO=kAO，S△COD=k2S，

∴S△AOD=kS△OAB=kS，S△COB=kS△OAB=kS，

∴S四边形ABCD=S+kS+kS+k2S=（k+1）2S．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，证明△DOC∽△BOA是解题的关键．22、38°【解析】试题分析：根据平行线的性质先求得∠ABD=26°，再根据角平分线的定义求得∠ABC=52°，再根据直角三角形两锐角互余即可得.试题解析：∵l1∥l2，∠1=26°，∴∠ABD=∠1=26°，又∵l2平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=52°，∵∠C=90°，∴Rt△ABC中，∠2=90°﹣∠ABC=38°．23、（1）y=-3x2+330x-8568；（2）每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.【分析】（1）根据毛利润＝销售价−进货价可得y关于x的函数解析式；（2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况．【详解】（1）根据题意,y=(x-42)(204-3x)=-3x2+330x-8568；（2）y=-3x2+330x-8568=-3(x-55)2+507因为-3<0，所以x=55时，y有最大值为507.答：每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24、4米【分析】由题意过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，并利用解直角三角形进行分析求解即可.【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴tan37°=≈0.1．∴AE=2．∵AB=57，∴BE=3．∵四边形BCFE是矩形，∴CF=BE=3．在Rt△DCF中，∠DFC=90°，∴∠CDF=∠DCF=45°．∴DF=CF=3．∴BC=EF=30－3=4．答：教学楼BC高约4米．【点睛】本题考查解直角三角形得的实际应用，利用解直角三角形相关结合锐角三角函数进行分析.25、（1）1.78kg；（2）1kg；（3）y＝14x，0≤x≤1．【分析】（1）根据平均数的公式求解即可；（2）根据每条鱼的平均质量×总条数＝总质量即可得答案；（3）根据收入=单价×质量，列出函数表达式即可．【详解】（1）样本中平均每条鱼的质量为（kg）．（