2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学七模试卷

第1页（共1页）2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学七模试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）为计数方便，某果园以每筐水果25kg为准，超过的千克数记作正数（）A．3 B．22 C．25 D．282．（3分）如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行（）A．45° B．75° C．105° D．135°3．（3分）已知3m＝9n，则m，n满足的关系是（）A．m＝2n B．m＝3n C．2m＝n D．3m＝n4．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝8，D、E分别为AB、AC的中点，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5．（3分）点A（a，y1），B（a+2，y2）是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象上的两点，且y1﹣y2＝﹣6，则k的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．66．（3分）已知▱ABCD的对角线相交于点O，若要使▱ABCD成为矩形，可添加下列哪个条件（）A．AB＝AD B．∠ADB＝∠CDB C．AO＝BO D．AC⊥BD7．（3分）如图是一个直径为AB的量角器（半圆O），零刻度落在点A，等腰Rt△PQB如图放置，则点D在量角器上的读数为（）A．116° B．103° C．71° D．58°8．（3分）某同学用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论（）x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…A．2a+b＝0 B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0） C．若点（m﹣2，y1），（m，y2）在该抛物线上，当y1＜y2时，则m＞2 D．对于任意实数x（x≠1），ax2+bx＜a+b总成立二、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）9．（3分）在实数，3.1415，，π中．10．（3分）因式分解：ax2﹣2ax+a＝．11．（3分）如图所示，四个相同的圆柱形笔筒用绳子缠绕一圈（接头忽略不计），问至少用绳子厘米（计算结果保留π）．12．（3分）当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球会爆炸．为了安全．13．（3分）如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，则△EBC的面积为．三、解答题（共计81分．解答应写出过程）14．（5分）．15．（5分）解不等式：．16．（5分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．17．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在平面上找一点D（保留作图痕迹，不写作法）．18．（5分）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，AE∥BC．求证：△ADE是等边三角形．19．（5分）生活中处处都有数学，一家服装店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的9折销售10件的销售额20．（5分）如图是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃Q”和“黑桃K”，现在把这两张牌从中间剪断，分成如图的4张背面形状相同的半张牌，小撤先从这4张半张牌中随机地抽取一张（不放回），小尼接着再随机地抽取一张．（1）小撒抽到半张“黑桃Q”的概率是；（2）游戏规定：所抽取的两张中，能拼成一张完整的扑克牌，那么小撒获胜，你认为这个游戏公平吗？并请用列表法或画树状图法说明理由．21．（6分）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯，如图1，已知AB＝AC＝1.8m，AD＝1.5m，AC与AB的张角∠BAC记为α，为保证采桑人的安全，BC为固定张角α大小的锁链．若α＝42°，将桑梯放置在水平地面上（结果精确到0.1m，参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.61）．22．（7分）某学校组织开展主题为“热爱祖国，走近河山”的研学旅行．待考查的甲、乙两家旅行社原价均为150元/人．甲旅行社的方案：所有人打8折；乙旅行社的方案：40人以内（含40人），超过的人数每人打6折．设参加研学旅行的人数为x（人），甲旅行社所需总费用为y1（元），乙旅行社所需总费用为y2（元）．（1）当x＞40时，求y1、y2与x的函数表达式；（2）若有100人参加研学旅行，选择哪家旅行社更划算，请说明理由．23．（7分）“发展体育运动，增强人民体质”，体育组对九年级随机抽取部分学生进行了立定跳远项目的测试，并将测试所得分数绘制成如图所示的统计图，图中从左到右的学生人数之比为2：3：4：1（1）随机抽取部分学生数为；（2）这组数据的众数是，中位数是；（3）若该校九年级共有520名学生，8分及8分以上的测试成绩为合格，请估计该年级有多少名学生的测试成绩合格？24．（8分）如图，已知﹣AB为⊙O的直径，PB切⊙O于点B，交⊙O于点C，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OP＝4AC，求tan∠CPO的值．25．（8分）如图，国家会展中心的大门的截面图是由抛物线ADB和矩形ABCO构成的，矩形ABCO的边米，以OC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）近期需要对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，ON＝7.5米，工人师傅站在木板OM上①判断工人师傅能否刷到顶点D；②设点E是OM上方抛物线上的一点，且点E的横坐标为m，直接写出他不能刷到大门顶部的对应点E的横坐标的范围．26．（10分）问题探究嘻嘻和谙谙在一起探究特殊平行四边形的分割问题．嘻嘻：如图1，我发现在正方形ABCD内部可以找到一点O，将O与正方形的四个顶点分别连接起来，并且它们的面积之比为1：1：1：1；谙谙：我还能在正方形内部找到另外一点，将它与正方形的四个顶点分别连接起来，也可以将原正方形分割成四个等腰三角形．（1）请你在图2中帮谙谙设计一个与嘻嘻不同的方案，也在正方形ABCD内部找一点P，将P与正方形的四个顶点分别连接起来，并且直接写出这四个等腰三角形由小到大的面积之比；问题解决（2）“文明社区，美化家园”，某社区有一块长AD＝40米，布展要求：在矩形ABCD内部找到一点P，将P与矩形的四个顶点分别连接起来，并将四种鲜花分别展出在这四个区域；请你帮社区设计出所有不同方案供社区选择（由小到大的四个三角形面积之比相等的算为同一种方案）（不要求尺规作图），用不同符号标记出等腰三角形的相等边，直接写出这四个等腰三角形由小到大的面积之比，考虑到节约成本的因素，你将推荐社区使用哪种方案？并简要说明理由．（要求：本题结果中比的各项均不含分母，且最简）

2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学七模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）为计数方便，某果园以每筐水果25kg为准，超过的千克数记作正数（）A．3 B．22 C．25 D．28【解答】解：某果园以每筐水果25kg为准，超过的千克数记作正数．“﹣3kg”表示的实际千克数是22kg，故选：B．2．（3分）如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行（）A．45° B．75° C．105° D．135°【解答】解：如图，∵∠2＝105°，∴∠3＝∠2＝105°，∴要使b与a平行，则∠1+∠3＝180°，∴∠4＝180°﹣105°＝75°．故选：B．3．（3分）已知3m＝9n，则m，n满足的关系是（）A．m＝2n B．m＝3n C．2m＝n D．3m＝n【解答】解：∵3m＝9n，∴3m＝32n，∴m＝4n．故选：A．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝8，D、E分别为AB、AC的中点，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∴，∵D、E分别为AB，∴DE是△ABC的中位线，∴，故选：A．5．（3分）点A（a，y1），B（a+2，y2）是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象上的两点，且y1﹣y2＝﹣6，则k的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【解答】解：由题知，将A，B两点坐标分别代入一次函数解析式得，y1＝ak+b，y2＝（a+5）k+b＝ak+2k+b，又因为y1﹣y3＝﹣6，所以ak+b﹣（ak+2k+b）＝﹣5，解得k＝3．故选：C．6．（3分）已知▱ABCD的对角线相交于点O，若要使▱ABCD成为矩形，可添加下列哪个条件（）A．AB＝AD B．∠ADB＝∠CDB C．AO＝BO D．AC⊥BD【解答】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：OA＝OB，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA，BD＝2OB，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选：C．7．（3分）如图是一个直径为AB的量角器（半圆O），零刻度落在点A，等腰Rt△PQB如图放置，则点D在量角器上的读数为（）A．116° B．103° C．71° D．58°【解答】解：连接OC，OD，∵△PBQ是等腰直角三角形，∠BPQ＝90°，∴∠PBQ＝45°，∴∠COD＝2∠PBQ＝90°，∵点C在量角器上的读数为26°，∴∠AOC＝26°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝116°，∴点D在量角器上的读数为116°，故选：A．8．（3分）某同学用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论（）x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…A．2a+b＝0 B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0） C．若点（m﹣2，y1），（m，y2）在该抛物线上，当y1＜y2时，则m＞2 D．对于任意实数x（x≠1），ax2+bx＜a+b总成立【解答】解：A．由函数图象关于对称轴对称，﹣3），﹣3）在函数图象上，∴，∴2a+b＝8，正确；B．∵当x＝﹣1时，当x＝3时，∴抛物线与x轴的交点为（﹣8，0）和（3，正确；C．二次函数y＝ax4+bx+c图象以x＝1为对称轴，抛物线开口向上；∵点A（m﹣2，y7），B（m，y2）在抛物线图象上，y1＜y7，∴|m﹣2﹣1|＜|m﹣6|，即|m﹣3|＜|m﹣1|，当m≥8时，m﹣3＜m﹣1，当4＜m＜3时，3﹣m＜m﹣5，当m＜1时，3﹣m＜2﹣m此时无解，∴综上所述：m＞2．正确．D．∵顶点为（1，函数有最小值，∴对于任意实数x，则a+b+c≤ax6+bx+c，即a+b≤ax2+bx总成立，错误，故选：D．二、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）9．（3分）在实数，3.1415，，π中3个．【解答】解：，，π是无限不循环小数，共3个，故答案为：3个．10．（3分）因式分解：ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2．【解答】解：ax2﹣2ax+a＝a（x3﹣2x+1）＝a（x﹣8）2．故答案为：a（x﹣1）3．11．（3分）如图所示，四个相同的圆柱形笔筒用绳子缠绕一圈（接头忽略不计），问至少用绳子（4a+aπ）厘米（计算结果保留π）．【解答】解：由题意得：4a+2×aπ＝（4a+aπ）（厘米），∴至少用绳子（8a+aπ）厘米，故答案为：（4a+aπ）．12．（3分）当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球会爆炸．为了安全V≥m3．【解答】解：设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p＝，∵图象过点（1.5，60），∴60＝，∴k＝72，由已知得p＝图象在第一象限内，∴p随V的增大而减小，∴当p≤120时，V≥，∴V≥，即不小于m3，故答案为：V≥m3．13．（3分）如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，则△EBC的面积为18．【解答】解：过点C作CF⊥BE，则∠CFB＝90°＝∠AEB，∵正方形ABCD，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠CBF＝∠BAE＝90°﹣∠ABE，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠CBF＝∠BAE＝90°﹣∠ABE，∴△BCF≌△ABE（SAS），∴CF＝BE＝6，，故答案为：18．三、解答题（共计81分．解答应写出过程）14．（5分）．【解答】解：＝＝＝615．（5分）解不等式：．【解答】解：，3（x+2）﹣4（2x﹣1）≥12，6x+6﹣4x+5≥12，3x﹣4x≥12﹣6﹣2，﹣x≥4，x≤﹣8．16．（5分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．【解答】解：原式＝÷＝×＝．当a＝﹣1时，原式＝．17．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在平面上找一点D（保留作图痕迹，不写作法）．【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求．18．（5分）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，AE∥BC．求证：△ADE是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠ACB＝60°，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠ACB＝60°＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AD＝AE，又∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．19．（5分）生活中处处都有数学，一家服装店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的9折销售10件的销售额【解答】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意得：10×0.9x＝12（x﹣30），解得：x＝120，答：这种服装每件的标价为120元．20．（5分）如图是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃Q”和“黑桃K”，现在把这两张牌从中间剪断，分成如图的4张背面形状相同的半张牌，小撤先从这4张半张牌中随机地抽取一张（不放回），小尼接着再随机地抽取一张．（1）小撒抽到半张“黑桃Q”的概率是；（2）游戏规定：所抽取的两张中，能拼成一张完整的扑克牌，那么小撒获胜，你认为这个游戏公平吗？并请用列表法或画树状图法说明理由．【解答】解：（1）∵小撤从这4张半张牌中随机地抽取一张，∴小撒抽到半张“黑桃Q”的概率是＝，故答案为：；（2）游戏不公平，理由如下：设4张半张牌分别用A、a，B、b表示，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中能拼成一张完整的扑克牌的结果有3种，∴小撒获胜的概率＝＝，小尼获胜的概率＝＝，∵≠，∴游戏不公平．21．（6分）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯，如图1，已知AB＝AC＝1.8m，AD＝1.5m，AC与AB的张角∠BAC记为α，为保证采桑人的安全，BC为固定张角α大小的锁链．若α＝42°，将桑梯放置在水平地面上（结果精确到0.1m，参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.61）．【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵AB＝AC＝1.8米，∠BAC＝α＝42°，∴∠C＝∠B＝＝69°，∵AD＝1.5米，∴BD＝AD+AB＝2.3（米），在Rt△BDE中，DE＝BD•sin69°≈3.8×0.93≈3.5（米），答：此时桑梯顶端D到地面的距离约为3.1米．22．（7分）某学校组织开展主题为“热爱祖国，走近河山”的研学旅行．待考查的甲、乙两家旅行社原价均为150元/人．甲旅行社的方案：所有人打8折；乙旅行社的方案：40人以内（含40人），超过的人数每人打6折．设参加研学旅行的人数为x（人），甲旅行社所需总费用为y1（元），乙旅行社所需总费用为y2（元）．（1）当x＞40时，求y1、y2与x的函数表达式；（2）若有100人参加研学旅行，选择哪家旅行社更划算，请说明理由．【解答】解：（1）当x＞40时，y1＝150×0.8x＝120x，y2＝150×40+150×0.7（x﹣40）＝90x+2400，∴y1与x的函数表达式为y1＝120x；y2与x的函数表达式为y2＝90x+2400；（2）选择乙旅行社更划算．现由如下：当x＝100时，y1＝120×100＝12000，y8＝90×100+2400＝11400，∵11400＜12000，∴选择乙旅行社更划算．23．（7分）“发展体育运动，增强人民体质”，体育组对九年级随机抽取部分学生进行了立定跳远项目的测试，并将测试所得分数绘制成如图所示的统计图，图中从左到右的学生人数之比为2：3：4：1（1）随机抽取部分学生数为40；（2）这组数据的众数是9，中位数是8.5；（3）若该校九年级共有520名学生，8分及8分以上的测试成绩为合格，请估计该年级有多少名学生的测试成绩合格？【解答】解：（1）这个班级的学生数为：12÷＝40．答：随机抽取部分学生数为40．故答案为：40；（2）由（1）可知：成绩为8分、8分、10分的学生数分别是8人、16人，则这组数据的众数是2，中位数是：，故答案为：9；8.3；（3）该年级测试成绩合格的学生数为：520×＝416（人）．答：估计该年级有416名学生的测试成绩合格．24．（8分）如图，已知﹣AB为⊙O的直径，PB切⊙O于点B，交⊙O于点C，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OP＝4AC，求tan∠CPO的值．【解答】解：（1）如图，连接OC；∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA；∵AC∥OP，∴∠BOP＝∠OAC，∠COP＝∠OCA，∴∠BOP＝∠COP；在△BOP与△COP中，，∴△BOP≌△COP（SAS），∴∠PBO＝∠PCO；∵直线BP与⊙O相切于点B，∴∠PBO＝90°，∴∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．（2）解：连接BC交OP于点D，∵AC∥OP，OA＝OB，∴BD＝CD，∴OD＝AC，∵OP＝8AC，∴OP＝8OD，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ODB＝90°，∵∠OBP＝90°，∴∠OBP＝∠ODB，又∵∠BOD＝∠POB，∴△BOD∽△POB，∴，∴OB2＝OP•OD＝3OD2，∴OB＝2OD，∴BP＝＝4，由（1）知△BOP≌△COP（SAS），∴∠BPO＝∠CPO；∴tan∠CPO＝tan∠BPO＝＝．25．（8分）如图，国家会展中心的大门的截面图是由抛物线ADB和矩形ABCO构成的，矩形ABCO的边米，以OC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）近期需要对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，ON＝7.5米，工人师傅站在木板OM上①判断工人师傅能否刷到顶点D；②设点E是OM上方抛物线上的一点，且点E的横坐标为m，直接写出他不能刷到大门顶部的对应点E的横坐标的范围．【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点D的坐标为，设抛物线的表达式为，∵，∴，将点代入抛物线解析式得，解得，∴抛物线对应的函数的表达式为．（2）①将x＝7.5代入中，得y＝3，∴点，∴设直线OM的解析式为y＝kx（k≠6），将点代入得，∴，∴直线OM的解析式为，过D作x轴的垂线交x轴于点H，交直线OM于P，∵点D的坐标为，∴点P的横坐标为，将代入，得，∴点P的坐标为，∴，∵他能刷到的最大垂直高度是2.4米，且6＞2.4，∴工人师傅不能刷到顶点；②过E作x轴的垂线交直线OM于点F，∵点E的横坐标为m，∴，，∴＝．∵师傅能刷到的最大垂直高度是，∴当时，他就不能刷到大门顶部，当，即时，解得．又∵EF是关于m的二次函数，且图象开口向下，∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是．26．（10分）问题探究嘻嘻和谙谙在一起探究特殊平行四边形的分割问题．嘻嘻：如图1，我发现在正方形ABCD内部可以找到一点O，将O与正方形的四个顶点分别连接起来，并且它们的面积之比为1：