高中数学第三章不等式3-3-2-1简单的线性规划问题同步课件新人教A版必修5

3.3.2简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题主题线性规划问题某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,设投资甲、乙两个项目的资金分别为x,y万元,利润为z万元.1.x,y应满足什么条件?提示:根据题知x,y应满足

2.若将(x,y)看成点,则该点与不等式组表示的平面区域有什么关系?提示:该点在不等式组表示的平面区域内,该区域是点(x,y)的可行域.3.若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,设该公司所获利润为z万元,那么z与x,y有何关系?x,y取值对利润z有无影响?提示:z=0.4x+0.6y,x,y的取值影响z的取值.4.若把题3中的z=0.4x+0.6y看作关于x,y的二元一次方程,则z的几何意义是什么?该直线与不等式组表示的平面区域有公共点吗?提示:把x,y看成一对变量,则二元一次方程表示直线,因此z可看作是该直线在y轴上的截距的倍数,且该直线与不等式组表示的平面区域必须有公共点.结论:线性规划中的基本概念名称定义目标函数要求_______________的函数,叫做目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的___________线性目标函数如果目标函数是___________________,则称为线性目标函数最大值或最小值不等式(组)关于变量的一次函数结论:线性规划中的基本概念名称定义目标函数要求_______________的函数,叫做目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的___________线性目标函数如果目标函数是___________________,则称为线性目标函数最大值或最小值不等式(组)关于变量的一次函数名称定义线性约束条件如果约束条件是_______________________________则称为线性约束条件线性规划问题在线性约束条件下,求线性目标函数的_______________问题,称为线性规划问题最优解使目标函数达到_______________的点的坐标,称为问题的最优解可行解满足线性约束条件的解,叫做可行解可行域由所有_______组成的集合叫做可行域关于变量的一次不等式(或等式),最大值或最小值最大值或最小值可行解【对点训练】1.若实数x,y满足不等式组则z=2x-y的最小值等于 (

)

A.-1 B.1 C.2 D.-2【解析】选D.由作出可行域如图:化目标函数z=2x-y为y=2x-z,由图可知,当直线y=2x-z过点A时直线在y轴上的截距最大,z有最小值为-2.2.已知变量x,y满足则x2+y2的最大值为 (

)A.10 B.5 C.4 D.2【解析】选A.作出变量x,y满足所对应的可行域(如图阴影部分),由解得A(3,-1),而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,数形结合可得最大距离为OA=,即z=x2+y2的最大值为10.【解析】选A.作出变量x,y满足所对应的可行域(如图阴影部分),由解得A(3,-1),而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,数形结合可得最大距离为OA=,即z=x2+y2的最大值为10.3.设x,y满足约束条件则z=的最大值为

(

)A.0 B. C.1 D.2【解析】选D.约束条件对应的区域如图:由z=的几何意义得,区域内的点A(1,2)与点O的连接直线斜率最大,即z=的最大值为=2.类型一求线性目标函数的最值【典例1】(1)x,y满足约束条件:则z=2x+y的最大值为 (

)

A.-3 B. C.3 D.4(2)已知实数x,y满足求x+2y的取值范围.【解题指南】画出约束条件表示的平面区域,利用图解法求解.【解析】(1)选C.依题意可画出可行域如图联立可得交点(2,-1),如图所示,当z=2x+y经过点(2,-1)时,z最大为3.(2)作出实数x,y满足表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,2),B(-2,0),C(-1,-1).设z=F(x,y)=x+2y,将直线l:z=x+2y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值,得z最大=F(2,2)=6;当l经过点C时,目标函数z达到最小值,得z最小=F(-1,-1)=-3,因此,x+2y的取值范围是[-3,6].【方法总结】用图解法解决线性目标函数的最优解问题的一般步骤(1)画:根据线性约束条件,在直角坐标系中,把可行域表示的平面图形准确地画出来,可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移:运用数形结合的思想,把目标函数表示的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值.(4)答:写出答案.【跟踪训练】1.设x,y满足约束条件则z=2y-x的最小值为 (

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.画出约束条件所表示的可行域,如图(阴影部分)所示.目标函数z=2y-x可化为直线y=x+,结合图形可得,当直线y=x+过点A时,此时在y轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值.又由解得A(-1,0),所以目标函数的最小值为zmin=2×0-(-1)=1.2.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为(

)A.4和3

B.4和2

C.3和2

D.2和0【解析】选B.满足约束条件的可行域如图所示:

平移直线2x+y=0,经过点N(1,0)时,2x+y最小,最小值为2,则目标函数z=2x+y的最小值为2.经过点M(2,0)时,2x+y最大,最大值为4,则目标函数z=2x+y的最大值为4.类型二非线性目标函数的最值问题【典例2】(1)已知x,y满足约束条件则z=x2+y2+2x的最小值是(

)A. B.-1 C. D.1(2)已知定点P(1,9),动点Q(x,y)在线性约束条件所表示的平面区域内,则直线PQ的斜率k的取值范围为 (

)A.[-1,7] B.[-7.1]C.(-∞,-1]∪[7,+∞) D.[-9,-1]∪[7,+∞)【解题指南】(1)利用z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1的几何意义即可行域上的点到定点C(-1,0)的距离的平方再减1,然后再利用数形结合求解.(2)先根据约束条件画出可行域,找到边界的点,求出P点与边界点的连线的斜率,数形结合可得结论.【解析】(1)选D.画出可行域如图所示,

由于z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1,而(x+1)2+y2表示可行域上一点到定点C(-1,0)的距离的平方,由图可知|AC|最小,所以x2+y2+2x的最小值为-1=()2-1=1.(2)选C.不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分,

直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点为A(4,6),直线x-y+2=0与y轴的交点为B(0,2),只需求出过点P的直线经过可行域内的点A或点B时的斜率,kBP==7,kAP==-1,所以结合图形可得k≥7或k≤-1.【方法总结】非线性目标函数的最值的求解策略(1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)距离的平方;特别地,z=x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.(2)z=型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.(3)z=|Ax+By+C|可转化为点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的倍.【跟踪训练】设实数x,y满足约束条件则z=x2+y2的最小值为 (

)A. B.10 C.8 D.5【解析】选B.实数x,y满足约束条件的可行域为:

z=x2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方,显然A到原点距离的平方最小,由可得A(3,1),则z=x2+y2的最小值为10.类型三已知目标函数最值求参数或其范围【典例3】若x,y满足且z=3x-y的最大值为2,则实数m的值为 (

)A. B. C.1 D.2【解题指南】先找出可行域确定边界及不确定边界中函数的确定的因素,再结合目标函数的最值求解.【解析】选D.由约束条件作出可行域如图,由z=3x-y的最大值为2,联立解得A(2,4),化目标函数z=3x-y为y=3x-z,由图可知,直线mx-y=0必须过点A,可得2m-4=0,解得m=2.【方法总结】含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的,应分情况作出可行域,结合条件求出不同情况下的参数值.(2)目标函数中含有参数:此时目标函数对应的直线是可变的,如果斜率一定,则对直线作平移变换;如果斜率可变,则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置,从而求出参数的值.【跟踪训练】已知x,y满足条件若目标函数z=-ax+y取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为________.

【解析】画出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.将z=-ax+y转化为y=ax+z,所以目标函数z代表直线y=ax+z在y轴上的截距,若目标函数z=-ax+y取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z应与直线x+y-2=0或2x-y+2=0平行,如图中虚线所示,又直线x+y-2=0和2x-y+2=0的斜率分别为-1和2,所以a=2或a=-1.答案:2或-1【知识思维导图】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏则直线y=ax+z应与直线x+y-2=0或2x-y+2=0平行,如图中虚线所