高中数学第三章三角恒等变换3-2简单的三角恒等变换二课件新人教A版必修4

3.2简单的三角恒等变换(二)

关键能力·合作学习类型一角的变换问题(逻辑推理、数学运算)【典例】1.求值:sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=________.

2.求值:=________.

3.已知tan(α+β)=λtan(α-β),其中λ≠1,求证:【思路导引】1.注意角的变换,分析角之间的关系,令α=θ+15°;2.注意切化弦;3.注意变角,用已知角α+β,α-β表示2α,2β.【解析】1.令α=θ+15°,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-cosα

答案:02.答案:【解题策略】角的三种变换(1)常见的配角变换.α=2·,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=[(α+β)+(α-β)],β=[(α+β)-(α-β)],(2)辅助角变换.asinx+bcosx=sin(x+φ),其中tanφ=.(3)注意常值的代换.用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能用相关公式,如1=sin2α+cos2α,1=sin90°,=sin30°,=cos30°等.【跟踪训练】1.(2020•宜宾高一检测)已知α∈,且3sin2α-5cos2α+sin2α=0,则sin2α+cos2α= (

)A.1

B.-

C.-或1

D.-1【解析】选A.由3sin2α-5cos2α+sin2α=0,得所以即3tan2α+2tanα-5=0,解得tanα=1或tanα=-.因为α∈,所以tanα=1,即α=,所以sin2α+cos2α=sin+cos=1.

【解析】选A.由3sin2α-5cos2α+sin2α=0,得所以即3tan2α+2tanα-5=0,解得tanα=1或tanα=-.因为α∈,所以tanα=1,即α=,所以sin2α+cos2α=sin+cos=1.

2.化简:=________(0<α<π).

【解析】因为tan,所以(1+cosα)tan=sinα,又因为cos=-sinα,且1-cosα=2sin2,所以原式=因为0<α<π,所以0<<.所以sin>0.所以原式=-2cos.答案:-2cos3.求证:【证明】方法一:左边==cosαsincos=sinαcosα=sin2α=右边.所以原等式成立.方法二:左边=cos2αtanα=cosαsinα=sin2α=右边.所以原等式成立.类型二三角恒等变换与函数问题(直观想象、数学运算)角度1与三角函数性质有关的问题

【典例】已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.类型二三角恒等变换与函数问题(直观想象、数学运算)角度1与三角函数性质有关的问题

【典例】已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【思路导引】

【解析】(1)f(x)=cos-2sinxcosx=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin,所以T==π.(2)令t=2x+,因为-≤x≤,所以,因为y=sint在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)≥sin,得证.角度2与三角函数图象有关的问题

【典例】函数f(x)=4cos2-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为__________.

【思路导引】利用三角恒等变换公式化简函数解析式后再结合图象解答.【解析】因为f(x)=4cos2-2sinx-|ln(x+1)|=2(1+cosx)sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|,所以函数f(x)的零点个数为函数y=sin2x与y=|ln(x+1)|图象的交点的个数,函数y=sin2x与y=|ln(x+1)|的图象如图,由图知,两函数图象有2个交点,所以函数f(x)有2个零点.答案:2【变式探究】本例若把函数改为f(x)=sinxcosx-ln|x|,试求零点的个数.【解析】因为f(x)=sinxcosx-ln|x|=sin2x-ln|x|,所以函数f(x)的零点个数为函数y=sin2x与y=ln|x|图象的交点的个数,如图知,零点的个数为2个.【解题策略】三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.研究图象问题时用数形结合的方法直观解题,由“数”想图,借“图”解题.【题组训练】1.(2018·全国卷Ⅲ)函数f的最小正周期为(

)

A. B. C.π D.2π【解析】选C.f(x)==sinxcosx=sin2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.2.已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,x∈R.求函数f(x)的单调增区间.【解析】f(x)=-(1-2sin2x)+(2sinxcosx)+(2cos2x-1)+=sin2x+cos2x+=sin由题意得2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调增区间为,k∈Z.【拓展延伸】三角恒等变换在平面向量中的应用1.向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.2.三角函数要结合三角恒等变换进行转化,注意角的范围对变形过程的影响.【拓展训练】已知向量a=(1,-),b=(sinx,cosx),f(x)=a·b.(1)若f(θ)=0,求的值.(2)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的值域.【解析】(1)因为a=(1,-),b=(sinx,cosx).所以f(x)=a·b=sinx-cosx,因为f(θ)=0,即sinθ-cosθ=0,所以tanθ=,所以=(2)f(x)=sinx-cosx=2sin,因为x∈[0,π],所以x-∈,当x-=-,即x=0时,f(x)min=-,当x-=,即x=时,f(x)max=2,所以当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域为[-,2].【补偿训练】已知三点A,B,C的坐标分别为A(cosα,sinα)B(3,0),C(0,3),若=-1,求的值.【解析】由题意,得=(3-cosα,-sinα),=(-cosα,3-sinα).因为·=-1,所以(cosα-3)·cosα+sinα(sinα-3)=-1.整理,得sinα+cosα=.所以1+2sinαcosα=,所以2sinαcosα=-.又因为=2sinαcosα,所以原式=-.类型三三角恒等变换在几何中的应用(逻辑推理、数学建模)【典例】若点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作半圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大?【思路导引】先作图,再写出面积关于α的函数,利用三角函数性质求解.【解析】如图,连接PB,因为AB为直径,所以∠APB=90°.因为∠PAB=α,AB=1,所以PB=sinα,PA=cosα,又PT切半圆于P点,则∠TPB=∠PAB=α.所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PB·sinα=cosα·sinα+sin2α=sin2α+(1-cos2α)

因为0<α<,-<2α-<π,所以当2α-=,即α=π时,四边形ABTP的面积最大.【解题策略】解决三角恒等变换在几何中的应用问题的注意事项(1)充分借助平面几何,寻找数量关系.(2)注意实际问题中变量的范围.(3)直视三角的有界性的影响.【跟踪训练】如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成矩形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最大?

【解析】设∠AOB=α,△OAB的周长为l,则AB=Rsinα,OA=Rcosα,所以l=OB+AB+OA=R+Rsinα+Rcosα=R(sinα+cosα)+R=Rsin+R.因为0<α<,所以<α+<,所以l的最大值为R+R=(+1)R,此时,α+=,即α=,即当α=时,△OAB的周长最大.【补偿训练】在本题条件下,求矩形面积的最大值.【解析】如图所示,设∠AOB=α,则AB=Rsinα,OA=Rcosα.设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB,所以S=2Rcosα·Rsinα=R2·2sinαcosα=R2sin2α.因为α∈,所以2α∈(0,π).因此,当2α=,即α=时,Smax=R2.这时点A,D到点O的距离均为R,矩形ABCD面积的最大值为R2.

备选类型三角变换在实际生活中的应用(数学运算、数学建模)【典例】某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD,已知草坪长AB=100米,宽BC=50米,为了便于专家平时工作、起居,该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE,HF和EF,并要求H是CD的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且∠EHF为直角,如图所示.(1)设∠CHE=x(弧度),试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数,并求出此函数的定义域.(2)这三条路,每米铺设预算费用均为400元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值:

取1.732,取1.414).【解析】(1)因为在Rt△CHE中,CH=50,∠C=,∠CHE=x,所以HE=在Rt△HDF中,HD=50,∠D=,∠DFH=x,所以HF=.又∠EHF=,所以EF=所以三条路的全长(即△HEF的周长)L=当点F在A点时,x最小,求得此时x=;当点E在B点时,x最大,求得此时x=.故此函数的定义域为(2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求出△HEF的周长L的最小值即可.由(1)得L=设sinx+cosx=t,则sinxcosx=所以L=由t=sinx+cosx=,x∈,得当x=,即CE=50时,Lmin=100(+1),所以当CE=DF=50米时,铺路总费用最低,最低总费用约为96560元.【解题策略】

此类问题,关键是合理引入辅助角,确定各变量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解.提醒:在利用三角变换解决实际问题时,常因忽视角的范围而致误.【跟踪训练】如图,某工匠要将一块圆心角为120°,半径为20cm的扇形铁片裁成一块面积最大的矩形,现有两种裁法:(1)让矩形一边在扇形的半径OA上(如图①),(2)让矩形一边与弦AB平行(如图②),请问该工匠应采用哪种裁法?并求出这种裁法面积的最大值.【解析】在题图①中,MN=20sinθ,ON=20cosθ,所以S1=ON·NM=400sinθcosθ=200sin2θ,所以当sin2θ=1,即θ=45°时,(S1)max=200cm2.题图②中,MQ=40sin(60°-α),MN=sinα,所以S2=[cos(2α-60°)-cos60°],当cos(2α-60°)=1,即2α-60°=0,α=30°时,(S2)max=cm2.因为>200,所以用图②这种裁法得到的矩形的面积大,最大为cm2.1.化简cosx+sinx等于 (

)

【解析】选B.课堂检测·素养达标2.(教材二次开发:练习改编)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是(

)

【解析】选C.f(x)=cosx-sinx=.当x∈[0,a]时,x+所以结合题意可知,a+≤π,即a≤,故所求a的最大值是.3.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为________.

【解析】因为y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin所以函数的最小正周期T==π.答案:π4.北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,则cos2θ=________.

【解析】由题意知,5cosθ-5sinθ=1,θ∈,所以cosθ-sinθ=.又(cosθ+sinθ)2+(cosθ-sinθ)2=2,所以cosθ+sinθ=(负值舍去),所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=.答案:

5.形如的符号叫二阶行列式,现规定=a11a22-a21a12,如果f(θ)=0<θ<π,求θ的值.【解析】因为

=,所以f(θ)==cosθsin-sinθcos=cosθ-sinθ=sin因为

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