人教版高中数学《不等式》全部教案

第一教时

教材：不等式、不等式的综合性质

目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质III。

过程：

一、引入新课

1.世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。

2.过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题

二、几个及不等式有关的名称（例略）

1.“同向不等式及异向不等式”

2.“绝对不等式及矛盾不等式”

三、不等式的一个等价关系（充要条件）

1.从实数及数轴上的点••一对应谈起

2.应用：例一比较（a+3）（。-5）及（a+2）（。-4）的大小

解：（取差）（a+3）（。-5）（。+2）（。一4）

例二已知X0,比较（X2+1）2及+1的大小

解：（取差）（X~+1）"（光4+X~+1）

X0X2>0从而（苫2+l）2>_f*+%2+1

小结：步骤：作差一变形一判断一结论

例三比较大小1.厂1l和V1O

V3-V2

解:

V3-V2

b<b+tn..「+、

2.—和----(a,b,meR)

aa+m

一bb+mm(b-a)

解：(取差)------=—-------•：(a,b,meR+)

aa+ma(a+m)

,bb+m,hb+m,bh+m

・•・当b〉•。时一>------；当/?=a时一=------：当Z?<。时一<------

aa+maa+maa+m

3.设a>0且awl,7>。比较glog〃［及的大小

/+1r—I)2f+1r

解：------yt=----------之0/.----NJi

222

当a>1时Wlog”当°va<1时^log,42log.~Y

四、不等式的性质

i.性质L如果a>〃，则h<a；如果b<a,则(对称性)

证：•.•“>/?...。一人>0由正数的相反数是负数

2.性质2：如果a>h,b>c则a〉c(传递性)

证：b>ca-b>0,b-c>0

•.•两个正数的和仍是正数A(a-b)+(/?-c)>0

由对称性、性质2可以表示为如果c<b且人<a则c<a

五、小结：1.不等式的概念2.一个充要条件

3.性质1、2

六、作业：P5练习P8习题6.11—3

,,1

补充题：1.若2x+4y=l,比较sr?+y-及的大小

2

l-4y221(5y-l)八,2

解：x=------x-+y~—.....>0,jr+y-云

220520

2.比较2sin及sin2的大小(0<<2)

略解：2sinsin2=2sin(1cos)

当(0,)时2$汨(1cos)202sin2sin2

当(，2)时25汨(1cos)<02sin<sin2

3.设a>0且aHl比较k)ga(/+1)及log//+1)的大小

解；(a+1)—(ci"+1)—a~(a—1)

32

当0<a<l时a，+1<02+iAlog„(a+l)>loga(a+1)

32

当a>1时/+1>a?+1log„(a+1)>log(,(a+1)

总有log“(a'+l)>log〃(/+1)

第二教时

教材：不等式基本性质(续完)

目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规

律的。

过程：

一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2

二、1.性质3：如果a>b,则a+c>b+c(加法单调性)反之亦然

证：'：（a+c）-（b+c）=a-b>0a-\-c>b-\-c

从而可得移项法则：a+b>c=>a+b+（-b）>c+（-Z?）=>tz>c-b

推论：如果力且c>d,则a+c>〃+”（相加法则）

a>b=>a^-c>b-^-c]

证：>^>a+c>b+d

c>d=>b+c>b-^-d\

推论：如果人且c<d,则。（相减法则）

fa>b

证：:cvd:.—c>—d〈=>a-c>b—d

-c>-d

或证：（a—c）-（h—d）=（a—b）-（c-d）

ci>b:.a-b>0

〉=>上式>o........

*:c<d:.c-d<0

2.性质4：如果。>匕且。>0,则QC>/?C；

如果。>。且。<0则。。<〃。（乘法单调性）

证：ac-bc=（a-b）c'：a>ba-b>0

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：

c>0时（。一/7）。>0即：ac>bc

c<0时（〃一b）c<0即：ac<bc

推论1如果。>5>0且c>d>0,则（相乘法则）

a>b,c>0^>ac>be]

证：ac>bd

c>d,b>0be>bd

cib

推论1'（补充）如果a>/?>0且0<cvd,则一〉一（相除法则）

cd

11八〕八

,八一>—>0ab

证：<d>c>0:•cd>=—>一

a>b>0cd

推论2如果则（〃£27月4>1）

3.性质5：如果a>Z?>0,则标万（nGN^n>1）

证：（反证法）假设板<14h

汕吧里二:净及…矛盾

三、小结：五个性质及其推论

口答P8练习1、2习题6.14

四、作业P8练习3习题6.15、6

五、供选用的例题（或作业）

ee

1.已知c<d<0,evO,求证：----->------

a-cb-d

11

a>b>0------<-------

证:a—c<h—d>0=>a-cb-df=>------

c<d<0e<0b-d

2.若a,beR,求不等式Q>,同时成立的条件

ab

11b-a力

解：ab~ab

a>b=>b-a<0]

3.设a,Z7,cwR,。+力+。=0,cibc<0求证—i--1—>0

abc

证：:。+〃+。=0/.a2+b2+c2+2ah+2ac+2bc=0

又人2

•:abcw0a?+2+c>o.・.cih+ac+hc<0

比较一及』的大小

4.ab>Oy\a\>\b\

ab

11b—a_._..,,

解：一一二-----当a>0,力>0时即fa

abab

当a<0,/?v0时Ia|>|8|即avZ?

5.若a,b>0求证：—>\<^b>a

a

b.b-a八,

解：1=------>0:a>0:・b—a>0:•a<b

aa

6.若a>b>0,C<d<0求证：bgsma">“gsina”

a-cb-d

证：

vO<sina<l>1/.logsintf<0

又a>b>0,-c>-d>0:.a-c>b—d

11

-----<-------...原式成立

a-cb-d

第三教时

教材：算术平均数及儿何平均数

目的：要求学生掌握算术平均数及几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。

过程：

一、定理：如果a,beR,则a?+b222ah（当且仅当a=Z;时取"=”）

证明：a2+b2-2ab^（a-b）2

1.指出定理适用范围：a,beR

2.强调取“=”的条件。=人

二、定理：如果人是正数，则”2NJ益（当且仅当。=人时取“=”）

2

证明：：（G）?+（五122A/^a+b>2y[ab

即：----->y/ab当且仅当a=力时------=yjab

22

注意：1.这个定理适用的范围：awR，

2.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

三、推广：

定理：如果a/,C£/?+,则。3+犷+/N

（当且仅当a=b=。时取“二”）

证明：：—3abe=（。+A），+/—3a-b—3ab"-3cibc

va,b,ceR+工上式20从而。3+。3n3。人。

指出：这里。,b,C£R+•・•〃+/?+（?<（）就不能保证

推论：如果a,4cwR+,则“++匕五及

3

（当且仅当a=Z7=c时取“二”）

证明：（“GV+（版）3+（Vc）3>3y/a•正•Vc=a+Z?+cK3yabc

四、关于“平均数”的概念

1.如果a”生，…，。〃£R+，〃>1且〃6N*则：

Cli+…

-——----------叫做这n个正数的算术平均数

n

如出…a”叫做这n个正数的几何平均数

2.点题：算术平均数及几何平均数

3.基本不等式：--------------^…a”

这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

4.”2J元的儿何解释;

2

过C作

五、例一已知a,。,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+hc+ca

证：va1+b2>labb2=c2>2bcc2+a1>2ca

以上三式相加：2(。-+h~+c~)>2ab+2bc+2ca

六、小结：算术平均数、几何平均数的概念

基本不等式(即平均不等式)

七、作业：P11-12练习1、2P12习题5.21—3

补充：1.已知6<a<8,2<Z?<3,分别求a+8,a-。,"•的范围

b

(8,11)(3,6)(2,4)

2.xeR试比较2》4+1及2*3+%2(作差2/+1>2*3+*2)

3.求证：Vci~+b~+Vb~+c~+yjc~+ci~5/2(0++c)

证：Va2+b2N^(a+b)yjb2+c2>-^-(/7+c)-\lc2+a2>(ca)

222

三式相加化简即得

第四教时

教材：极值定理

目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。

过程：

二、复习：算术平均数及几何平均数定义，平均不等式

三、若设Q(x,y)=『A(x,y)=G(x,y)=y[xy

2

H(x,y)=-j_p求证：Q(x,y)2A(x,y)NG(x,y)2〃(x,y)

一+一

xy

加权平均；算术平均；几何平均；调和平均

+/+2孙<+y2+—+y22

••.(中)2x-+y

证:

2

Q(x,y)>A(x,y)(俗称哥平均不等式)

由平均不等式A(x,y)>G(x,y)

”(")=工毕=而

=G(x,y)即：G(x,y)>H(x,y)

x+y2dxy

综上所述：Q(x,y)>A(x,y)>G(x,y)>H(x,y)

1,1,25

例一、若a+Z?=\,a,bGR'求证(a+一/+(。+一厂>——

ah2

/1心1、2

1](QH---\~h—)

证：由艰平均不等式：(。H)~+3~1)~之------......——

ab2

四、极值定理

已知都是正数，求证：

1如果积犯是定值p,则当x=y时和x+y有最小值2，万

2如果和x+y是定值s,则当x=y时积切有最大值;52

证：x,yeR+之y[^y

i当孙=p(定值)时，~~~~-yl~PAx+y>2y[p

・・•上式当尤=丁时取“二”・••当x=y时有(工+>工.=2j万

当(定值)时，-Jxy<|-2

2x+y=sxy<—s

4

1,

•.•上式当x=y时取“=”.•.当x=y时有（砂）max=a$-

注意强调：1最值的含义（“小”取最小值，“W”取最大值）

2用极值定理求最值的三个必要条件•：

-“正”、二“定”、三“相等”

五、例题

1.证明下列各题：

证：x>1lgx>0logv10>0

于是lgx+logv10>2jlgxlgx10=2

⑵若上题改成0<x<l,结果将如何？

解：Igx<0logv10<0

于是（一lgx）+（—k）g*10）N2

从而Igx+log.10<-2

⑶若a+b-1则a。4工

4

解：若a,beR+则显然有0<ab4—

4

若a,。异号或一个为0则ah<0ab<-

4

2.①求函数y=/（1-x）的最大值（0<x<1）

②求函数y=x（l—》2）的最大值（0<x<l）

x2

解：①0<尢v1/.1—x>0・,•当一=1-x即x=一时。

23

xx、

---1-----1-XACA

xx、/彳/22、342,4

y=4A---（l-X）<4-（---------------）■=万即尤=4时Xnax=5y

「2।26~242石

.•.当2X=1—X，*=彳时y-max=为>max=可

3.若X>—1,则X为何值时X+」一有最小值，最小值为几？

X+1

解：x>—1x+1>0------>0

x+1

当且仅当X+l=------即冗=0时（X+」一）min=1

X+1x+1

六、小结：1.四大平均值之间的关系及其证明

2.极值定理及三要素

七、作业：P12练习3、4习题6.24、5、6

补充：下列函数中X取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？

1y=X（2-3x）龙时/四'=]

2y=l-4x+—x=l,y=-2

5-4xmin

376

3%<0时）=1-2%—二x=---,ymin=1+V6

x2

第五教时

教材：极值定理的应用

目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。

过程：

）1、复习：基本不等式、极值定理

,,3

九、例题：1.求函数y=232+-,（x〉0）的最大值，下列解法是否正确？为什么？

X

解-：y=2x2+-=2x2+-+->332x2-I--=3^4

XXXVXX

解二：y=2x2+—>2/2—•—=2A/6X当2/=3即x=•时

xvxx2

j2__

答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到J”,即不存在x使得2_?=一=一；解二错在2，菽

XX

不是定值（常数）

3333

正确的解法是：y=2尤2+—=2x2+—+—>3；2/.—

x2x2xv2x

23v633/TT

当且仅当4=三即-下时儿35你

x2—2x+2

2.若一4vx<l,求------------的最值

2x—2

x"—2x+21(X—1)-4-11]=一:|-(xT)+

解:

2x-2-2X-1X—12一（x-1）

从而IXT)+Z^]22—*(1)+^^]—

x~-2,x+2

即《)„-1

2x-2mi

3.设xeR+且+=1,求xjl+y~的最大值

解：YX〉。・•・xjl+y2

又炉+弓+与）"+与）+；=|

即(Wl+V)—372

~T~

cib

4.已知a,Z?,x,y£且一+—=1,求x+y的最小值

%y

xb

解：x+y=(x+y)•1=(x+y)(—+—)=a+b+—+—

xyxy

当且仅当a上y=—xb即x一=1时(X+y)min=(G+后产

xyy

十、关于应用题

1.PI】例（即本章开头提出的问题）（略）

2.将一块边长为。的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使

其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解：设剪去的小正方形的边长为X

则其容积为V=X(6?-2X)2,(0<X<-)

2

,ca

当且仅当4%=。-2x即x=一时取“二”

6

即当剪去的小正方形的边长为人时，铁盒的容积为

6

H^一\作业：P12练习4习题6.27

补充:

1.求下列函数的最值:

94

1y-2xH----,(XW7?+)(min=6)

X

2y-x(a—2X)2,(0<X<^)(max=)

2.1x〉0时求y=—1~3工2的最小值，y=-h+3x的最小值(9,—V?)

xx2

1r

2设xe[-,27],求y=log35y-log3(3x)的最大值(5)

3若0<x<l,求y=x"(1—x，)的最大值(—,x=----)

273

4若x,ye/?+且2x+y=1,求—I—的最小值(3+2J5)

xy

3.若a>b>0,求证：a+——-——的最小值为3

b(a-b)

4.制作一个容积为16加/的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和

高各取多少时，用料最省？(不计加工时的损耗及接缝用料)(R=2m,/z=4，〃)

第六教时

教材：不等式证明一(比较法)

目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之-----比较法，要求学生能教熟练地运

用作差、作商比较法证明不等式。

过程：

一、复习：

1.不等式的一个等价命题

2.比较法之一(作差法)步骤：作差一一变形一一判断-一结论

二、作差法:(P13—14)

1.求证：1+3>3x

3333

证：：(产+3)3x=，-3*+(二尸-(二/+3=(》一二>+一〉o

2224

二，+3>3x

-a+ma

2.已知a,b,用都是正数，并且a<6,求证：------>-

b+mb

.a+mab(a+m)-a(h+m)m(b-a)

证：----------=---------------------=----------

/74-mbb(b+iri)b(b4-m)

,:a,b,切都是正数，并且£b,：・b+m〉。，ba>0

m(b-a)八a+ma

A------>0即：------>—

b(h+m)b+mb

变式：若a>b,结果会怎样？若没有"a<bn这个条件，应如何判断？

3.已知a,力都是正数，并且ab,求证：君+6>at)+a8

证：(才+6)(孑，3+=(才a%2)+(方5)

=，(才6)6(，S)=(40)但6)

-(a+/?)(ab)2(a+ab+6)

Va,6都是正数，，a+b,才+a。+°2>0

又,：ab,(aZ?)2>0(a+Z?)(a甘+ab+F)>0

即：H+加〉+4R

4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度/〃行走，另一半时间以速

度〃行走；有一半路程乙以速度卬行走，另一半路程以速度〃行走，如果加〃，问：甲乙

两人谁先到达指定地点？

解：设从出发地到指定地点的路程为s,

甲乙两人走完全程所需时间分别是右，加

,t,SS/口2sS(m+n)

贝n!J：-m-\—n=So,----1----=t?可得：ti=------,1-)=----------

222m2nm+n2mn

♦:S,m,〃都是正数，且6n,/.t\t2<0即：t\<t2

从而：甲先到到达指定地点。

变式：若山二〃，结果会怎样？

三、作商法

a+b

5.设a,bR-,求证：aubh>(ab)2>abbu

aiba—bb—aa—b

，「qClb丁7丁T

证：作商：------I=a2b2=(一)2

a+hh

(ab产

a-b

当a=。时，(一)2=1

t-b

当a>6>0时，—>1,>0,(^)2>1

a-b

八Cl<Cl—D7_.Cl.{

当6>a>0时，0<g<l,<0,(-)2>1

a+b

aub">(ab)~(其余部分布置作业)

作商法步骤及作差法同，不过最后是及1比较。

四、小结：作差、作商

五、作业：P15练习

P18习题6.31—4

第七教时

教材：不等式证明二(比较法、综合法)

目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。

过程：

二、比较法：

a)复习：比较法，依据、步骤

比商法，依据、步骤、适用题型

b)例一、证明：y=2'-4x+3在[2,+8)是增函数。

证：设则2=21一=2'/52-犬+片=2(X2-X,)(X,+X2-4)

y22处、4用+3

•.•必汨〉0,乐+题4>0>2°=1

力

又•••》〉0,...y=2'-4x+3在[2,+8)是增函数

二、综合法：

定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法

叫综合法。

i.已知a,b,。是不全相等的正数，

求证：a"?+c2)+b[c+a2)+c(a~+Z?2)>6abe

证：+422bc,a>0,:.虱6+?)22abc

同理：b[c+a)>2abe,。(才+If)22abc

:.式6+c)+b(c+a2)+c(a+6)36abe

当且仅当乐c,行力时取等号，而&b,c是不全相等的正数

:+c)+b{c+a)+c[a+F)>6abe

ii.设a,b,cR,

________后

1求证：y/a2+b2>-y(a+b)

2求证：NQ2+〃++々2N尬(a+b+C)

3若a+b=1,求证:

22

a+ba+b2a-\-ba-\rb

证：1

2~2

+〃2>^^(C+Q)

2同理:db2+/2>3+c),

22

三式相加：Jc/+Z?"+J/??+c"+Jc2+c厂NJ^(a+Z?+c)

3由基平均不等式:

iii.a,b,cR、求证：1(〃+Z?+c)(1---1—)29

abc

/,、/111、9

2(a+b+c)(------1-------1------)>—

a+bb+cC+Q2

b+cc+aa+b2

证：1法一：a+b+c>3\[abc,-+-+->331—,两式相乘即得。

abcVabc

a+b+ca+b+ca+b+c今力a、(〃、1b、

法二：左边二---------+---------+------=--3-+(—+,)+(—+—)+(：+一)

abccibacbc

23+2+2+2=9

2>|#(a+-+c)(c+a)

两式相乘即得

/,、/、

3由上题：(。+〃+，)(---1----F---1---F---1--)>—9

a+bb+cc+a2

abc、3

即：-----+------+------>-

b+cc+aa+b2

三、小结：综合法

四、作业：P15—16练习1,2

P18习题6.31,2,3

补充：

/1b2---

1.已知a,6〃且ab,求证：()2+()2>U~+b~(取差)

ba

2.设R,x,yR,求证：X疝％-yZa<x+y(取商)

ci+b->a'+b'

3.已知a,bR,求证：(-----)'<--------

22

证：•：a,bR：.(a-b)2>0Aa2-ab+h2>ah

],125

4.设a>0,b>0,且a+b=1,求证：(a+—>+(b+-)2>——

ab2

I~~-a+h1,11.

证：\cib<------——:.ab<一:.—N4

224ab

第八教时

教材：不等式证明三（分析法）

目的：要求学生学会用分析法证明不等式。

过程：

一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为

判定这些充分条件是否具备的问题。

二、例一、求证：A/3+V7<2^5

证："/V3+J7>0,2-\/5>0综畲法：

I

•

I

I

只需证明：(J5+J7)2<(2正)2V2i<25

I

I

I

I___

展开得：10+2如<20.•.&!<5

即：2折'<102疝<10

即：21<25(显然成立)?.(V3+J7)2<(2A/5)2

例二、设X>0,y>0,证明不等式:(x2+y2)2>(x3+>3)3

证一：（分析法）所证不等式即：（，+/）3>（%3+y3产

即：x6+y6+3X2^2(X2+y2)>x6+y6+2x3y3

B|J：3x2y2(x2+y2)>2x3>,3

2

只需证：x~+y~〉严

2

vX2+y2>2xy>-xy成立

证二：(综合法)v(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)>x6+y6+6x3y3

1[

■：X>0,y>0,/.(x2+y2)2>(x3+y3)3

例三、已知：a+8+。=0,求证：ab+be+caW0

证一：(综合法)9.,a+b+c=0(a+Z?+c)2=0

,,a2+b2+c2

展开得：ab+bc+ca=----------------

2

/.ab+be+caW0

证二：（分析法）要证ab+be+caW。Va+Z?+c=0

故只需证ab+be+caW(n+Z?+c)

即证：ci~+b~+c-+cib+be+cci20

即：][(〃+力)2+(。+cf+(c+a)-]20(显然)

/.原式成立

证三：•1a+力+。=0/.c=a+b

/.ab+betca=ab+(a+抗c=ab(a+Z?)2=aIfab

例四、(课本例)证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面(指横截面)的周长相等,

则截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

证：设截面周长为1,则周长为/的圆的半径为‘

截面积为兀,

2TI:m

1(

周长为，的正方形边长为

问题只需证：71|---->|一|

ill2I2

即证：...->--

4兀216

411

两边同乘丁，得：一〉一

I2714

因此只需证：4>(显然成立)

二n(—|||也可用比较法(取商)证,

也不困难。

三、作业：P18练习1—3及习题6.3余下部分

补充作业：

0

1.已知0<<,证明：2sin2e〈cot-

2

,・cc1+COS0

略证：只需证：4sin0cos0<---