2023-2024学年内蒙古自治区通辽市高二下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年内蒙古自治区通辽市高二下学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若2∈{x|ax2+3x+a2−3>0}A.−3<a<−1 B.−3⩽a⩽−1

C.a⩽−3或a⩾−1 D.a<−3或a>−12.若函数fx=1−x2A.xx>0 B.xx≤1 C.x0<x≤13.下列运算中正确的是(

)A.log23=lg2lg3 B.4.函数fx=exA. B. C. D.5.已知fx=log12x2−ax+3aA.−∞,4 B.−4,4 C.0,2 D.0,46.已知A，B为同一次试验中的两个随机事件，且PA>0，PB>0，命题甲：若PBA+PB=1，则事件A与B相互独立；命题乙：“A.甲乙都是真命题 B.甲是真命题，乙是假命题

C.甲是假命题，乙是真命题 D.甲乙都是假命题7.已知a=log32，b=log43A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a8.已知函数fx=xex,x<0−x2+2x,x≥0，若关于xA.−∞,−1e B.−1e,0 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在(x−1A.二项式系数之和为32 B.各项系数之和为0

C.常数项为15 D.x−3的系数为10.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为x∣2<x<3，则以下选项正确的有A.abc>0

B.a+b+c>0

C.函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点2和3

D.cx11.已知函数f(x)的定义域为R，且∀x∈R，都有f(−3+x)+f(−1−x)=0，f−32+x=f−12−x，f(−5)=−2，A.函数f(x)的图象关于点(−2,0)对称

B.f(1)=2

C.f(2023)+f(2024)+f(2025)=2

D.函数f(x)与函数y=|ln|x||的图象有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知x>3，则x+4x−3的最小值为_____．13.某地教育局准备从本地区选聘6位教育家型教师到外地3所学校支教，要求每所学校至少去1位教师，每位教师只能去1所学校，且甲乙两位教师必须去同一所学校，则不同的分配方案种数为_________．14.若对任意的x>0，不等式(x−a)ex+1+a≥0恒成立，则a四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=−x(Ⅰ)若不等式f(x)≤2对一切实数x恒成立，求a的取值范围；(Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0．16.(本小题12分)定义在0,+∞上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，且x>1时，f(x)>0．(1)求f(1)；(2)判断f(x)在0,+∞上的单调性；(3)若f(x)+f(x−8)≤2，求x的取值范围．17.(本小题12分)已知函数fx=a⋅3(1)求a的值；(2)若gx=9x18.(本小题12分)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系;性别锻炼合计不经常经常男生女生合计(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E(X)和D(X);(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．附：χ2=n(ad−bcα0.10.050.01x2.7063.8416.63519.(本小题12分)设函数fx(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)当m=1时，讨论f(x)的单调性；(3)在(1)条件下，若对任意x∈−1,+∞，有lnfx+2≤2e答案解析1.D

【解析】解：因为2∈{x|ax2+3x+a2−3>0}，

所以4a+6+a2−3>0，即a2+4a+3>02.C

【解析】解：由1−x2故选C．3.D

【解析】解：对于A，由换底公式可得：log23=对于B，4a3⋅对于C，a2=对于D，12log故选：D4.C

【解析】解：由题，fx的定义域为x|x≠1且x≠−1，

因为f(−x)=e−x−ex|1−x2|=−fx，所以f(x)为奇函数，关于原点对称，排除B；

当x∈0,+∞5.B

【解析】解：因为函数y=log12t为(0,+∞)上的减函数，

由复合函数的单调性可得：若函数则当x∈[2,+∞)时，x2−ax+3a>0且函数t=x2−ax+3a为增函数，

即a2≤2，当x=2时，解得−4<a≤4．故选B．6.B

【解析】解：因为

PBA所以

PBA所以

PABPA=PB

所以事件A与B相互独立，命题甲正确；若A与B相互独立，则

A

与

B

相互独立，

A

与

B

相互独立，PABPAB所以

PAB若

PAB=PAB

所以

PAB所以

P所以

PAB所以

PABPAB=PAPB

，故事件

A所以事件

A

与事件

B

相互独立，所以“A与B相互独立”是“

PAB所以命题乙为假命题，故选B．7.C

【解析】解：因为23<32，所以又33>42，所以综上，a<c<b．故选：C8.B

【解析】解：由f2(x)−(2+t) f(x) +2t=0得[f(x)−2][f(x)−t]=0，所以f(x)=2或f(x)=t，

因为当x<0时，f(x)=xex，所以f′(x)=(1+x)ex，

所以当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减;

当x∈(−1,0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)≥f(−1)=−1e，且f(x)<0，

又因为当x≥0时，f(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1，

所以f(x)在x∈(0,1)时单调递增，在x∈(1,+∞)时单调递减，且f(x)≤f(1)=1，

所以作出函数9.BCD

【解析】解：因为(x−1x)6，它的展开式的通项公式为Tr+1=C6r(x)6−r(−1x)r=(−1)rC6rx3−3r2(r=0,1,2,⋯,6)，

易知所有项的二项式系数和为210.ACD

【解析】解：∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，

∴根据一元二次不等式解法可知a<0，且−ba=5，ca=6>0，

∴b>0，c<0，则abc>0，A正确;

由二次函数y=ax2+bx+c的图象知当x=1时，y<0，故a+b+c<0，B错误;C显然正确;

由−ba=5，ca=6可知：将b=−5a，c=6a代入cx2+bx+a<0，

得6ax2−5ax+a<0，

由a<011.ABD

【解析】解：依题意，因为f(−3+x)+f(−1−x)=0，即f(−2+x)+f(−2−x)=0，

所以函数f(x)的图象关于点(−2,0)对称，所以A选项正确;

又∀x∈R，f(−32+x)=f(−12−x)，即f(−1+x)=f(−1−x)，所以函数f(x)的图象关于直线x=−1对称，

也即f(−2+x)=f(−x)，又f(−4+x)+f(−x)=0，所以f(−2+x)=−f(−4+x)，

即f(x)=−f(−2+x)，则f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=f(x)，所以4是函数f(x)的一个周期，

故f(−5)=f(−1)=−2，由f(x)=−f(−2+x)，令x=1，所以f(1)=−f(−1)=2，所以B选项正确;

因为f(72)=f(4−12)=f(−12)=−34，f(−1)=−2，又当x∈[−1,0]时，f(x)=ax2+bx，

所以a−b=−214a−b2=−34，解得a=−1b=1，即当x∈[−1,0]时，f(x)=−x12.7

【解析】解：∵x>3，

∴x+4x−3=(x−3)+4x−3+3≥24+3=7(当且仅当x−3=4x−3，即x=5时取得“=”13.150

【解析】解：根据题意可分为三类： ①甲乙两人一起去同一所学校， ②甲乙连同另一名老师一起去同一所学校， ③甲乙连同另外两名老师一起去同一所学校，

 ①甲乙两人一起去同一所学校，则不同的分配方案种数为(C42A22+C41)A33=42，

 ②甲乙连同另一名老师一起去同一所学校，则不同的分配方案种数为14.2

【解析】解：原不等式等价于

a≤xex+1ex令

ex=tt>1

，则上式化为

构造函数

ft=则

f′t=令

gt=t−2−所以

gt

在

1,+∞

上单调递增，而在

g(3)=1−ln故

∃t0∈3,4

使得

gt0=0

，故

ft

在即

ft≥f所以

a≤t0又

t0∈3,4⇒t0−1∈2,3故答案为：2．15.解：(Ⅰ)由题意，不等式f(x)≤2对于一切实数x恒成立，

等价于x2−(a−1)x+a≥0对于一切实数x恒成立．

所以(Ⅱ)不等式f(x)>0等价于x2当a−2>1即a>3时，不等式可化为1<x<a−2，不等式的解集为x1<x<a−2当a−2=1即a=3时，不等式可化为(x−1)2<0当a−2<1即a<3时，不等式可化为a−2<x<1，此时xa−2<x<1综上所述：当a<3时，不等式的解集为xa−2<x<1当a=3时，不等式的解集为⌀；当a>3时，不等式的解集为x1<x<a−2

【解析】(Ⅰ)由题意，得x2−(a−1)x+a≥0对于一切实数x恒成立，利用Δ⩽0即可求解；

(Ⅱ)不等式f(x)>0等价于[x−(a−2)](x−1)<0，然后对16.解：(1)

∵

f(x)

满足

f(xy)=f(x)+f(y)

，令

y=1

，

∴f(x)=f(x)+f(1)

，

∴f(1)=0

．(2)设

0<x1f(x2∵0<x1<x2

，

∴x2x1>1

，又

x>1

故

f(x2)−f(x1)>0∴y=f(x)

在

0,+∞

上单调递增．(3)由

f(3)=1

，且

f(xy)=f(x)+f(y)

，得

2=f(3)+f(3)=f(9)

，则

f(x)+f(x−8)≤2

可化为

fx(x−8)≤f(9)由

(2)

知

y=f(x)

在

0,+∞

上单调递增，∴x>0,x−8>0,x(x−8)≤9,

解得

故

x

的取值范围为

8,9

．

【解析】(1)利用赋值法，令

y=1

，代入

f(xy)=f(x)+f(y)

即可求解；(2)利用函数单调性的定义证明，设

0<x1<x2

，把

x2

用

x2x1⋅x1

表示，再根据函数

f(x)

满足

f(xy)=f(x)+f(y)

进行计算即可判断(3)由

2=f(3)+f(3)=f(9)

，将

f(x)+f(x−8)≤2

化为

fx(x−8)≤f(9)17.解：(1)由偶函数定义知f(−x)=f(x)，即a⋅3−x+13−x−1=a⋅3−x+3⋅3x=a⋅3x+3⋅3−x，

所以(a−3)(3x−3−x)=0对∀x∈R成立，所以a=3．

(2)由题意知g(x)=9x+9−x+mf(x)+m2−1=32x+3−2x+m(3⋅3x+13x−1)+m2−1，

令u=3【解析】(1)由题函数fx为偶函数，根据偶函数的定义计算求得a的值即可；

(2)因为g(x)=9x+9−x+mf(x)+m18.解：（1）2×2列联表

零假设为H0:性别与锻炼情况独立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，

根据列联表的数据计算

χ​2=60(7×16−23×14)221×39×30×30=60×(7×30)221×39×30×30=14039≈3.590>2.706=χ0.1，

根据小概率值α=0.1的独立性检验,推断H0不成立,

即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系,此推断犯错误的概率不超过0.1；

(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数,故X近似服从二项分布,

随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率p=560=112，

X~B(20,112)，

故E(X)=20×112=53，

D(X)=20×112×1112=5536；

(3)10名“运动爱好者”有7名男生,3名女生,Y服从超几何分布:

P(Y=0)=C70C33C103=1120,P(Y=1)=C71C32C103【解析】（1）列出列联表，计算卡方，与临界值比较得出结论；

（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数,故X近似服从二项分布,利用二项分布的期望与方差得出结论；

（3）10名“运动爱好者”有7名男生,3名女生,Y服从超几何分布，求出概率，考查分布列与期望.19.解：(1)当a=0时，f(x)=m(x−1)ex，则f′(x)=mxex，m>0，

令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)<0，得x<0．

故f(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0