新九年级数学（人教版）第07讲 y=ax²+k和y=a(x-h)²的图象与性质（人教版）（解析版）

第07讲y=ax²+k和y=a(x-h)²的图象与性质【人教版】·模块一二次函数y=ax²+k的图象与性质·模块二二次函数y=a（x-h)²的图象与性质·模块三课后作业模块一模块一二次函数y=ax²+k的图象与性质二次函数y=ax²+k的图象与性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标增减性y=ax²+ka＞0开口向上x=0（y轴）(0,k)a＞0在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大a＜0开口向下a＜0在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小【考点1二次函数y=ax²+k的图象】【例1.1】下列各点一定在二次函数y=xA．0，0 B．1，1 C．【答案】C【分析】分别求出当x=0、x=1时二次函数的函数值即可得到答案．【详解】解：当x=0时，y=x当x=1时，y=x∴点1，0在二次函数y=x2−1的图象上，点0，0故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数图象上的点的坐标一定满足对应的二次函数解析式是解题的关键．【例1.2】当a<0,c>0时，二次函数y=ax2+cA． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．【详解】解：y=ax∵a<0,c>0,b=0，∴抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为：x=−b故选D．【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【例1.3】在下列平面直角坐标系中画出二次函数y=14x【答案】画图见解析，两个函数图象性质的相同点与不同点见解析【分析】先分别列表，再分别描点，再分别连线，再根据图象总结两个函数的相同点与不同点即可.【详解】解：列表如下：x···−4−2024···y=1···52125···描点并连线列表如下：x···−4−2024···y=−1···−5−2−1−2−5···两个函数的性质的相同点：两个函数的函数图象都是抛物线，都是轴对称图形，对称轴都是y轴，顶点都在y轴上，形状相同，两个函数的性质的不同点：y=14xy=14x2+1的顶点坐标为(0,1),对于y=1当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大，当x=0时，函数y有最小值1；对于y=−1当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小，当x=0时，函数y有最大值-1；【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数图象的性质，掌握“利用列表，描点，连线画函数图象”是解题的关键.【变式1.1】已知点M（-1，m）在二次函数y=2x2+1【答案】3【分析】代入x=-1，即可求出m的值．【详解】解：∵点M（-1，m）在二次函数y=2x∴m=2×(−1)故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入x=-1求出m值是解题的关键．【变式1.2】已知关于x的二次函数y=−x2+c【答案】0（答案不唯一）【分析】根据二次函数图像的特点解答即可．【详解】解：∵关于x的二次函数y=−x∴c≤0，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，根据二次函数解析式的系数确定图像位置是解答本题的关键．【变式1.3】抛物线y=−2x2−3的开口_____，对称轴是_____，顶点坐标是________，当x_____时，y随x的增大而增大，当x______时，y【答案】向下y轴(0,−3)<0>0【分析】利用二次函数的性质判定即可．【详解】解：抛物线y=−2x2−3的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,−3)，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y故答案为：向下，y轴，(0,−3)，<0，>0．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．【考点2二次函数y=ax²+k的性质】【例2.1】已知抛物线y=x2−3，如果点A(1,−2)与点B关于该抛物线的对称轴对称，那么点BA．(2,1) B．(−2,−1) C．(1,2) D．(−1,−2)【答案】D【分析】先根据抛物线解析式求得对称轴为y轴，然后根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解．【详解】解：∵抛物线y=x2−3，对称轴为直线x=0∴点A(1,−2)与点B关于该抛物线的对称轴对称，则点B的坐标是(−1,−2)故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出抛物线的对称轴是解题的关键．【例2.2】已知A−1,y1,B3,y2A．y3<y2<y1 B．【答案】D【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可求出答案．【详解】解：∵二次函数y=ax∴二次函数的开口向上，对称轴是y轴，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵A(−1，y1∴A(−1，y1)关于y轴的对称点∴0<1<3，∴y3故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质找出函数的单调区间是解题的关键．【例2.3】如果二次函数y=ax2+m的值恒大于0A．a>0，m取任意实数 B．a>0，m>0C．a<0，m>0 D．a，m均可取任意实数【答案】B【分析】二次函数y=ax2+m的值恒大于0【详解】解：∵二次函数y=ax2+m∴二次函数开口向上，顶点在x轴上方，∴a>0，m>0．故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．【变式2.1】如果抛物线y=ax2−3【答案】a<0【分析】根据题意可得抛物线开口向下，即可求解．【详解】解：∵顶点是抛物线y=ax∴抛物线开口向下，∴a<0．故答案为：a<0．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【变式2.2】如果抛物线y=(a+2)x2+a的开口向下，那么【答案】a<−2/−2>a【分析】由抛物线的开口向下可得出a+2＜【详解】解：∵抛物线y=(a+2)x∴a+2＜∴a＜故答案为：a＜【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“a＞0时，抛物线向上开口；当【变式2.3】抛物线y=ax2+c与y=−3【答案】y=3【分析】由抛物线y=ax2+c与y=−3x2【详解】解：∵抛物线y=ax2+c∴a=3，∵顶点坐标是（0，2），∴y=3x故答案为：y=3x【点睛】本题考查了二次函数的解析式，掌握解析式与系数的关系是解决本题的关键．【变式2.4】已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________.【答案】4.【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.【详解】∵在y=−x2+4∴其图象开口向下，顶点坐标为（0，4），∴其最大值为4.故答案为：4.【点睛】熟记“二次函数y=ax2+k(a≠0)【考点3二次函数y=ax²+k图象的平移】【例3.1】将抛物线y=xA．y=x2+3 B．y=x2−3 【答案】A【分析】根据二次函数变化规律即可解答．【详解】解：∵抛物线y=x∴平移后的解析式为：y=x故选：A．【例3.2】下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是(

)A．y＝2x2与y＝3x2 B．y=12C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－2【答案】D【详解】解：A、两个抛物线的a不同，不能通过平移得到；B、两个抛物线的a不同，不能通过平移得到；C、两个抛物线的a不同，不能通过平移得到；D、两个抛物线的a相同，可以通过平移得到；故选D．【例3.3】将抛物线y=x2向下平移b（b>0）个单位长度后，所得新抛物线经过点【答案】3【分析】首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点1，【详解】解：将抛物线y=x2向下平移bb>0个单位长度后，所得新抛物线为∵新抛物线经过点1，∴−2=1−b,∴b=3．故答案为：3．【变式3.1】将二次函数y=2x【答案】y=2【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】解：二次函数y=2x2的图象向上平移3个单位长度后所得到的图象的解析式为故答案为：y=2x【变式3.2】把抛物线y=x2−1【答案】3【分析】根据抛物线的平移规则，上加下减，进行求解即可．【详解】解：∵y=x∴把抛物线y=x2−1向上平移3故答案为：3模块二模块二二次函数y=a（x-h)²的图象与性质二次函数y=a（x-h)²的图象与性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标增减性y=a（x-h)²a＞0开口向上x=h(h,0)a＞0在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大a＜0开口向下a＜0在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小【考点1二次函数y=a（x-h)²的图象】【例1.1】抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】C【分析】根据顶点式写出顶点坐标，开口向上，进而即可求得的答案【详解】解：∵y＝2（x+1）2，a=2>0开口向上，顶点坐标为−1,0∴该函数不经过第三、四象限如图，故选C【点睛】本题考查了y=a(x−ℎ)【例1.2】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax−ℎ2a≠0A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次函数y=ax−ℎ2a≠0的顶点坐标为ℎ,0【详解】解：二次函数y=ax−ℎ2a≠0的顶点坐标为ℎ,0故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标．【例1.3】已知函数y=4x2，y=4x+1(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y=4x2的图象得到函数y=4x+1(4)分别说出各个函数的性质．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)y=4x+12由抛物线y=4x2向左平移1个单位，(4)见解析【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象；（2）根据二次函数的性质可进行求解；（3）根据二次函数的平移可进行求解；（4）根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：y=4x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为y=4x+12开口向上，对称轴为x=−1，顶点坐标为y=4x−12开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（3）解：y=4x+12由抛物线y=4x2向左平移1个单位，（4）解：y=4x2当x<0时y随着x的增大而减小，当x>0时y随着y=4x+12当x<−1时y随着x的增大而减小，当x>−1时y随着y=4x−12当x<1时y随着x的增大而减小，当x>1时y随着【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【变式1.1】对于函数y=−2x−m2的图像，下列说法不正确的是（A．开口向下 B．对称轴是x=m C．最大值为0 D．与y轴不相交【答案】D【分析】根据二次函数系数与图像关系进行判断即可．【详解】解：函数y=−2x−m2的图像是开口向下的抛物线，最大值为0，对称轴为直线x=m，图像与故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与图像的关系，根据二次函数解析式的系数判断图像的特征是解题关键．【变式1.2】（1）先填表，并在同一直角坐标系中画出二次函数y=x2和x-3-2-10123y=__________________________________________y=__________________________________________（2）分别写出它们顶点坐标．【答案】（Ⅰ）见解析；（2）二次函数y=x2的顶点坐标为(0,0)，y=【分析】（1）列表，描点，连线画出图象即可；（2））根据二次函数图象即可写出顶点坐标；【详解】解：（1）列表：x-3-2-10123y=9410149y=41014916在同一直角坐标系中画出二次函数y=x2和（2）二次函数y=x2的顶点坐标为y=(x+1)2的顶点坐标为【点睛】本题考查了二次函数图象，利用描点法得出函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键【变式1.3】在同一直角坐标系中，画出二次函数y=−12x2、抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性y=−y=−y=−【答案】见解析【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数y=−12x2、先列表：x…−3−2−10123…y=−…−−2−0−−2−…y=−…−2−0−−2−−8…y=−…−8−−2−0−−2…描点、连线，画出这三个函数的图象:根据所画图象，填写下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性y=−开口向下y轴(0,0)当x<0时，y随x的增大而减大；当x>0时，y随x的增大而增小．y=−开口向下x=−1(−1,0)当x<−1时，y随x的增大而减大；当x>−1时，y随x的增大而增小．y=−开口向下x=1(1,0)当x<1时，y随x的增大而减大；当x>1时，y随x的增大而增小．【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键．【考点2二次函数y=a（x-h)²的性质】【例2.1】下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描述正确的是()A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＜0时，y随x的增大而增大C．当x＞－4时，y随x的增大而减少D．当x＜－4时，y随x的增大而减少【答案】D【详解】试题分析：由函数表达式可以得到函数的对称轴是x=-4，抛物线开口向上，所以当x<-4时，y随的增大而减小，当x>-4时，y随x的增大而增大．故选D.【例2.2】已知函数y=−x−22的图象上有A−1，y1，A．y1<y2<y3 B．y1<【答案】B【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．【详解】解：函数y=−x−22的对称轴为直线点A到对称轴的距离为−1−2=3点B到对称轴的距离为1−2=1点C到对称轴的距离为4−2=2∵1<2<3，∴y1故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大．【变式2.1】关于二次函数y=−2x−3A．开口方向向下，顶点坐标为(0，3)B．当x＝3时，函数有最大值0C．当x＜3时，y随x的增大而减小D．开口方向向下，对称轴为y轴【答案】B【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．【详解】解：∵y=−2x−3∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，0），故选项A、D错误；∴x＜3时，y随x增大而增大，故选项C错误；x＝3时，y取最大值为0，故选项B正确，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．【变式2.2】抛物线y=2x−22的顶点在（A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限【答案】A【分析】根据抛物线的解析式可得出顶点坐标为2,0，由此即可得．【详解】解：抛物线y=2x−22的顶点坐标为2,0，在故选：A．【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键．【变式2.3】下列抛物线的对称轴是直线x=1的是（

），A．y=x2+1 B．y=x2−1【答案】C【分析】根据二次函数的性质解答即可得．【详解】解：A、y=x2+1B、y=x2−1C、y=x−12对称轴为D、y=x+12对称轴为故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练根据顶点式得出二次函数的性质．【考点3二次函数y=a（x-h)²图象的平移】【例3.1】将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_____．【答案】(2，－5)【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解．【详解】抛物线y=(x－1)2－5的顶点为（1，-5），∴关于y轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5），故答案为：(2，－5)．【点睛】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．【变式3.1】抛物线y=a(x−ℎ)2与抛物线若h＞0，抛物线y=ax2向____平移h个单位就得到抛物线若h＜0，，抛物线y=ax2向____平移|h【答案】右左模块三模块三课后作业1.若点P（-2，3）在二次函数y=ax+32的图象上，则a的值为（A．3 B．2 C．-3 D．-2【答案】A【分析】直接将点P坐标代入求解即可．【详解】解：∵点P（-2，3）在二次函数y=ax+3∴3=a−2+3解得：a=3，故选：A．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答的关键．2．对于二次函数y=x−22+1A．对称轴是直线x=−2 B．开口向下C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标2,1【答案】D【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及与x轴交点个数，则可得出答案．【详解】解：∵y=x−2∴抛物线开口向上，顶点坐标为2，1，对称轴为直线x=2∴A、B不正确，D正确，∵抛物线开口向上，最小值为1，∴抛物线与x轴没有交点，∴C不正确，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．点A2，y1、B3A．y1<0<y2 B．y2<0<【答案】C【分析】将A和B分别代入二次函数y=2x−12中求出y1【详解】解：∵点A2，y∴y1∵点B3，y∴y2∵0<2<8，∴0<y故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能计算出结果再比较是解题的关键．4．关于二次函数y=−34xA．抛物线开口向下B．对称轴为直线x=0C．顶点坐标为0,−1D．当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的性质依次判断．【详解】解：∵y=−3∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=0，顶点坐标为0,−1，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小，∴A，B，C正确，D错误，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数y=ax2+c5．抛物线y=12x+2A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在x轴上【答案】C【分析】根据二次函数的图象与各系数之间的关系即可解答．【详解】解：抛物线y=12x+22的开口向上，对称轴为直线抛物线y=−12x2+2∵二次项系数决定抛物线的开口方向和形状，∴抛物线y=12x+2故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象与各系数的关系是解题关键．6．二次函数的y=3(x−2)A． B．C． D．【答案】D【分析】根据解析式y=3(x−2)2，a=3>0，可得图像开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为【详解】解：∵y=3(x−2)2，∴图像开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,0)，故选：D．【点晴】本题考查了二次函数的图像，熟练记住图像与系数的关系是关键．7．已知二次函数y=ax2−2的图象经过点(1,−3)【答案】−1【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．【详解】解：∵二次函数y=ax2−2∴−3=a−2，解得：a=−1．故答案为：−1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．8．若点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，则m______n（填大小关系）【答案】＞【分析】抛物线开口向下，且对称轴为y轴，根据二次函数的性质即可判定．【详解】解：∵二次函数的解析式为y=-x2+20，∴该抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，-1＞-2，∴m＞n．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．9．请写出一个开口向上，经过点0,4的抛物线的解析式__________．【答案】y=x【分析】根据开口向上和过点0,4，可知二次项系数大于0，与y轴交于0,4，即可写出解析式；【详解】根据函数开口向上和过点0,4可得：y=x故答案为：y=x【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解，熟练运用二次函数的顶点式是解题的关键．10．抛物线y=x2−2在y轴的左侧部分，y【答案】减小【分析】先求出该抛物线的对称轴，再根据其开口方向和增减性，即可进行解答．【详解】解：该抛物线的对称轴为直线x=−b即该抛物线的对称轴为y轴，∵a=1>0，抛物线开口向上，∴在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而减小．故答案为：减小．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是掌握a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．11．已知二次函数y=x−12，当0≤x≤3【答案】0≤y≤1【分析】先求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：y=x−12的对称轴为直线x=1，当x=1时，y最小为0，又∵0≤x≤3∴x=0时，y最大为1∴0≤y≤1故答案为：0≤y≤1．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．12．二次函数y=2x+1【答