新教材适用2024-2025学年高中数学第8章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积素养作业新人教A版必修第二册

第8章8.38.3.2A组·素养自测一、选择题1．圆锥的轴截面是正三角形，那么，它的侧面积是底面积的(D)A．4倍 B．3倍C.eq\r(2)倍 D．2倍[解析]设该圆锥轴截面正三角形的边长为2r，则圆锥的底面圆半径为r，母线长为2r，故S底＝πr2，S侧＝eq\f(1,2)·2πr·2r＝2πr2，所以S侧＝2S底，即侧面积是底面积的2倍．故选D.2．已知一个圆柱的表面积等于侧面积的eq\f(3,2)，且其轴截面的周长为16，则该圆柱的体积为(B)A．8π B．16πC．27π D．36π[解析]设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2πr2＋2πrl＝\f(3,2)·2πrl,4r＋2l＝16))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝4,r＝2)).所以该圆柱的体积为V＝π×22×4＝16π.3．圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2cm，下底面半径为3cm，圆台母线长为4cm，则该圆锥的侧面积为(B)A．28πcm2 B．36πcm2C．42πcm2 D．48πcm2[解析]如图所示：圆台的上底面半径为r1＝2cm，下底面半径为r2＝3cm，圆台母线长为l＝4cm，则eq\f(PA,PA＋4)＝eq\f(2,3)，解得PA＝8cm，所以圆锥母线长为PB＝PA＋4＝12cm，所以该圆锥的侧面积为S侧＝π×3×12＝36πcm2.故选B.4．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(C)A.eq\f(8π,3) B．eq\f(32π,3)C．8π D．eq\f(8\r(2)π,3)[解析]设球的半径为R，则截面圆的半径为eq\r(R2－1)，∴截面圆的面积为S＝π(eq\r(R2－1))2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.5.如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精致，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明白周王朝以德治国的理念，何尊的形态可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为(D)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中π的值取3，V圆台＝\f(1,3)S上＋S下＋\r(S上S下)h))A．11280cm3 B．12380cm3C．12680cm3 D．12280cm3[解析]由题意得圆柱的高约为40－16＝24(cm)，则何尊的体积V＝V圆台＋V圆柱＝eq\f(π,3)×(142＋92＋14×9)×16＋π×92×24≈12280(cm3)，故选D.二、填空题6．已知某圆锥的侧面积为12π，其侧面绽开图是半圆，则该圆锥的体积为6eq\r(2)π.[解析]某圆锥的侧面积为12π，其侧面绽开图是半圆，设半圆的半径为r，所以12π＝eq\f(πr2,2)，所以r＝2eq\r(6)，因为半径r即为圆锥母线长l，设圆锥底面圆半径为R，则πRl＝12π，所以底面半径R＝eq\r(6)，所以圆锥的高为eq\r(2\r(6)2－\r(6)2)＝3eq\r(2)，故圆锥的体积为eq\f(1,3)×π×(eq\r(6))2×3eq\r(2)＝6eq\r(2)π.故答案为6eq\r(2)π.7．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是eq\r(3,2).[解析]设大球的半径为R，则有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，所以R＝eq\r(3,2).8．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为4π，9π，该圆台的体积为38π，则该圆台的高为_6__.[解析]圆台的体积V＝eq\f(1,3)h(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)＝eq\f(1,3)h(4π＋eq\r(4π×9π)＋9π)＝38π，得h＝6.所以该圆台的高为6.故答案为6.三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解析]该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq\r(3)的圆柱，求圆柱的表面积．[解析]设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).如图所示易知△AEB∽△AOC，∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(r,2)，∴r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2eq\r(3)π.∴S＝S底＋S侧＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.B组·素养提升一、选择题1．有粟若干，积累在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积应为多少粟？如图，主子意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸(单位换算：1立方丈＝106立方寸)，一斛粟米卖324钱，一两银子1000钱，则主子卖后可得银子(D)A．200两 B．400两C．432两 D．480两[解析]由底面圆的周长为12丈，高为1丈，得底面半径r＝eq\f(12,2π)≈eq\f(12,2×3)＝2(丈)，则体积V＝eq\f(1,3)×πr2×h≈eq\f(1,3)×3×22×1＝4(立方丈)＝4×106(立方寸)，故主子卖粟后可得银子为eq\f(4×106,2700)×eq\f(324,1000)＝480两．2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为(A)A．16π B．20πC．24π D．32π[解析]设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝eq\f(1,3)a2h＝a2＝6，得a＝eq\r(6).由题意知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(eq\r(3))2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.3.如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为(C)A．7πcm2 B．8πcm2C．9πcm2 D．11πcm2[解析]由题图知该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，圆柱的底面直径与半球的直径均为2cm，圆柱的高为3cm，故圆柱一个底面的面积为π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2＝π(cm2)，圆柱的侧面积为2×π×3＝6π(cm2)，半球面面积为eq\f(1,2)×4×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2＝2π(cm2)，故该几何体的表面积为S＝π＋6π＋2π＝9π(cm2)．二、填空题4.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好沉没最上面的球(如图所示)，则球的半径是4cm.[解析]设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r＝8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3，即2r＝8，所以r＝4cm.5．中国古代数学的珍宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1＝3，底面扇环所对的圆心角为eq\f(π,2)，弧AD长度是弧BC长度的3倍，CD＝2，则该曲池的体积为_6π__.[解析]不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍，底面扇环所对的圆心角为eq\f(π,2)，所以eq\f(π,2)R＝3×eq\f(π,2)r，即R＝3r，CD＝R－r＝2r＝2，所以r＝1，R＝3.故该曲池的体积V＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)R2－\f(π,4)r2))×AA1＝eq\f(π,4)×(R2－r2)×3＝6π.故答案为6π.三、解答题6．已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径．[解析]如图，设SO1是四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO1上．设外接球半径为R.∵四面体的棱长为a，O1为正△ABC中心，∴AO1＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，SO1＝eq\r(SA2－AO\o\al(2,1))＝eq\r(a2－\f(1,3)a2)＝eq\f(\r(6),3)a，在Rt△OO1A中，R2＝AOeq\o\al(2,1)＋OOeq\o\al(2,1)＝AOeq\o\al(2,1)＋(SO1－R)2，即R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a－R))2，解得R＝eq\f(\r(6),4)a，∴所求外接球体积V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(\r(6),8)πa3.∴OO1即为内切球的半径，OO1＝eq\f(\r(6),3)a－eq\f(\r(6),4)a＝eq\f(\r(6),12)a，∴内切球的半径为eq\f(\r(6),12)a.C组·探究创新如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体A1B1C1D1－ABCD，设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1－ABCD的体积为V，AB＝x.(1)将S表达为x的