2024-2025学年高考数学一轮复习解题技巧方法第一章第2节二次型分式函数求最值教师版

二次型分式函数求最值学问与方法我们把、、统称为“二次型分式函数”，这些函数求最值的方法是类似的，通常有均值不等式法、判别式法、求导法等，下面通过例题具体分析这些方法是如何运用的.典型例题【例题】函数的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令，则，，所以，当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为3.解法2（判别式法）：将变形为，整理得：①，将式①看出关于的一元二次方程，其判别式，解得：或，因为，所以，，从而，故，留意到当时，，所以函数的最小值为3.解法3（求导法）：设，则，所以，，从而在上，在上，故.【答案】3变式1函数的最大值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令，则，，所以，当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最大值为.解法2（判别式法）：将变形成，整理得：①，当时，把①看成关于的一元二次方程，其判别式，解得：，留意到当时，，所以函数的最大值为.解法3（求导法）：设，则，所以，，从而在上，在上，故.【答案】变式2函数的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，，令，则，，且，当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为.解法2（判别式法）：将变形为，整理得：，当时，将该方程看成关于x的一元二次方程，其判别式，解得：，留意到当时，，所以函数的最小值为.解法3（求导法）：设，则，所以，，从而在上，在上，故.【答案】【反思】从上面的几个例子可以看到，、、这三种“二次型分式函数”求最值的方法是类似的，在三种方法的选择上，一般首选均值不等式法，判别式法和求导法作为备选方案.变式3函数的最大值为________.【解析】设，则，，且，当且仅当，即时取等号，此时，所以函数的最大值为.【答案】变式4函数的最大值为________.【解析】设，则，，且，易得函数在上，所以，故函数的最大值为.【答案】强化训练1.（★★）函数的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设，则，，且，当且仅当，即时取等号，此时，所以函数的最小值为4.解法2（判别式法）：将变形成，整理得：①，将式①看成关于的一元二次方程，则其判别式，所以或，因为，所以，从而，留意到当时，，所以函数的最小值为4.解法3（求导法）：设，则，所以，，从而在上，在上，故.【答案】42.（★★）函数在上的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设，则，因为，所以，且，当且仅当，即时取等号，此时，所以函数在上的最小值为1.解法2（判别式法）：将变形成，整理得：①，将式①看成关于的一元二次方程，则其判别式，解得：或，因为，所以，，从而，故，留意到当时，，所以函数在上的最小值为1.解法3（求导法）：设，则，所以，，从而在上，在上，故.【答案】13.（★★★）函数的值域为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，，当时，；当时，，易求得或，所以或，从而或，所以或，综上所述，函数的值域为.解法2（判别式法）：，整理得：①，当时，；当时，方程①可以看成关于的一元二次方程，则其判别式，解得：，综上所述，函数的值域为.【答案】4.（★★★）函数的最大值为________.【解析】设，则，因为，所以，当时，；当时，，当且仅当，即时等等号，此时，所以函数的最大值为.【答案】5.（★★★）函数的最大值为________.【解析】设，则，且，当且仅当，即时取等号，此时