2025版高考数学一轮总复习9.3双曲线及其性质习题

.3双曲线及其性质基础篇固本夯基考点一双曲线的定义及标准方程1.(2024天津,7,5分)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,A.x24-y24=1B.xC.x24-y2=1D.x2-y答案D2.(2024浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满意|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34-x2图象上的点,则|OP|=(A.222B.4105C.7答案D3.(2024豫南九校4月联考,7)若双曲线mx2-4y2=4的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线的左支于A,B两点,若△AF2B的周长是18,|AB|=5,则实数m=()A.1B.2C.3D.4答案A4.(2024天津理,7,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+dA.x24-y212=1B.C.x23-y29=1D.答案C5.(2024云南师大附中第六次月考,9)设F1,F2是双曲线C:x24-y23=1的两个焦点,点P在双曲线C上,P在x轴上的射影Q位于线段F1F2上,且|PQ|2=|F1Q|·|F2Q|,则|PF1|+|PF2|=A.4B.6C.210D.40答案C6.(2024届河南平顶山月考,11)已知F1、F2为双曲线x2-y23=1的左、右焦点,P为双曲线右支上异于顶点的随意一点,若A为△PF1F2内切圆上一动点,当AF1的最大值为4时,△PF1F2的内切圆半径为(A.34B.12C.78答案C7.(2024南昌一模,11)很多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学给予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑,图2是其中截面最细旁边处的部分图象,上、下底面与地面平行.现测得下底直径AB=2010米,上底直径CD=202米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为()A.10米B.20米C.103米D.105米答案B8.(2024届甘肃靖远开学考,15)已知双曲线C:x24-y2m=1(m>0)的渐近线方程为y=±2x,F1、F2分别是C的左、右焦点,P为C右支上一点.若|PF1|=m-1,则△PF1F答案226考点二双曲线的几何性质1.(2024届甘肃嘉峪关第一中学开学考,3)假如双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为5+12,那么称该双曲线为黄金分割双曲线,简称为黄金双曲线.现有一黄金双曲线C:x2A.2B.4C.2D.22答案D2.(2024届陕西渭南月考,5)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点到它的一条渐近线的距离为4,且焦距为10,A.43B.85C.53答案C3.(2024届云南大理模拟,5)双曲线x2a2-y22=1(a>0)的离心率为62,过双曲线右焦点F作一条直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为A,设OA.1B.2C.2D.4答案C4.(2024全国甲,5,5分)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为()A.72B.132C.7答案A5.(2024天津,5,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点A.2B.3C.2D.5答案D6.(2024课标Ⅱ,8,5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,A.4B.8C.16D.32答案B7.(2024课标Ⅲ,10,5分)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为A.324B.322C.2答案A8.(2024课标Ⅲ,11,5分)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2A.1B.2C.4D.8答案A9.(2024课标Ⅰ,11,5分)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(A.32B.3C.23答案B10.(2024届广西玉林第十一中学月考,10)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2,在双曲线上存在点P满意2|PF1+PF2|≤A.1<e≤2B.e≥2C.1<e≤2D.e≥2答案B11.(2024届新疆克拉玛依模拟,10)已知F为双曲线M:x2-y2b2=1(b>0)的左焦点,圆Q:(x-3)2+y2=6与双曲线M的渐近线有且仅有2个不同的公共点,则下列说法正确的是A.点F到渐近线的距离为6B.双曲线M的渐近线方程为x±2y=0C.双曲线M的虚轴长为2D.双曲线M的离心率为3答案D12.(2024届江西景德镇模拟,9)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),直线l过双曲线的右焦点且斜率为ab,直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于M、N两点(M点在x轴的上方),且|A.2B.233C.2答案B13.(2024河南、山西4月联考,10)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上的一点,若线段PF1与y轴的交点M恰好是线段PF1的中点,MF1·MO=14b2A.y=±12xB.y=±xC.y=±3x答案B14.(2024长春第一次质检,11)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与斜率为4的直线相交于A、B两点,且弦AB的中点为(2,1),A.2B.3C.2D.5答案B15.(2024全国乙,13,5分)已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为答案416.(2024课标Ⅰ,15,5分)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为答案217.(2024届陕西洛南中学月考,16)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),过F1的直线l与圆C:x-12c2+y2=c24相切,与双曲线在第四象限交于一点M,且有MF答案-24考点三直线与双曲线的位置关系1.(2024届广东省试验中学月考,3)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是()A.-153,C.-153,0答案D2.(2024届河北大名一中月考,8)过点A(1,1)作直线l与双曲线x2-y22=1交于P,Q两点,使得A是PQ的中点,则直线l的方程为(A.2x-y-1=0B.2x+y-3=0C.x=1D.不存在答案D3.(2024届合肥第六中学开学考,11)已知双曲线x2a2-y2b2=1的左,右焦点为F1,F2,过F2的直线交双曲线于M,N两点(M在第一象限),若△MF1F2与△NF1F2的内切圆半径之比为3∶2,A.6B.26C.3D.23答案B4.(2024届河南省试验中学期中,20)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,双曲线的C的右顶点A在圆O:x2+y2=1上(1)求双曲线C的标准方程;(2)动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M、N,问△OMN(O为坐标原点)的面积是不是定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.解析(1)设F1(-c,0),F2(c,0),因为A(a,0),所以AF1=(-c-a,0),AF2=(c-a,0),又AF1·AF2=a2-c2=-1,且a2+b2=c2,所以b=1,由题意得a=1,所以双曲线C的标准方程为x(2)由题意知,当动直线l的斜率不存在时,l:x=±1,MN=2,S△OMN=12×1×2=1.当动直线l的斜率存在时,且斜率k≠±ba=±1,不妨设直线l:y=kx+m,联立y=kx+m,xΔ=(-2mk)2-4(1-k2)(-m2-1)=0,化简得k2=m2+1,不妨令直线l与双曲线C的渐近线方程为y=x交于点M,联立y=kx+m,y=x⇒x=m1-k,y=m1-k,故点Mm1-k,m1-k,同理可得,N-m1+k,m1+k,所以|MN|=m1-综上,△OMN的面积是为定值,定值为1.综合篇知能转换考法一求双曲线的标准方程1.(2024山西晋城一模,10)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A1(-a,0),A2(a,0),P,Q的坐标分别为(0,b),(0,-b),且四边形A1PA2Q的面积为22,四边形A1PA2Q内切圆的周长为26A.x22-y2=1B.x2-y22=1或C.x24-y22=1D.x2-y22答案B2.(2024四川南充二模,10)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=233,右焦点为F,点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点,∠AOF=∠OAF,△AOF的面积为3A.x236-y212=1B.C.x29-y23=1D.答案C3.(2024呼和浩特二模,15)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(3,10),其左焦点为F1,过F1的直线l与C的左支交于点P,Q,点M在y轴上,且PM·QM=0,PQ=-4OM,O为坐标原点答案x24-4.(2024届河南部分重点中学月考,14)定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线过点(2,4),则C的共轭双曲线的标准方程为答案y2-x25.(2024新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-17,0),F2(17,0),点M满意|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=12上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和解析(1)由题意知|F1F2|=217,因为|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=217,所以结合双曲线定义知,点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的双曲线的右支.设其方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,x≥a),则2a=2,2c=217,解得a=1,c=17,则b2=c2-a2=(17)2-12=16,所以M的轨迹C的方程为x如图,设T12,m,直线AB的方程为y-m=k由y得(16-k12)x2+(k12-2k1m)x-14设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=k12-2k1mk则|TA|=1+k12所以|TA|·|TB|=(1+k12)x1-12·x2-设直线PQ的方程为y-m=k2x-同理得|TP|·|TQ|=(m因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,所以(m2+12)(1+所以1+k12k12-16=1+k22k22-16,即k12=k22,由题意知一题多解(2)设T12,m,直线AB的倾斜角为θ1,直线PQ的倾斜角为θ2,由题不妨设TA=t1·AB|AB|,TB=t2·AB|AB|,t1>0,t2>0,则设A(x,y),因为TA=t1·AB|AB|,所以x-12,y-m=t1(cosθ1,sinθ1),所以x=又因为点A在双曲线上,所以1612+t1cosθ12-(m+t1sinθ1)2=16,即(16cos2θ1-sin2θ1)t1同理可得(16cos2θ1-sin2θ1)t22+(16cosθ1-2msinθ1)t2-(m所以t1,t2即为方程(16cos2θ1-sin2θ1)t2+(16cosθ1-2msinθ1)t-(m2+12)=0的两个根,则|TA|·|TB|=t1t2=-(m同理|TP|·|TQ|=-(m结合|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得cos2θ1=cos2θ2,又因为AB与PQ是不同直线,所以cosθ1=-cosθ2,于是θ1+θ2=π,则kAB+kPQ=0,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.易错警示解答本题第(1)问时,简单出现所求C的方程为x2-y216=1的错误结果,从而致使第(2)问干脆考法二求双曲线的离心率(或其范围)(2024届湘豫名校联盟11月联考,9)如图,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F2作直线l交双曲线C的右支于A,B两点.若|AB|=|AF1|,且△F1AB∽△F2F1B,A.2B.15C.32答案A2.(2024届长春月考,11)设F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=7|OP|,A.5B.2C.3D.2答案B3.(2024届河南省试验中学11月月考,12)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P、Q,若点P是线段F1Q的中点,且QF1⊥QFA.6B.5C.2D.3答案C4.(2024课标Ⅲ,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,A.5B.2C.3D.2答案C5.(2024江西上饶重点中学摸底,10)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P(x0,y0)是双曲线右支上的一点,满意PF1·PF2=0,A.54,4C.477,答案C6.(2024河南安阳二模,12)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过第一、三象限的渐近线为l,过右焦点F作l的垂线,垂足为A,线段AF交双曲线于B,A.2B.3C.5D.6答案C7.(2024山西名校4月联考,11)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>