湖北省襄阳市2024-2025学年高一数学上学期期末试卷含解析

湖北省襄阳市第五中学2024-2025学年高一数学上学期期末试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由对数的单调性求得集合A，依据正弦函数性质求得集合，进而求其交集.【详解】由，可得，则又，所以.故选：A2.如图是杭州2024年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD长度是，弧BC长度是，几何图形ABCD面积为，扇形BOC面积为，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由条件可得，然后依据扇形的面积公式可得答案.【详解】设，则，所以，所以,故选：C3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】依据正弦函数的定义干脆计算即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，.故选：A4.已知函数，时，有唯一解，则满意条件的的个数是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】对ω进行分类探讨，当，通过可确定的范围，由，得到，从而得到，再依据ω∈Z，可得的值；当时,同理可得的值.【详解】当时,∵有唯一解，依据正弦函数的图象可得，解得又当时,解得,又,综上所述,故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的值时，利用函数图像求出的范围，即可求得值，属于中等题.5.已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据三角函数的定义求出，结合诱导公式即可得解，留意角所在的象限.【详解】解：因为角的终边上一点，所以，又，所以为第四象限角，所以，又因，所以.故选：C.6.，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数函数值的正负和正弦函数在上的单调性推断即可.【详解】因为,所以,可得,因,所以,可得,因为,又因为,由正弦函数在上的单调性知,，即.故选:A【点睛】本题考查利用三角函数函数值的正负和正弦函数的单调性比较大小;特别角三角函数值的运用和选取合适的临界值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.7.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，设函数，则函数的零点个数为（）A.6 B.8 C.12 D.14【答案】C【解析】【分析】依据函数奇偶性即可以得到函数为周期函数，把函数的零点个数转化成方程的根的个数，即在同一坐标系中和图像的交点个数.【详解】依题意可知，函数是定义在上的偶函数，且所以，，即函数是以2为周期的偶函数；令，即，在同一坐标系中分别作出和的图像如下图所示：由图像可知，两函数图像共有12个交点，即函数共由12个零点.故选：C.8.定义：表示不等式的解集中的整数解之和．若，，，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】干脆利用定义形函数的性质结合函数大致图象，进一步利用分类探讨思想和不等式的组的解法的应用求出结果．【详解】解：依据函数的定义可转换为满意的整数解的的和，当时，做出函数和的大致图象，如图所示：结合图形可得的解集中整数解的个数有多数个，不符合题意当时，，由，解得或．在内有3个整数解，即，所以，符合题意；当时，做出函数和的大致图象，如图所示：若，又，且，所以不等式的整数解为．只需满意，即，解得．综上，所以时，实数的取值范围为．故选：D．二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）9.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】依据对数函数、不等式的性质等学问确定正确答案.【详解】A选项，若，但没有意义，所以A选项错误.B选项，由于，所以B选项正确.C选项，若，则，但，所以C选项错误.D选项，由于，则，所以，D选项正确.故选：BD10.关于函数有如下四个命题，其中正确的是（）A.的图象关于y轴对称 B.的图象关于原点对称C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点(π，0)对称【答案】BCD【解析】【分析】求得的奇偶性推断选项AB；利用与是否相等推断选项C；利用与是否相等推断选项D.【详解】∵的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，∴为奇函数，其图象关于原点对称.故A错误，B正确；∵∴，∴的图象关于直线对称，故C正确；又，∴，∴的图象关于点(π，0)对称，故D正确．故选：BCD．11.设函数（，是常数，）若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（）A.的周期为B.的单调递减区间为C.的对称轴为D.的图象可由的图象向左平移个单位得到【答案】BD【解析】【分析】由于函数（，是常数，）若在区间上具有单调性，可得，由可得函数的一个对称中心和相邻和对称轴，即可得与的值，即可得函数的解析式，结合余弦型函数的周期性、单调性、对称性、图象变换逐项推断即可.【详解】解：函数，是常数，，，若在区间上具有单调性，则，．，则的图象关于点对称，的图象关于直线对称，，①，且，．两式相减，可得，故或（舍去）．当时，则由①可得，．综上，．故它的周期为，故A错误；令，求得，可得函数的减区间为，故B正确．令，求得，，故的对称轴为直线，，故C错误；由的图象向左平移个单位得到函数的图象，故D正确，故选：BD．12.已知函数的定义域为，且满意当时，，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，在单调递增C.当时，记函数与的图象在的个交点为，则D.当时，在上的值域为【答案】ACD【解析】【分析】确定函数周期为2，计算得到A正确，计算得到，B错误，计算函数的交点，相加得到C正确，依据函数的单调性，计算最值得到值域，得到答案.【详解】，当时，，函数周期为2，，A正确；当时，取，，，函数单调递减，B错误；，，当时，，函数简图如图所示，依据图像与图像交点分别为，，，，，故，C正确；当时，，，函数简图如图所示：，依据图像知，函数在和上单调递增，在上单调递减，，现考虑轴上每4个单位长度为一段的函数值，最大值依次变大，最小值依次变小，故只需考虑最终一段即可，，，故值域为，D正确.故选：ACD三、填空题（每小5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上13.已知,若函数有两个零点，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得与有两个交点，作出图象，结合图象即可得答案.【详解】解：令，则有，因为有两个零点，所以与有两个交点，作出的图象，如图所示：由此可得.故答案为：.14.已知函数和的图象完全相同，若，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.【详解】解：因为，所以，则.因为，所以，所以，所以.故答案为：.15.若，，且，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：由，得，因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为.

故答案为：.16.对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“美丽点”．已知，则曲线的“美丽点”个数为______．【答案】5【解析】【分析】由曲线与曲线交点个数即可得到曲线的“美丽点”个数.【详解】曲线的“美丽点”个数即曲线与曲线交点个数.由，可得，即，则，同一坐标系内作出（实线）与的图像（虚线）.由图像可得两函数图像共有5个交点，则曲线的“美丽点”个数为5故答案为：5四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分．）17设函数．（1）求函数的单调区间；（2）求不等式的解集．【答案】（1）的单调增区间为（2）【解析】【分析】（1）依据正切型函数的单调区间公式即可求解；（2）依据正切函数特点，利用整体思想即可求解.【小问1详解】令，解得，所以的单调增区间为，不存在单调减区间.【小问2详解】，所以，所以不等式的解集为，18.某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在肯定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y单位：毫克/立方米）随着时间x单位：小时）改变的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由试验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值，【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）将给定的数值代入相应的公式即可；（2）列出方程后，利用基本不等式求最小值即可.【小问1详解】一次喷洒4个单位的净化剂，浓度则当时，由，解得，此时.当时，由，解得，综合得.所以，若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时.【小问2详解】设从第一次喷洒起，经时，浓度，而，，故当且仅当时，有最小值为.令，解得，的最小值为.19.已知.（1）若角终边有一点，且，求m的值；（2）求函数的值域．【答案】（1）（2）的值域为【解析】【分析】（1）由三角函数的诱导公式即可化简，再由三角函数的定义即可求出的值；

（2）对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质及二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由题意可得，，可得，；【小问2详解】因为，所以，，因为，所以当时，，当时，，所以的值域为.20.已知函数图象的一个对称中心为，其中为常数，且．（1）求函数的解析式；（2）已知函数，若存在，均有，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】依据函数图象的一个对称中心为，由求解；（2）由，得到的值域A，由，得到的值域B，依据存在，均有，由求解.【小问1详解】解：因为函数图象的一个对称中心为，所以，则，即，又因为，所以，所以；【小问2详解】由，得，则，即；由，得，则，即，因为存在，均有，所以且，解得，所以实数m的取值范围．21.已知函数，．（1）求的值域；（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，再利用余弦函数的性质可求得函数的值域，（2）依据题意可得，令，则，然后依据对勾函数的性质可求得答案.【小问1详解】当时，，所以，所以，故的值域为．【小问2详解】由，得，因为，所以，所以，令，则，，由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，因为当时，，当时，，所以的最大值为，所以．因此的取值范围为．22.已知函数为定义域内的奇函数.（1）求的值；（2）设函数，若对随意，总存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据是奇函数，由特别值的函数值求得参数，再验证即可；（2）对