新高考2025届高考数学二轮复习专题突破精练第17讲函数中的两边逼近思想和最大值中的最小值问题教师版

第17讲函数中的两边靠近思想和最大值中的最小值问题一．选择题（共5小题）1．（2024春•湖州期末）若存在正实数，使得不等式成立，则A． B． C． D．【解答】解：记，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，．记，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．由题意，又因为，所以，故．另解：正实数，，，令，当时，；当时，，所以在上单调递减，上单调递增，所以（1），于是，于是，当且仅当时不等式取等号，又，当且仅当时不等式取等号，，所以且，解得，所以．故选：．2．（2024•上饶二模）已知实数，满意，则的值为A．2 B．1 C．0 D．【解答】解：不等式，化为，即，所以；设，，；则，所以时，，单调递增，时，单调递减，所以的最大值为（1）；又，所以时，，单调递减，时，单调递增，所以的最小值为；此时满意，即；令，解得，所以．故选：．3．（2024•杭州期末）设函数，若对随意的正实数，总存在，，使得，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解答】解：对随意的正实数，总存在，，使得，，．令，，函数在，单调递减，（1），（4）．①时，，则．②时，，，则．③时，，，则．④时，，则．综上①②③④可得：．实数的取值范围为，．故选：．4．设函数，若对随意的正实数和实数，总存在，，使得，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：设的最大值为（b），令，当，时，函数单调递减，．，．由，解得．①由，时，（b）；时，（b）．当时，（b）．②由，（b），（b）．③由时，，（b），（b）．综上可得：（b），．故选：．5．（2024•济南模拟）已知函数，若对随意的实数，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．，【解答】解：存在，，使得成立，，对随意的实数，，，；可看作横坐标相同时，函数与函数图象上点的纵向距离，则问题等价于求函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值；如图，记，，连接，则图中直线的斜率为，直线的方程为，设直线与直线平行，且与函数相切于点，，又，令，解得，切点，则切线的方程为，当直线与直线，平行且与两直线距离相等时，即恰好处于两直线正中间的位置时，函数与函数图象上点的纵向距离能取得最大值中的最小值，此时，此时，，．故选：．法二：记函数的最大值为，由题意可知，对随意，恒成立，所以，依题意，，，，，分别令，0，2，可得，，，，（2），所以，，，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以．故选：．二．填空题（共15小题）6．（2024春•长沙期末）设，若时，均有，则．【解答】解：当时，均有，（1）时，代入题中不等式，明显不成立．（2），构造函数，，它们都过定点．考查函数：令，得，，．考查函数，时均有，故的图象经过，代入得，，解之得：，或（舍去）．故答案为：．7．设，若时均有，则．【解答】解：（1）时，代入不等式，不等式明显不成立．（2），构造函数，，它们都过定点．考查函数，令，得，，因为，不等式成立；；考查函数，因为时均有，明显此函数过点，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案为：．8．（2015秋•江阴市期中）已知为常数，函数在区间，上的最大值为3，则1或3．【解答】解：函数的图象是由函数的图象纵向对折变换得到的，故函数的图象关于直线对称，则函数的最大值只能在或处取得，若时，函数取得最大值3，则，，当时，时，，满意条件；当时，时，，不满意条件；若时，函数取得最大值3，则，，或，当时，时，，不满意条件；当时，时，，满意条件；综上所述：值为1或3；故答案为：1或3．9．（2024•南通模拟）已知，函数在区间，上的最大值是2，则3或．【解答】解：，函数在区间，上的最大值是2，可得，即，解得，即有，，由的最大值在顶点或端点处取得，即，即，解得或（舍去）；（1），即，解得或；，即，解得或（舍去）．当时，，当时，，不符题意；当时，，明显当时，取得最大值4，不符题意；当时，，明显当时，取得最大值2，符合题意；当时，，（1），，，符合题意．故答案为：3或．10．（2024•下城区校级月考）设函数，，，当，时，，且的最大值为2，则2．【解答】解：由已知得在，上是增函数，则（1），由，可得，解得；再由，可得，结合，，，，时，，恒成立．设，其图象的对称轴为，，，解得，，，故答案为：211．（2024春•西湖区校级期中）若，是实数，是自然对数的底数，，则．【解答】解：，（当时取等号），，，此时时取等号，，（当时取等号），，此时取等号，又，，故有且同时成立，解可得，，，此时．故答案为：12．（2024•北仑区校级期中）已知，为实数．不等式对一切实数都成立，则5．【解答】解：不等式对一切实数都成立，可得，由，当或4时，取得等号，即最小值为0，所以，但，所以，则，，即，，所以，故答案为：5．13．函数，，，当时，，且的最小值为2，则．【解答】解：；在，上单调递增；的最小值为；．故答案为：．14．（2024•浙江二模）设，若对于，，都成立，则．【解答】解：，设，，，，，则函数等价，，，若于，，都成立，即于，，都成立，即恒成立，设，要使，不等式恒成立，则函数的对称轴，即，即，此时，则抛物线开口向上，要使恒成立，则函数，且，当或2时，（1），即，当时，，即，即，故答案为：．15．（2024•浦东新区校级月考）设函数，若对随意的正实数和实数，总存在，，使得，则实数的取值范围是．【解答】解：设的最大值为（a），令，，当，时，函数单调递减，可得，由，可得．①当时，，（a）；②当时，，可得（a）；③当时，，可得（a）；综上可得，当时，（a），所以．故答案为：，．16．设函数，，，若对随意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是．【解答】解：设的最大值为（b），令，则在，上，当时，即时，单调递增，此时，当时，（b），当时，（b），从而当时，时，（b）取最小值，（b），当时，在，上单调递增，在，上单调递减，在，时，，当时，（b），在，时，，当时，（b），对随意实数，，总存在实数，使得不等式成立等价于恒成立，，故的最大值为，故答案为：17．（2024•诸暨市二模）已知函数在区间，内的最大值为，，为常数）且存在实数，，使得取最小值2，则2．【解答】解：函数是二次函数，函数在区间，内的最大值为在端点处或处取得．若在处取得，则，若在处取得，则，若在处取得，则．若，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合要求，若则顶点处的函数值的肯定值大于2，不成立．由此推断，即有，则，可得．故答案为：2．18．（2024春•温州期中）设函数，若对随意的实数，，总存在使得成立，则实数的取值范围是．【解答】解：函数可理解为函数与函数横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，作出的图象如图所示，由图象可知，当位于直线与直线正中间时，函数取得最大值中的最小值，直线的方程为（2），因为是对勾函数，由对勾函数的性质，可得直线的方程为（1），所以，因为对随意的实数，，总存在使得成立，则，所以实数的取值范围是．故答案为：．19．（2024•包河区校级期末）设函数，对于随意的实数，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是．【解答】解：对于随意的实数，，总存在，，使得成立，设的最大值为，可得，（2），（4），即有①，②，③，②可得，④①③可得，即有，⑤④⑤可得，由，可得，可得，故答案为：．20．（2024•台州期末）已知函数，当，时，设的最大值为，则的最小值为．【解答】解：函数，当，时，设的最大值为，可得，，，可得，，，，即，即有，则的最小值为，故答案为：．三．解答题（共4小题）21．已知函数，，．若对随意，，总有成立，求，的值．【解答】解：由题意，若对随意，，总有成立，若对随意，，总有成立，若对随意，，总有成立，若对随意，，总有成立，可得函数夹在函数和之间，经过点，，设经过，两点的直线，解得，，此时直线，且它与相切，所以，是被和夹死的唯始终线，所以，．22．（2024•湖州模拟）已知函数．（Ⅰ）若在，上的最大值和最小值分别记为（a），（a），求（a）（a）；（Ⅱ）设，若对，恒成立，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），①当时，在，单调递减，则（a），（a）（1），此时（a）（a）；②当时，在，单调递增，则（a）（1），（a），此时（a）（a）；③当时，，此时在，单调递减，在，单调递增，则（a）（a），（a），（1），，此时（a）（a）；因此（a）（a），（Ⅱ）原问题等价于，由（Ⅰ）知①当时，则，即，此时；②当时，则，即，此时，此时；③当时，则（a）（a），，即，此时；由得和，此时，因此．23．（2015•浙江校级模拟）设函数，，．（1）当，时，写出函数的单调区间；（2）当时，记函数在区间，上的最大值为（b），当改变时，求（b）的最小值；（3）若对随意实数，，总存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1），，，，由基本初等函数的单调性易知，的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）当时，，令，则，由，即时，单调递增；，即时，单调递减可知，在区间，上，当时，，此时函数在区间，上的最大值为（b），当时，，此时函数在区间，上的最大值为（b）当时，（b）取最小值，最小值为．（3）设的最大值为（b），令，则在，上，当，即时，单调递增，此时，当时，（b），当时，（b），从而当时，时（b）取最小值，（b），当时，在，上单调递增，在，上单调递减，在时，，当时，（b），在时，，当时，（b），综上所述，（b），对随意实数，，总存在实数，使得不等式成立等价于恒成立，．24．（2024春