新人教版高中数学必须第二册第六章平面向量及其应用导学学案

平面向量的概念

学习重难点学习目标核心素养

了解平面向量的实际背景，理解平面向

平面向量的相关概念数学抽象

量的相关概念

掌握向量的表示方法，理解向量的模的

平面向量的几何表示数学抽象

概念

理解两个向量相等的含义以及共线向量

相等向量与共线向量数学抽象、逻辑推理

的概念

【学习过程】

一、问题导学

预习教材P2—P4的内容，思考以下问题：

1.向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

2.怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

3.两个向量（向量的模）能否比较大小？

4.如何判断相等向量或共线向量？向量牯与向量或是相等向量吗？

二、合作探究

探究点1：

向量的相关概念

例1：给出下列命题：

①若通=氏,则A,B,C,。四点是平行四边形的四个顶点；

②在中，一定有油=成；

③若a=A,b=c,则a=c.

其中所有正确命题的序号为.

解析：磋=a,A,B,C,。四点可能在同一条直线上，故①不正确；在中，|曲

|=|Dt|,牯与成平行且方向相同，故息=况，故②正确；a=b,则⑷=步|,且Q与。的方向

相同；b=c,则向=|c|,且力与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a=c,故③

正确.

答案：②③

探究点2：

向量的表示

例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1）,用直尺和圆规画出下列向量:

（1）0X,使|3|=4啦，点A在点。北偏东45。方向上；

（2）Ah,使|砌=4,点8在点A正东方向上；

（3）Bt,使|觉|=6,点C在点8北偏东30。方向上.

解：（1）由于点A在点O北偏东45。方向上，所以在坐标纸上点A距点。的横向小方格

数与纵向小方格数相等.又|以|=4啦，小方格的边长为1,所以点A距点。的横向小方格数

与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定，画出向量浪，如图所示.

（2）由于点8在点A正东方向上，且|曲|=4,所以在坐标纸上点8距点A的横向小方格

数为4,纵向小方格数为0,于是点8的位置可以确定，画出向量感，如图所示.

（3）由于点C在点8北偏东30。方向上，且|觉|=6,依据勾股定理可得，在坐标纸上点

C距点8的横向小方格数为3,纵向小方格数为34=5.2,于是点。的位置可以确定，画出向

量炭1,如图所示.

探究点3：

共线向量与相等向量

例3：如图所示，。是正六边形A3CDEF的中心，且SA=a,O^=b,在每两点所确定的

向量中.

（1）与。的长度相等、方向相反的向量有哪些？

（2）与a共线的向量有哪些？

解：（1）与a的长度相等、方向相反的向量有仍，Bt,Ab,Fk.

(2)与a共线的向量有戏，Bt,Ob,Ft,Ch,Db,Ab,DX,Ab.

互动探究

1.变条件、变问法：本例中若龙=c,其他条件不变，试分别写出与a,b,c相等的向

量.

解：与a相等的向量有毋，Dt),逸；与方相等的向量有戊，Eb,苗；与c相等的向量

有劭，Eb,晶.

2.变问法：本例条件不变，与劝共线的向量有哪些？

解：与劝共线的向量有防，Bt,ob,Ft,ch,Db,Ab,DX,ok.

三、学习小结

1.向量的概念及表示

(1)概念：既有大小又有方向的量.

(2)有向线段

①定义：具有方向的线段.

②三个要素：起点、方囱、长度.

③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、8为终点的有向线段

记作曲.

④长度：线段A3的是度也叫做有向线段油的长度，记作曲.

(3)向量的表示

■名师点拨

(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素.

(2)用有向线段表示向量时，要注意感的方向是由点A指向点8,点A是向量的起点，

点8是向量的终点.

2.向量的有关概念

(1)向量的模(长度)：向量超的大小，称为向量息的长度(或称模)，记作®1.

(2)零向量：长度为。的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

3.两个向量间的关系

(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量.若a,力是平行向量，记

作■a//b.

规定：零向量与任意向量平行,即对任意向量。，都有0〃”.

（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量,若）是相等向量，记作4=4

■名师点拨

（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别.

（2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同.

（3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.

四、精炼反馈

1.如图，在%BCD中，点E,尸分别是4?,CD的中点，图中与版平行的向量的个数为

（）

AER

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C.图中与金平行的向量为理，Fb,危共3个.

2.下列结论中正确的是（）

①若a〃、且|a|=|例，则a=b；

②若a=b,则a〃。且同=|加；

③若。与方方向相同且|a尸血，则a=A；

④若。孙，则a与下方向相反且|a罔加.

A.①③B.②③

C.③④D.②④

解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a,8可能反向；②③正

确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等.

3.已知。是正方形ABCO对角线的交点，在以0,A,B,C,。这5点中任意一点为起

点，另一点为终点的所有向量中，写出：

（1）与配相等的向量；

（2）与防长度相等的向量；

（3）与用共线的向量.

解：画出图形，如图所示.

(1)易知3C〃A。，BC=AD,

所以与反1相等的向量为At).

(2)由。是正方形A3CD对角线的交点知OB=OD=OA=OC,

所以与防长度相等的向量为劭，ot,cb,oX,Ab,ob,Db.

(3)与力A共线的向量为At),泥，cb.

平面向量的应用

【第一学时】

学习重难点学习目标核心素养

会用向量方法解决平面几何中的

向量在平面几何中的应用平行、数学建模、逻辑推理

垂直、长度、夹角等问题

会用向量方法解决物理中的速

向量在物理中的应用数学建模、数学运算

度、力学问题

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1.利用向量可以解决哪些常见的几何问题？

2.如何用向量方法解决物理问题？

二、合作探究

探究点1：

向量在几何中的应用

角度一：平面几何中的垂直问题

tam如图所示，在正方形ABC。中，E,尸分别是AB,BC的中点，求证：AF1DE.

ER

证明：法一：设At)=a,Ah=b,

则⑷=|例,a-b=Q,

又循=DA+助=—#=储+防=5+ga,

所以寻'.瓦1=(。+上)(一@+，)=_52—105+/=一12+如2=0.

故球，旗，BPAFLDE.

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(l,

0),F(2,1),AP=(2,1),Dk=(1,-2).

因为#•波=(2,1)•(1,-2)=2-2=0,

所以办，瓦，BPAFIDE.

角度二：平面几何中的平行(或共线)问题

_____CPA17

哂如图，点。是平行四边形A8CO的中心，E,尸分别在边。，AB上，且器=若

匕DrD

=；.求证：点E,。，厂在同一直线上.

DEC

西

AFR

证明：设脑=机，Ab=n,

CFAFI

由流=能=今知E,尸分别是CO,A3的三等分点,

乜DrDZ

所以劭=设+初=;或+;祀

=-1/n+1(/n+n)=1m+|n,

ok=ob+cfe=^At+|cZ)

1..11,1

=2(r加十〃)一§加=%机十]

所以劭=ok

又。为劭和融的公共点，故点£,O,尸在同一直线上.

角度三：平面几何中的长度问题

匐可如图，平行四边形ABC。中，已知A£>=1,AB=2,对角线8。=2,求对角线AC

的长.

A

解：设A力=a,A^=b,则后方=a—A,At=a+b,

而\Bt)\=\a-b\=y]a2—2ab~^b2=yf1+4_2a-Z>=-\/5—2a-Z>=2,

所以5—2a0=4,所以。仍=3，X|At?|2=|a+Z>|2=a2+2a-Z>+Z>2=l+4+2a-Z>=6,所以质

1=^6,即AC=y[6.

探究点2：

向量在物理中的应用

丽(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25

km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

(2)已知两恒力Fi=(3,4),尸2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)

移动到点8(7,0),求£,乃分别对质点所做的功.

解：(1)如图，设防表示水流的速度，3力表示渡船的速度，祝表示渡船实

际垂直过江的速度.

因为牯+初=祝，所以四边形A8CO为平行四边形.

在R3ACZ)中，ZACD=90°,|Dt|=|A^|=12.5.

风力1=25,所以/C4O=30。，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30。.

(2)设物体在力尸作用下的位移为s,则所做的功为W=Fs.

因为初=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

所以Wi=Fi-屈=(3,4)•(—13,-15)

=3x(-13)+4x(-15)=-99(焦)，

W2=F2-Ah=(6,-5)•(-13,-15)

=6x(-13)+(-5)x(-15)=-3(焦).

三、学习小结

1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

2.向量在物理学中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法

相似，可以用向量的知识来解决.

(2)物理学中的功是一个标量，即为力尸与位移s的数量积，即W=Ks=|F||s|cos。(夕

为尸与s的夹角).

四、精炼反馈

1.河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静

水中的速度大小为()

A.10m/sB.2^/26m/s

C.44m/sD.12m/s

解析：选B.由题意知|v水1=2m/s,仅船|=10m/s,作出示意图如图.

所以小船在静水中的速度大小

Iv|=-\/102+22=2y[26(m/s).

2.已知三个力力=(-2,-1),力=(-3,2),(4,-3)同时作用于某物体上一

点，为使物体保持平衡，再加上一个力加，则力=()

A.(—1,—2)B.(1,12)

C.(-1,2)D.(1,2)

解析：选D.由物理知识知力+#+力+加=0,故/1=一(力+拉+力)=(1,2).

3.设P,Q分别是梯形A8CO的对角线AC与8。的中点，AB//DC,试用向量证明：PQ

//AB.

证明：设觉=24&(%>0且2ri)，因为殖=双一劝=超十匝一助=牯+；(就一祀)

=A^+1[CAb-A^)~CAb+Dt)]

=A^+1(Cb一通)

=；(Ct>+A&)=；(—A+l)A&,

所以腼〃初，又P,Q,A,B四点不共线，所以PQ〃AB.

【第二学时】

学习重难点学习目标核心素养

余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理

掌握余弦定理的几种变形公式及应

余弦定理的推论数学运算

用

能利用余弦定理求解三角形的边、

三角形的元素及解三角形数学运算

角等问题

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题:

1.余弦定理的内容是什么？

2.余弦定理有哪些推论？

二、合作探究

探究点1：

已知两边及一角解三角形

匐T(1)(2018.高考全国卷II)在“8。中，《«苧=乎,BC=1,AC=5,则AB=()

A.4啦B.^30

C.^29D.2小

（2）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=小，c=2,cosA=1,则〃

=（）

A.72B,小

C.2D.3

r13

解析：（1）因为cosC=2cos2-^―1=2x-—1=—所以由余弦定理，得A32=AC2+BC2

-2AC3CcosC=25+l-2x5xlx（一|）=32,所以故选A.

（2）由余弦定理得5=22+〃-2x28cosA,

2

因为cosA=g,所以3扶一昉一3=0,

所以〃=3[=-]舍去）.故选D.

答案：（1）A

（2）D

互动探究：

2、八

变条件：将本例（2）中的条件“a=小，c=2,cosA=w”改为“a=2,c=2小，COST4=2

求匕为何值？

解：由余弦定理得：

a2=b2+c1-2bccosA,

所以22=序+（2小）2—2X/?X24§X坐，

即廿一66+8=0,解得Z?=2或/?=4.

探究点2：

已知三边（三边关系）解三角形

偏田（1）在aABC中，已知a=3,b=5,c=回，则最大角与最小角的和为（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

（2）在△ABC中，若（a+c）（a—c）=h（/?—c）»则A等于（）

A.90°B.60°

C.120°D.150°

解析：（1）在△ABC中，因为a=3,b=5,c=小，

所以最大角为B,最小角为A,

所以cosC=3=；,所以C=60。，所以A+B=120。，所以△ABC中

Z.CIUZ

的最大角与最小角的和为120。.故选B.

廿+/一屋

(2)因为(a+c)(a—c)=b(/?—c),所以〃2+02—〃2=反，所以cosA=---------=

因为AG(0°,180°),所以4=60。.

答案：(1)B

(2)B

探究点3：

判断三角形的形状

例⑶在A48C中，若Z?2sin2C+c2sin2B=2/?ccosBcosC,试判断AABC的形状.

解：将已知等式变形为

b1(1—cos2C)+c2(1—COS2B)=2Z?ccosBcosC.

由余弦定理并整理，得

22+〃2一/、2〃2+/一〃2、2

拄+/一序

2ab2ac

屋+/一从屋+从一02

=2bexx-T~

lac2ab

[(/+/—c2)+(4+/一层)]24/

所以Z?2+c2==a2.

4屋一4屋

所以A=90。.所以△ABC是直角三角形.

三、学习小结

1.余弦定理

三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹

文字语言

角的余弦的积的两倍

。2=序+——2Z?ccosA

符号语言2accos3

C2=+——2.Z?cos_C

2.余弦定理的推论

♦+。2一屋

cosA=3；

层十一一一2

cosB=迎；

cosC=2ab丁

3.三角形的元素与解三角形

（1）三角形的元素

三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.

（2）解三角形

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

四、精炼反馈

1.在△ABC中，已知a=5,b=7,c=8,则A+C=（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

/+。2一序25+64—491

解析：选

B.cosB=-------------=-—2,

所以8=60。，所以A+C=120。.

2.在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc,则角A等于（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：选B.因为(£>+c)2-a1=b2-\-c1+2bc—d1=3bc,

所以b2+c2—a2=bc,

所以cosA=:beF所以A=60。.

3.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足（a+b）2—。2=4,且C=60。，则必

解析：因为C=60°,所以c2=a2+b2—2abcos60°,

即c2=a2-\-h2—ab.①

又因为(a+。)2-C2=4,

所以/=次+炉+24?—4.②

4

由①②知一必=2"—4,所以M?=g.

答案：|4

4.在AABC中，acosA+反os8=ccosC,试判断△ABC的形状.

b~~\~c^-cr。之+次一扶/+82-

解：由余弦定理知cosA=-^―,cos5=—亳一,cosC=—五厂，代入已知条

22

z„〃+/—42C2+tZ—/702—82

件得a--2^b7c---+b--2-c-a---+c--V2aTb-=0,

通分得/（〃+/一屋）+〃（足+廿一左）4-c2Cc2—a2—b2）=0,

展开整理得（层一户）2-4.

所以a2-b2=±c2,即/=按+/或b2=a2+c2.

根据勾股定理知AABC是直角三角形.

【第三学时】

学习重难点学习目标核心素养

通过对任意三角形边长和角度关系

正弦定理的探索，掌握正弦逻辑推理

定理的内容及其证明方法

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1.在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？

2.正弦定理的内容是什么？

二、合作探究

探究点1：

已知两角及一边解三角形

匐T]在AABC中，已知c=10,A=45。，C=30°,解这个三角形.

解：因为A=45°,C=30°,所以8=180°—(A+C)=105°.

八

,ac,ncsinA=…-sin45°.r-

pl~s|~inA"A=~sin7C^1^ci——si-nC7=7lOxsi;n3.c0o=lQ\、/2.

因为sin75o=sin(30°+45°)=sin30°cos450+cos30°sin45°=,所以

^t4^sinC

lOxsin(A+C)V2+V6,

一市行一:20x工仔=5啦r+5班r.

探究点2：

已知两边及其中一边的对角解三角形

国已知△ABC中的下列条件，解三角形：

(1)a=10,b=20,A=60°；

(2)a=2,c=\[6,

解：⑴因为磊=总，

所以$皿8="$=智茨=小＞1,

所以三角形无解.

E、，.acmi”..asinC也

1-

（2）因为4114一411。'所以0"4—c2-

JT

因为所以OA.所以A=不

的I”D5KcsinB加、叫？巧

所以8=无，力=定下=一

sin3

互动探究：

变条件：若本例（2）中。=全改为A=j,其他条件不变，求C,B,h.

解：因为总=潦7,所以0皿0=生看=乎・

sinAsinCa2

所以c=：或弩.

当3M”含2缥牛=小+1.

w「27tli门兀,asinBr-

当C=3时，8=五，b=飞启=小一1f・

探究点3：

判断三角形的形状

隔⑶已知在△ABC中，角A,B所对的边分别是a和4若acos8=AcosA,则△ABC一

定是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：由正弦定理得：acos8=/?cosAosinAcos3=sinBcosA=>sin(A—B)=0,由于一兀

<A-B<it,故必有A—5=0,A=B,即△ABC为等腰三角形.

答案：A

互动探究

变条件：若把本例条件变为“加inB=csin。'，试判断AABC的形状.

解:由加inB=csinC可得sin2jB=sin2C,因为三角形内角和为180。，

所以sin8=sinC所以B=C.故△ABC为等腰三角形.

三、学习小结

1.正弦定理

条件在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c

a_____b_____c

结论sinAsinBsinC

文字

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

叙述

2.正弦定理的变形

若/?为△ABC外接圆的半径，则

(1)a=27?sinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

__Q_.__.厂__

(2)sinA4—2H，sinDB—2R，smC—2R；

(3)sinA：sin3：sinC=a:〃：c；

、a+b+c

(z4)；-----------------=2R

sinA+sinB+sinC

四、精炼反馈

1.(2019•辽宁沈阳铁路实验中学期中考试)在"6C中,AB=2,AC=3,8=60。，则cos

1

近

V3

33

AC.

B.必

V23D.

2

解析：选8,由正弦定理，得洪=黑，即急=凝，解得sinC=孚因为A3V

AC,所以CVB,所以cosC=<1-sin2C=^.

2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A：B：C=1：2：3,则a：A：c

=()

A.1：2：3B.3：2：1

C.2：#：1D.1：小：2

解析：选D.在AABC中，因为A：8：C=1：2：3,所以B=2A,C=3A,又A+B+C

=180°,所以4=30。,8=60°,C=90°,所以a：b：c=sinA：sinB：sinC=sin30°：sin60°：

sin90°=1:小：2.

3.在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,h,c,若c—acosB=(2a—b)cosA,则

△ABC的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解析:选D.已知c—acosB=(2a-b)cosA,由正弦定理得sinC—sinAcosB=2sinAcos

A-sinBcosA,所以sinCA+B)—sinAcosB=2sinAcosA—sin5cosA,化简得cosA(sinB-

sinA)=0,所以cosA=0或sinB—sinA=0,则A=90。或A=B,故AABC为等腰三角形或直

角三角形.

【第四学时】

学习重难点学习目标核心素养

理解测量中的基线等有关名词、

测量中的术语直观想象

术语的确切含义

会利用正、余弦定理解决生产实

测量距离、高度、角度问题践中的有关距离、高度、角度等数学建模

问题

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题:

1.什么是基线？

2.基线的长度与测量的精确度有什么关系？

3.利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？

二、合作探究

探究点1：

测量距离问题

所海上A,B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60。的视角，从8岛望

。岛和A岛成75。的视角，则B岛与C岛间的距离是.

解析：如图，在AABC中，ZC=180°-(ZB+ZA)=45°,

由正弦定理，可得篇=卷,

所以8C=出xl0=5加(海里).

答案：5a海里

互动探究：

变条件：在本例中，若“从8岛望C岛和A岛成75。的视角”改为“A,。两岛相距20海

里”，其他条件不变，又如何求8岛与。岛间的距离呢？

解：由已知在△ABC中，AB=\0,AC=20,ZBAC=60°,即已知两边和两边的夹角，利

用余弦定理求解即可.

BC2=AB2+AC2-2ABACCOS60°=102+202-2x10x20x|=300.故8C=IChJl

即8,C间的距离为1M海里.

探究点2

测量高度问题

国如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D

在西偏北30。的方向上，行驶600m后到达8处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为

30°,则此山的高度CD=m.

D

解析：由题意，在AABC中，ZBAC=30°,ZABC=180°-75°=105°,故NAC8=450.

又AB=600m,故由正弦定理得:^黑=系3

zIOxi1DU

解得BC=30Mm.在RtZkBC。中，CD=BCtan30°=30()V2x^-=lOChJe(m).

答案：100^6

互动探究：

变问法：在本例条件下，汽车在沿直线A8方向行驶的过程中，若测得观察山顶。点的最

大仰角为a,求tana的值.

解：如图，过点C,作垂足为E,则NOEC=a,由例题可知，

ZCBE=75°,8C=300VL

所以CE=BCsinZCBE

=30()V2sin75°

=300V2x^±^

=150+150^/3.

而z.DCi。厮3n

所以tana=^=i50+15(h/T3-

探究点3：

测量角度问题

丽岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10

海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方

向8处巡航的海监船前往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北

偏东75。方向且相距10海里的。处，随即以每小时海里的速度前往

拦截.

(1)问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？

(2)假设海监船在。处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间.

解：（1）根据题意得NBAC=45。，ZABC=15°,BC=IO,

所以NACB=180°—75°—45°=60。，

在"80中’由sinNACB=sinN3AC'

10x近

/曰BCsinZACBIOsin6002

得■=sin/BAC=2寸=丁=5而r

2

所以海监船接到通知时，在距离岛A54海里处.

（2）设海监船航行时间为f小时，则8。=1即3CD=\Ot,

又因为N3C。=180°—NA=180°—60°=120°,

所以BD1=BC2+CD1-2BC-CDcos1200,

所以300Z2=100+100^-2x10x10/-^-^,

所以2尸一Ll=0,

解得t=l或r=—1（舍去）.

所以CO=10,所以8C=CD,

所以NCBO=g（180°-120°）=30。，

所以NAB£>=75°+30°=105°.

所以海监船沿方位角105。航行，航行时间为1个小时.

（或海监船沿南偏东75。方向航行，航行时间为1个小时）

三、学习小结

1.基线

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.

2.基线与测量精确度的关系

一般来说，基线越长，测量的精确度越高.

3.实际测量中的有关名称、术语

名称定义图示

视线

在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线铅初角

垂

仰角线

的夹角水平线

铅

在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线垂

了水平线

俯角线7^

的夹角视线

北南偏西60°

西J（指以正南

从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线装碑可方向为始

方向角

是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90。）南।边，转向目

标方向线形成的角）

北

从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水0

方位角

平角艮

四、精炼反馈

1.若P在。的北偏东44。50,方向上，则。在尸的（）

A.东偏北45。10,方向上B.东偏北45。50,方向上

C.南偏西44。50,方向上D.西偏南45。50,方向上

解析：选C.如图所示.

2.如图，D,C,8三点在地面同一直线上，从地面上C,。两点望山顶A,测得它们的

仰角分别为45。和30。，已知CD=200米，点C位于BD上,则山高A3等于（）

A.10丽米B.50（V3+1）米

C.100（V3+D米D.200米

解析：选C.设A8=x米，在R3ACB中，ZACB=45°,

所以BC=AB=x.

在R3ABO中，ZD=30°,贝1|8。=5/18=小工

因为BD—5C=CO,所以小尤一%=200,

解得x=100（A/3+D.故选C.

3.已知台风中心位于城市A东偏北a（a为锐角）度的150公里处，以丫公里/小时沿正

西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北夕（尸为锐角）度的200公里处，若cosa

3

=4C0S4，则v~（）

A.60B.80

C.100D.125

解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得（2.5v）2=2002+1502+2X200X150COS（a

3

200而z.4._22

+夕）①，由正弦定理得oalilnl(A所以Sina—[JSinp.Xcosa=4cos夕，sina+cosa=

34.43M1?12

1,解得sinQ=W，故COSQ=5,sina=g,cosa=g,故cos（a+4）=行一行=。，代入①解得

v=100.

4.某巡逻艇在A处发现在北偏东45。距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75。的方向

以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12小海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻

艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向.

解：设经过7小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC=12®BC=nt,ZABC=

120°,

在"BC中,由正弦定理得1添=而乐,

所以sinNA4c=},所以NBAC=30。，

L

2

所以AB=8C=8=12f,解得，=],航行的方向为北偏东75。.

即巡逻艇最少经过;小时可追到走私船，沿北偏东75。的方向航行.

平面向量的运算

【第一课时】

向量的加法运算

【学习重难点】【学习目标】【核心素养】

理解向量加法的概念以及向量

平面向量加法的几何意义数学抽象、直观想象

加法的几何意义

掌握向量加法的平行四边形法

平行四边形法则

则和三角形法则，数学抽象、直观想象

和三角形法则

会用它们解决实际问题

掌握向量加法的交换律和结合

平面向量加法的运算律数学抽象、数学运算

律，会用它们进行计算

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1.在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？

2.向量加法的运算律有哪两个?

二、新知探究

探究点1：

平面向量的加法及其几何意义

例1：如图，已知向量a,b,c,求作和向量a+Z>+c.

解：法一：可先作a+c,再作(a+c)+b,即a+0+c.如图，首先在平面内任取一点

0,作向量8=4,接着作向量前=C,

则得向量仍=a+c,然后作向量配=儿

则向量犹=。+方+c为所求.

法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作.如图，(1)在平面内任取一点。，作

OA=a,仍="

(2)作平行四边形A03C,则沈=a+b；

(3)再作向量仍=c；

(4)作平行四边形CQDE,

^\Ok=Ot+c=a+b+c.波即为所求.

D..........E

修

A

探究点2：

平面向量的加法运算

例2：化简：

(1)配+砌

(2)D^+Cb+Bt；

(3)A^+D^+Cb+Bt+FA.

解：(1)Bt+Ah=Ab+Bt=At.

(2)D^+Cb+Bt

=Bt+Ct+D^

=(Bt+cb)+Db

=协+防=0.

(3)Ah+D^+Cb+Bt+7A

=A^+Bt+Ct)+D>+M

=At+cb+D>+M

=A5+D>+M=A>+M=O.

探究点3：

向量加法的实际应用

例3：某人在静水中游泳，速度为4小千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游

泳.若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？

解：如图，设此人游泳的速度为加，水流的速度为3,以以，仍为邻边作“MCB,则

此人的实际速度为温+防=配.

由勾股定理知I配1=8,且在RraACO中，ZCOA=60°,故此人沿与河岸成60。的夹角顺

着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时.

三、学习小结

1.向量加法的定义及运算法则

定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法

三角前提已知非零向量Q,b

法则形法作法在平面内任取一点A,作牯=4,比=儿再作向量At

则结论向量叫做a与b的和，记作a+b9

即a+Z>=莉+於=定

图形

4Z—a-、B

前提已知不共线的两个向量a,b

平行在平面内任取一点0，以同一点。为起点的两个已

作法

法四边知向量a,分为邻边作oOACB

则形法结论对角线龙就是a与方的和

则

图形。七

规

对于零向量与任一向量a,我们规定a+0=2z匕=2

定

2.\a+b\,\a\,|b|之间的关系

一般地，\a+b]<\a\+\b\,当且仅当a,b方向相同时等号成立.

3.向量加法的运算律

交换律g-\-b=b-\-g

结合律(。+。)+c=a+(b+c)

四、精炼反馈

1.化简办+地+丙+N的结果等于（）

A.B.Ot2

C.SpD.

解析：选B.OP+P^+P^+SP=O^+0=O^.

2.在四边形ABC。中，At=A^+Ab,则一定有（）

A.四边形ABC。是矩形

B.四边形ABC。是菱形

C.四边形A3C。是正方形

D.四边形A8CD是平行四边形

解析：选D.由祝=超+初得3力=配，即AO=