热点06三角形(原卷版+解析)

热点06三角形考察方向考察方向中考中，三角形主要考察方向为：三角形的三边关系与三角形有关的角和线段角平分线、垂直平分线的尺规作图与三角形结合全等三角形的性质与判定三角形的旋转满分技巧满分技巧三角形三边关系【方法提示】能组成三角形的条件：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边。角平分线、垂直平分线的性质及其尺规作图方法【重点知识】角平分线的性质：角平分线上的点，到角两端的距离相等；用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上；用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

角平分线的尺规作图方法：

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.射线OC即为所求.垂直平分线的性质：垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。全等三角形的判定及证明思路一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形。证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件。（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件。（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质。基础训练基础训练A卷（建议用时：40分钟）一、单选题1．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．(2023·湖南娄底·统考中考真题）是某三角形三边的长，则等于（

）A． B． C．10 D．43．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（）A． B． C．2 D．44．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交于点M，N，连接，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．平分5．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交､于点D和点E，若，则的度数是（

）A． B． C． D．6．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（

）A． B．AD一定经过的重心C． D．AD一定经过的外心7．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是(

)A．20° B．30° C．45° D．60°8．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．9．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（

）A．1 B． C． D．10．(2023·湖南永州·中考真题）如图，已知．能直接判断的方法是（

）A． B． C． D．11．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（）A． B． C． D．12．(2023·湖南怀化·中考真题）在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（

）A．3 B． C．2 D．613．(2023·湖南湘潭·中考真题）如图，是的外角，若，，则（

）A． B． C． D．14．(2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于(

)A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题15．（2011·湖南怀化·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=_____．16．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，，于点，若，则______．17．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．18．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．19．(2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________．20．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为________（方程不用化简）．21．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．三、解答题22．(2023·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：．求作：，使得≌．作法：如图．（1）画；（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：证明：由作图可知，在和中，∴≌______．（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS23．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．24．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，AC平分，垂足分别为B，D．(1)求证：；(2)若，求四边形ABCD的面积．25．(2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．26．(2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．（1）求证：；（2）求的度数．27．(2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，．求证：．28．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．（1）求证：；（2）若，，求的周长和面积．难点突破难点突破B卷（建议用时：60分钟）一、单选题1．(2023·湖南湘西·中考真题）已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形2．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在中，，，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（

）A．120° B．108° C．72° D．36°3．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④4．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（

）A． B．，C． D．5．(2023·湖南·统考中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（

）A． B． C． D．二、填空题6．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．7．（2015·湖南常德·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_____．8．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）．三、解答题9．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．10．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，和的顶点重合，，，，．(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．11．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；(2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．12．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，且．（1）求证：；（2）求证：；（3）如图②，作，垂足为H，设，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立．13．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．（1）证明：；（2）如图2，连接，，交于点．①证明：在点的运动过程中，总有；②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？热点06三角形考察方向考察方向中考中，三角形主要考察方向为：三角形的三边关系与三角形有关的角和线段角平分线、垂直平分线的尺规作图与三角形结合全等三角形的性质与判定三角形的旋转满分技巧满分技巧三角形三边关系【方法提示】能组成三角形的条件：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边。角平分线、垂直平分线的性质及其尺规作图方法【重点知识】角平分线的性质：角平分线上的点，到角两端的距离相等；用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上；用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

角平分线的尺规作图方法：

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.射线OC即为所求.垂直平分线的性质：垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。全等三角形的判定及证明思路一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形。证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件。（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件。（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质。基础训练基础训练A卷（建议用时：40分钟）一、单选题1．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，答案:B分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．2．(2023·湖南娄底·统考中考真题）是某三角形三边的长，则等于（

）A． B． C．10 D．4答案:D分析：先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：是三角形的三边，，解得：，，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．3．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（）A． B． C．2 D．4答案:C分析：根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，∵点D为边AC的中点，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=，故选：C．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．4．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交于点M，N，连接，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．平分答案:B分析：根据线段垂直平分线的尺规作图、以及性质即可得．【详解】解：由题意得：是线段的垂直平分线，则，故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．5．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交､于点D和点E，若，则的度数是（

）A． B． C． D．答案:A分析：由尺规作图痕迹可知，MN是线段AB的垂直平分线，进而得到DB=DA，∠B=∠BAD，再由AB=AC得到∠B=∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°即可求解．【详解】解：由题意可知：MN是线段AB的垂直平分线，∴DB=DA，∴∠B=∠BAD=50°，又AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∴∠BAC=80°，∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的两底角相等，线段垂直平分线的尺规作图等，属于基础题，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决本题的关键．6．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（

）A． B．AD一定经过的重心C． D．AD一定经过的外心答案:C分析：根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴，故C正确；在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；故选C．【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．7．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是(

)A．20° B．30° C．45° D．60°答案:B分析：根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故选B．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．8．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．答案:C分析：依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．【详解】由作图可知，EF垂直平分AB，，故A选项正确；，故B选项正确；，故C选项错误；，故D选项正确，故选C．【点睛】本题考查不基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．9．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（

）A．1 B． C． D．答案:B分析：根据旋转性质可知，，再由勾股定理即可求出线段的长．【详解】解：∵旋转性质可知，，∴，故选：B．【点睛】此题主要考查旋转的性质和勾股定理求出直角三角形边长，解题关键是根据旋转性质得出是等腰直角三角形．10．(2023·湖南永州·中考真题）如图，已知．能直接判断的方法是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根据三角形全等的判定定理解答.【详解】在△ABC和△DCB中，,∴(SAS),故选：A.【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键.11．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（）A． B． C． D．答案:B分析：根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°∵平分∴∠ACB=2∠ACD=100°∴∠B=180°-100°-50°=30°故选：B．【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键．12．(2023·湖南怀化·中考真题）在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（

）A．3 B． C．2 D．6答案:A分析：证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．【详解】∵DE⊥AC，∴∠AED=∠B=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴DE=BE=3，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．13．(2023·湖南湘潭·中考真题）如图，是的外角，若，，则（

）A． B． C． D．答案:D分析：根据三角形的外角的性质进行计算即可．【详解】解：∵是的外角，∴=∠B+∠A∴∠A=-∠B，∴∠A=60°故选：D【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．14．(2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于(

)A．4 B．3 C．2 D．1答案:C分析：如图，过点D作于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.【详解】如图，过点D作于E，，，，，BD平分，，即点D到AB的距离为2，故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.二、填空题15．（2011·湖南怀化·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=_____．答案:4分析：首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC=CB，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的长．【详解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵AD2+BD2=AB2，∴AD==4，故答案为4．【点睛】本题考查勾股定理；等腰三角形的性质．16．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，，于点，若，则______．答案:3分析：根据等腰三角形的性质可知是的中点，即可求出的长．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．17．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．答案:分析：证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．【详解】解：由题意：平分，于,，，又为公共边，，，在中，，由勾股定理得：，故答案是：．【点睛】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得．18．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．答案:8分析：由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．【详解】解：根据题意，在中，，，由角平分线的性质，得，∴的周长为：；故答案为：8【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．19．(2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________．答案:23分析：由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可．【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，，，故答案为：23【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键．20．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为________（方程不用化简）．答案:分析：设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．【详解】解：∵，且，∴，在Rt△ABC中，由勾股定理有：，即：，故可列出的方程为：，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．21．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．答案:分析：先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得．【详解】解：平分，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．三、解答题22．(2023·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：．求作：，使得≌．作法：如图．（1）画；（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：证明：由作图可知，在和中，∴≌______．（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS答案:（1）；（2）④．分析：（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得；（2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得．【详解】（1）证明：由作图可知，在和中，，∴．故答案为：．（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是，故答案为：④．【点睛】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．23．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．答案:见解析分析：由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论．【详解】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，，∴△CED≌△ABC（ASA）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．24．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，AC平分，垂足分别为B，D．(1)求证：；(2)若，求四边形ABCD的面积．答案:(1)见解析(2)12分析：（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出，结合已知条件，利用“AAS”即可求证；（2）由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式求出，再根据四边形ABCD的面积求解即可．【详解】（1）AC平分，，，；（2），，，，，四边形ABCD的面积．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键．25．(2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．答案:见解析分析：利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．26．(2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．（1）求证：；（2）求的度数．答案:（1）见详解；（2）分析：（1）由题意易得，，则有，然后问题可求证；（2）由（1）可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵，∴，即，∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴根据三角形内角和可得，∴，由（1）可得，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．27．(2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，．求证：．答案:见解析分析：根据，可以得到，然后根据题目中的条件，利用ASA证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：点A，B，C，D，E在一条直线上∵∴在与中∴【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．28．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．（1）求证：；（2）若，，求的周长和面积．答案:（1）证明见解析；（2）周长为，面积为22．分析：（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得．【详解】（1）证明：，，在和中，，，；（2），，，，，，，，，，，则的周长为，的面积为．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．难点突破难点突破B卷（建议用时：60分钟）一、单选题1．(2023·湖南湘西·中考真题）已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形答案:C分析：根据题意知EF垂直平分OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案.【详解】如图，连接CD、CG，∵分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F∴EF垂直平分OC，设EF交OC于点N，∴∠ONE=∠ONF=90°，∵OM平分，∴∠NOD=∠NOG，又∵ON=ON，∴△OMD≌△ONG，∴OD=OG，∴△ODG是等腰三角形，故选：C.【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到EF垂直平分OC是解题的关键.2．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在中，，，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（

）A．120° B．108° C．72° D．36°答案:B分析：根据三角形内角和定理求出．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出，，利用三角形内角和定理求出．再根据折叠的性质得出，然后根据三角形外角的性质得出．【详解】∵在中，，，∴．∵AD是斜边BC上的中线，∴，∴，，∴．∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．3．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④答案:B分析：根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正确；②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正确；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．∴①②④这三个结论正确．故选：B．【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（

）A． B．，C． D．答案:D分析：根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D．【详解】A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC，故A正确；B．∵点F是边AC中点，∴CF=BF=AF=AC，∵∠BCA=30°，∴BA=AC，∴BF=AB=AF=CF，∴∠FCB=∠FBC=30°，延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，∴∠BHE=∠DEC=90°，∴BF//ED，∵AB=DE，∴BF=DE，故B正确．C．∵BF∥ED，BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BC=BE=DF，∵AB=CF，BC=DF，AC=CD，∴△ABC≌△CFD，∴，故C正确；D．∵∠ACB=30°，∠BCE=60°，∴∠FCG=30°，∴FG=CG，∴CG=2FG．∵∠DCE=∠CDG=30°，∴DG=CG，∴DG=2FG．故D错误．故选D．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确理解旋转性质是解题的关键．5．(2023·湖南·统考中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（

）A． B． C． D．答案:C分析：将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解．【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，，，，是等边三角形，，∵，，，，与的面积之和为．故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．二、填空题6．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．答案:1分析：将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值．【详解】解：连接，如下图：于点于点，，，，故答案是：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将的面积拆成两个三角形面积之和来解答．7．（2015·湖南常德·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_____．答案:66.5°．【详解】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=47°，∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=．∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+ACF）=66.5°．8．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）．答案:①②③分析：依题意知，和是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS证明，可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为，故最小时面积最小，即，等腰三角形三线合一，D为中点时.【详解】∵绕点A沿顺时针方向旋转角度得到∴，∴即∴∵得：（SAS）故①对∵和是顶角相等的等腰三角形∴故②对∴即AD最小时最小当时，AD最小由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点故③对故答案为：①②③【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键.三、解答题9．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．答案:(1)见详解；(2)0.5a．分析：（1）过点M作MQCN，证明即可；（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．【详解】（1）如下图所示，过点M作MQCN，∵为等边三角形，MQCN，∴，则AM=AQ，且∠A=60°，∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，又∵MQCN，∴∠QMP=∠CNP，在，∴，

则MP=NP；（2）∵为等边三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，

又由（1）得，，则PQ=PC，∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．10．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，和的顶点重合，，，，．(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．答案:(1)

，垂直(2)成立，理由见解析(3)分析：（1）解直角三角形求出，，可得结论；（2）结论不变，证明，推出，，可得结论；（3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点求出，，可得结论．【详解】（1）解：在中，，，，∴，在中，，，∴，∴，，∴，此时，故答案为：，垂直；（2）结论成立．理由：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点．∵，，∴，∴．∵，∴，，当时，四边形是矩形，∴，，设，则，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．11．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；(2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．答案:(1)BD=1；CE=1；DE=2(2)DE=CE+BD；理由见解析；②BD=CE+DE；理由见解析(3)分析：（1）先根据得出，根据，得出，，再根据，求出，，即可得出，最后根据三角函数得出，，即可求出；（2）①DE=CE+BD；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；②BD=CE+DE；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；（3）在Rt△AEC中，根据勾股定理求出，根据，得出，代入数据求出AF，根据AC=5，算出CF，即可求出三角形的面积．（1）解：∵，，∴，∵，∴，，∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，，∴，∴，，∴．（2）DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．（3）根据解析（2）可知，AD=CE=3，∴，在Rt△AEC中，根据勾股定理可得：，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴，∴，即，解得：，∴，∵AB=AC=5，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明，是解题的关键．12．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，且．（1）求证：；（2）求证