第03讲解一元二次方程-公式法和因式分解(知识解读)(原卷版+解析)

第3讲解一元二次方程-公式法和因式分解1.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；2.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；知识点1：解一元二次方程-公式法用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判别式知识点2：解一元二次方程-因式分解因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；（3）令每个因式分别为零；（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。【题型1解一元二次方程-公式法】【典例1】(2023秋•大田县期中）用公式法解方程x2﹣2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝3 B．a＝1，b＝2，c＝﹣3 C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3【变式1-1】(2023秋•泉州期末）用求根公式解一元二次方程5x2﹣1﹣4x＝0时a，b，c的值是（）A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4 B．a＝5，b＝﹣4，c＝1 C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 D．a＝5，b＝4，c＝1【变式1-2】(2023秋•梁山县期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8 B．3，4，8 C．3，4，﹣8 D．3，﹣4，﹣8【变式1-3】(2023秋•大田县期中）用公式法解方程x2﹣2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝3 B．a＝1，b＝2，c＝﹣3 C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3【典例2】用公式法解下列方程：（1）2x2+5x﹣1＝0（2）6x（x+1）＝5x﹣1【变式2-1】(2023秋•船山区校级期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．【变式2-2】(2023秋•丰满区校级期末）用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．【变式2-3】(2023秋•普宁市校级期中）用公式法解方程：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．【题型2解一元二次方程-因式分解法】【典例3】一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根为（）A．x＝1 B．x＝5 C．x＝﹣1或x＝5 D．x＝1或x＝﹣5【变式3-1】(2023秋•花垣县月考）一元二次方程（x﹣1）x＝0的解是（）A．0或﹣1 B．0或1 C．1 D．0【变式3-2】（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1【变式3-3】(2023秋•中山市期末）方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝2【典例4】用因式分解法解下列方程．（1）x2﹣x﹣56＝0．（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．【变式4-1】(2023秋•潮阳区期末）用因式分解解方程：x（x﹣5）＝8（5﹣x）．【变式4-2】(2023春•义乌市月考）解方程：（1）x2+6x﹣7＝0；（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．1．(2023•路北区校级一模）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（）A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或22．(2023•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣23．(2023•鼓楼区校级二模）一元二次方程3x﹣1﹣2x2＝0在用求根公式x＝求解时，a，b，c的值是（）A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣14．（2023•河北区一模）方程x2+7x+12＝0的两个根为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣4 B．x1＝﹣3，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣4 D．x1＝3，x2＝45．（2023•林州市模拟）已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（）A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或156．（2023•绥宁县模拟）方程x2＝2023x的解是（）A．x＝2023 B．x＝﹣2023 C．x＝0或2023 D．x＝2023或﹣20237．（2023•泉州一模）一元二次方程x（x﹣3）＝x的解是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝48．（2023•裕华区校级模拟）老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步开始出现错误（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．（2023•衡山县二模）我们解一元二次方程（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0时，可以运用因式分解法将此方程化为（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0．从而得到两个一元一次方程：x﹣3＝0或x﹣7＝0．进而得到原方程的解为x1＝3，x2＝7．这种解法体现的数学思想是（）A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．公理化思想10．（2023•宜兴市一模）方程x2﹣3x＝1的解是．11．（2023•碑林区校级三模）关于x的方程x2﹣x+＝9的解是．12．（2023•小店区校级模拟）用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．13．（2023•三明模拟）解方程：x2+3x﹣1＝0．1．（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（）A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣22．(2023秋•船营区校级期末）一元二次方程x2﹣7x＝0的解是（）A．x1＝x2＝7 B．x1＝x2＝﹣7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝﹣73．(2023秋•滨海县期中）解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最适当的解法是（）A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法4．(2023秋•德城区期末）用公式法解方程2x2﹣1＝0，其中b2﹣4ac＝．5．(2023秋•大丰区期末）解下列方程（1）x2﹣6x﹣16＝0（配方法）；（2）（公式法）．6．(2023秋•长寿区期末）解下列方程：（1）x2﹣2x＝8x﹣9；（2）4x2+4x+9＝0．7．(2023秋•宁强县期末）用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．8．(2023秋•秦都区期末）用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．9．(2023秋•铁东区期中）解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）2x2+5x+3＝0．10．(2023秋•普宁市校级期中）用公式法解方程：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．第3讲解一元二次方程-公式法和因式分解1.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；2.理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；知识点1：解一元二次方程-公式法用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判别式知识点2：解一元二次方程-因式分解因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；（3）令每个因式分别为零；（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。【题型1解一元二次方程-公式法】【典例1】(2023秋•大田县期中）用公式法解方程x2﹣2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝3 B．a＝1，b＝2，c＝﹣3 C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3答案:D【解答】解：x2﹣2x＝3，x2﹣2x﹣3＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，故选：D．【变式1-1】(2023秋•泉州期末）用求根公式解一元二次方程5x2﹣1﹣4x＝0时a，b，c的值是（）A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4 B．a＝5，b＝﹣4，c＝1 C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 D．a＝5，b＝4，c＝1答案:C【解答】解：∵5x2﹣1﹣4x＝0，∴5x2﹣4x﹣1＝0，则a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，故选：C．【变式1-2】(2023秋•梁山县期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8 B．3，4，8 C．3，4，﹣8 D．3，﹣4，﹣8答案:D【解答】解：∵3x2﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8．故选：D．【变式1-3】(2023秋•大田县期中）用公式法解方程x2﹣2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝3 B．a＝1，b＝2，c＝﹣3 C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3答案:D【解答】解：x2﹣2x＝3，x2﹣2x﹣3＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，故选：D．【典例2】用公式法解下列方程：（1）2x2+5x﹣1＝0（2）6x（x+1）＝5x﹣1答案:（1）x1＝，x2＝（2）没有实数解【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0，∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，∴x＝＝，所以x1＝，x2＝；（2）6x（x+1）＝5x﹣1，整理得6x2+x+1＝0，∵a＝6，b＝1，c＝1，∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0，方程没有实数解．【变式2-1】(2023秋•船山区校级期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．答案:．【解答】解：整理，得：2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，∴，∴．【变式2-2】(2023秋•丰满区校级期末）用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，∴x＝＝﹣1±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【变式2-3】(2023秋•普宁市校级期中）用公式法解方程：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．【解答】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1），化简为x2﹣6x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0，∴，∴，．【题型2解一元二次方程-因式分解法】【典例3】一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根为（）A．x＝1 B．x＝5 C．x＝﹣1或x＝5 D．x＝1或x＝﹣5答案:C【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，x1＝5，x2＝﹣1，故选：C【变式3-1】(2023秋•花垣县月考）一元二次方程（x﹣1）x＝0的解是（）A．0或﹣1 B．0或1 C．1 D．0答案:B【解答】解：∵（x﹣1）x＝0，∴x﹣1＝0或x＝0，则x＝1或x＝0，故选：B．【变式3-2】（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1答案:B【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，所以x1＝2，x2＝﹣2．故选：B．【变式3-3】(2023秋•中山市期末）方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝2答案:C【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝0，∴x﹣3＝0或x+2＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2，故选：C【典例4】用因式分解法解下列方程．（1）x2﹣x﹣56＝0．（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．【解答】解：（1）x2﹣x﹣56＝0，∴（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，∴x1＝8；x2＝﹣7；（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2），移项，得3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，∴x1＝2；x2＝．【变式4-1】(2023秋•潮阳区期末）用因式分解解方程：x（x﹣5）＝8（5﹣x）．【解答】解：移项得，x（x﹣5）﹣8（5﹣x）＝0，提取公因式得，（x﹣5）（x+8）＝0．故x+8＝0或x﹣5＝0，解得x1＝﹣8，x2＝5．【变式4-2】(2023春•义乌市月考）解方程：（1）x2+6x﹣7＝0；（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5）．答案:（1）x1＝1，x2＝﹣7（2）x1＝5，x2＝13．【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0，分解因式得：（x﹣1）（x+7）＝0，所以x﹣1＝0或x+7＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣7；（2）（x﹣5）2＝8（x﹣5），移项得：（x﹣5）2﹣8（x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣5）[（x﹣5）﹣8]＝0，所以x﹣5＝0或x﹣13＝0，解得：x1＝5，x2＝131．(2023•路北区校级一模）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（）A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2答案:D【解答】解：∵x2≥0，∴x≥0，①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；②1≤x＜2时，x2＝2，解得x＝或x＝﹣（舍）；③2≤x＜3时，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；④x≥3时，方程无解；综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x＝，故选：D．2．(2023•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2答案:D【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，则x＝＝＝﹣2±2，∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，故选：D．3．(2023•鼓楼区校级二模）一元二次方程3x﹣1﹣2x2＝0在用求根公式x＝求解时，a，b，c的值是（）A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣1答案:D【解答】解：∵3x﹣1﹣2x2＝0，∴﹣2x2+3x﹣1＝0，则a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1，故选：D．4．（2023•河北区一模）方程x2+7x+12＝0的两个根为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣4 B．x1＝﹣3，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣4 D．x1＝3，x2＝4答案:A【解答】解：x2+7x+12＝0，（x+3）（x+4）＝0，x+3＝0或x+4＝0，所以x1＝﹣3，x2＝﹣4．故选：A．5．（2023•林州市模拟）已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（）A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15答案:D【解答】解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣5）（x﹣2）＝0，x﹣5＝0或x﹣2＝0，所以x1＝5，x2＝2，当等腰△ABC的边长分别为5、5、2时，△ABC的周长为5+5+2＝12；当等腰△ABC的边长分别为5、5、5时，△ABC的周长为5+5+5＝15；当等腰△ABC的边长分别为2、2、2时，△ABC的周长为2+2+2＝6，综上所述，△ABC的周长为6或12或15．故选：D．6．（2023•绥宁县模拟）方程x2＝2023x的解是（）A．x＝2023 B．x＝﹣2023 C．x＝0或2023 D．x＝2023或﹣2023答案:C【解答】解：∵x2＝2023x，∴x2﹣2023x＝0，∴x（x﹣2023）＝0，∴x＝0或2023．故选：C．7．（2023•泉州一模）一元二次方程x（x﹣3）＝x的解是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝4答案:D【解答】解：x（x﹣3）＝x，x（x﹣3）﹣x＝0，x（x﹣3﹣1）＝0，x＝0或x﹣3﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝4．故选：D．8．（2023•裕华区校级模拟）老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步开始出现错误（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案:A【解答】解：甲在解方程时，方程两边同除（2x﹣1），导致少了一个解，所以从甲开始就错了．正确的解法为：移项得（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝0，分解因式得（2x﹣1）（2x﹣1﹣3）＝0，解之得或x＝2，故选：A．9．（2023•衡山县二模）我们解一元二次方程（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0时，可以运用因式分解法将此方程化为（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0．从而得到两个一元一次方程：x﹣3＝0或x﹣7＝0．进而得到原方程的解为x1＝3，x2＝7．这种解法体现的数学思想是（）A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．公理化思想答案:C【解答】解：我们解一元二次方程（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0时，可以运用因式分解法将此方程化为（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0．从而得到两个一元一次方程：x﹣3＝0或x﹣7＝0．进而得到原方程的解为x1＝3，x2＝7．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选：C10．（2023•宜兴市一模）方程x2﹣3x＝1的解是．答案:x1＝，x2＝．【解答】解：方程化为一般式为x2﹣3x﹣1＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．11．（2023•碑林区校级三模）关于x的方程x2﹣x+＝9的解是．答案:x1＝，x2＝﹣．【解答】解：x2﹣x+＝9，x2﹣x﹣＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣）＝36＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝﹣．故答案为：x1＝，x2＝﹣．12．（2023•小店区校级模拟）用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．答案:（1），；（2），．【解答】解：（1）x2+12x+25＝0，x2+12x＝﹣25，x2+12x+36＝﹣25+36，（x+6）2＝11，x+6＝±，x+6＝或x+6＝﹣，，；（2）2x2+4x﹣1998＝0，x2+2x﹣999＝0，x2+2x＝999，x2+2x+1＝999+1，（x+1）2＝1000，x+1＝±10，x+1＝10或x+1＝﹣10，，．13．（2023•三明模拟）解方程：x2+3x﹣1＝0．答案:见试题解答内容【解答】解：这里a＝1，b＝3，c＝﹣1，∵△＝9+4＝13＞0，∴x＝，则x1＝，x2＝．1．（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（）A．a＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a＝3，b＝4，c＝﹣2答案:C【解答】解：∵3x2﹣2＝4x，∴3x2﹣4x﹣2＝0，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，故选：C．2．(2023秋•船营区校级期末）一元二次方程x2﹣7x＝0的解是（）A．x1＝x2＝7 B．x1＝x2＝﹣7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝﹣7答案:C【解答】解：x2﹣7x＝0，x（x﹣7）＝0，∴x＝0或x﹣7＝0，解得x1＝0，x2＝7，故选：C．3．(2023秋•滨海县期中）解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最适当的解法是（）A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法答案:B【解答】解：由于方程左边能够提取公因式分解因式，所以，解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最适当的解法是因式分解法，故选：B．4．(2023秋•