新教材高中数学9-1-1正弦定理课件新人教B版必修第四册

第九章解三角形9.1正弦定理与余弦定理9.1.1正弦定理新课程标准素养风向标1.通过对任意三角形的边长与角度关系的探索掌握正弦定理.2.能解决一些简单的三角形度量问题.1.通过直角三角形的边角关系推广到斜三角形的边角关系.(数学抽象)2.通过三角形的面积公式计算得到正弦定理.(数学建模)3.利用正弦定理计算三角形的边和角或者证明.(数学运算)基础预习初探1.回顾直角三角形中的边与角的关系:

是否为定值?提示:如图,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R为△ABC外接圆的半径,显然有

=2R(定值).2.在锐角或钝角三角形中边与角的关系:

是否为定值?提示:如图,锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,所以=CD=2R,同理=2R,=2R.得=2R(定值).同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.3.运用三角形的面积公式如何证明正弦定理?提示:由三角形的面积公式,得S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,等式都除以abc,得所以【概念生成】1.正弦定理在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,即

=2R(R为三角形外接圆的半径)2.正弦定理的变形公式由正弦定理,可以得到如下推论(变形公式):(1)a=________;(边化角公式)

b=________;

c=________.

2RsinA2RsinB2RsinC(2)sinA=____;(角化边公式)sinB=____;sinC=____.3.解三角形一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的若干元素求其他元素一般称为_________.解三角形核心互动探究探究点一利用正弦定理解三角形【典例1】1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,a=4

,b=4,则B= (

)A.30°或150° B.150°C.30° D.60°2.已知△ABC中,c=6cm,A=45°,C=30°,解三角形.【思维导引】1.由正弦定理求得sinB=

,根据a>b,由三角形中大边对大角可得B<60°,即可求得B.2.由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求边长.【思维导引】1.由正弦定理求得sinB=

,根据a>b,由三角形中大边对大角可得B<60°,即可求得B.2.由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求边长.【解析】1.选C.因为A=60°,a=4,b=4,由正弦定理,得sinB=因为a>b,所以B<60°,所以B=30°.2.由三角形内角和定理,得B=180°-(A+C)=105°,sin105°=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=根据正弦定理得a=(cm),b=(cm).【类题通法】利用正弦定理解三角形的注意事项1.如果已知三角形的两角和一边(即ASA或AAS)解三角形,那么通常运用正弦定理计算.2.注意三角形中大边对大角,大角对大边的关系以及应用.提醒:注意已知三角形两边和一边的对角即AAS解三角形,三角形可能有0个解或1个解或两个解.解决此类问题通常运用数形结合法.已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形

关系式①a=bsinA②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的个数一解两解无解一解无解【定向训练】1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,b=

,A=30°,若B为锐角,则A∶B∶C= (

)A.1∶1∶3 B.1∶2∶3C.1∶3∶2 D.1∶4∶1【解析】选B.因为a=1,b=,A=30°,B为锐角,所以由正弦定理得sinB=,则B=60°,所以C=90°,则A∶B∶C=1∶2∶3.2.已知△ABC中,a=2

,c=2

,A=45°,解三角形.【解析】因为a=2,c=2,A=45°,所以由正弦定理

得sinC=又0°<C<180°,得C=60°或C=120°.当C=60°时,B=75°,sin75°=b=2.已知△ABC中,a=2

,c=2

,A=45°,解三角形.【解析】因为a=2,c=2,A=45°,所以由正弦定理

得sinC=又0°<C<180°,得C=60°或C=120°.当C=60°时,B=75°,sin75°=b=当C=120°时,B=15°,sin15°=,b=探究点二利用正弦定理判断三角形的形状【典例2】1.若

,则△ABC是 (

)A.等腰直角三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等边三角形D.有一内角是30°的等腰三角形2.在△ABC中,已知

,则△ABC的形状是________三角形.

【思维导引】1.由正弦定理可得tanB=tanC=1,从而判断△ABC的形状.2.切化弦后,利用正弦定理判断.【解析】1.选A.在△ABC中,,则由正弦定理可得,即tanB=tanC=1,所以B=C=45°,A=90°,故△ABC为等腰直角三角形.2.由正弦定理得,即cosA=cosB,故A=B,所以△ABC为等腰三角形.答案:等腰【类题通法】判断三角形形状的常用方法及步骤(1)方法:化边为角或化角为边.(2)步骤:第一步,将题目中的条件,利用正弦定理化边为角或化角为边,第二步,根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系,进而确定三角形的形状.【定向训练】在△ABC中,如果lga-lgc=lgsinB=-lg

,且B为锐角,试判断此三角形的形状.【解题指南】由lgsinB=-lg

,可得sinB=

,求得B=45°.再由lga-lgc=-lg

可得

,可由正弦定理求角.【解析】因为lgsinB=-lg,所以sinB=,又因为B是锐角,所以B=45°.因为lga-lgc=-lg,所以

,由正弦定理得,得2sin(135°-C)=sinC,即2(sin135°cosC-cos135°sinC)=sinC,所以cosC=0,所以C=90°,所以A=B=45°,所以△ABC是等腰直角三角形.探究点三计算三角形的面积【典例3】已知△ABC中,sinCcosA=

,cosCsinA=-

.(1)求sinA的值.(2)设AC=

,求△ABC的面积.【思维导引】(1)由条件联立方程组,消去C得sinA.或求得sin(C-A)与sin(C+A)再计算sinA.(2)由正弦定理求BC,再计算S△=

absinC.【解析】(1)方法一:在△ABC中sinCcosA=,cosCsinA=-.得cosC=-,所以C为钝角,A为锐角.所以

,得

两边平方得

整理,得=0,所以sin2A=,又sinA>0,所以sinA=.方法二:在△ABC中,sinCcosA=,cosCsinA=-.所以sinCcosA-cosCsinA=1,sinCcosA+cosCsinA=,即sin(C-A)=1,sin(C+A)=sinB=,所以C-A=,且C+A=π-B,所以A=所以sinA=所以sin2A=,又sinA>0,所以sinA=.(2)由题知sinB=sin(A+C)=sinCcosA+cosCsinA=cosB=由正弦定理,得BC=又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=所以S△ABC=AC·BC·sinC=【类题通法】求三角形面积的方法(1)如果已知三角形的两边和夹角(SAS),直接代入三角形的面积公式计算.(2)如果已知三角形的两角和一边(ASA、AAS),利用正弦定理计算边长,转化为SAS计算三角形的面积.【定向训练】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2

,a>b,C=

,tanA·tanB=6.(1)求a,b的值.(2)计算△ABC的面积.【解题指南】已知条件已给出tanA·tanB=6,利用两角和的正切公式可得tanA+tanB,从而可得tanA、tanB的值,进而求得sinA,sinB的值,再利用正弦定理可求得a,b及三角形的面积.【解析】(1)由C=,tanA·tanB=6,得tanA+tanB=tan(A+B)·(1-tanA·tanB)=-tanC(1-6)=-tan×(-5)=5.又tanA>0,tanB>0,则A,B皆为锐角,又a>b,则tanA>tanB,得tanA=3,tanB=2.所以sinA=,sinB=由正弦定理得a=(2)由(1)得S△ABC=absinC=【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=tanB=

,cosA=

.(1)求sinC的值.(2)求△ABC的面积.【解题指南】(1)由B=

,cosA=

,求sinC=sin(

-A).(2)由正弦定理求a,再计算S△=

absinC.【解析】(1)因为A,B,C为△ABC的内角,且tanB=,得B=,且cosA=,所以C=-A,sinA=,所以sinC=

(2)由(1)知sinA=,sinC=,又因为b=tanB=,所以在△ABC中,由正弦定理,得a=.所以△ABC的面积S=absinC=【课堂小结】课堂素养达标1.在△ABC中,a=

b,A=120°,则角B的大小为 (

)A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选A.由正弦定理得sinB=,因为A=120°,得B=30°.2.在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是 (

)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形【解析】选B.在△ABC中,a=bsinA,由正弦定理,得=b=,则sinB=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.3.在△ABC中,A=60°,a=

,b=2,那么满足条件的△ABC (

)A.有一个解 B.有两个解C.无解 D.不能确定【解析】选A.因为b=2,a=,所以b<a,而A是锐角.故B是锐角,因此△ABC只有一解.4.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=

,cosB=,b=3,则c=________.

【解析】由已知条件可得sinA=,sinB=,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,根据正弦定理,得c=.答案:

Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏3.在△ABC中,A=60°,a=

,b=2,那么满足条件的△ABC (

)A.有一个解 B.有两个解C.无解 D.不能确定【解析】选A.因为b=2,a=,所以b<a,而A是锐角.故B是锐角,因此△ABC只有一解.课堂素养达标1.在△ABC中,a=

b,A=120°,则角B的大小为 (

)A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选A.由正弦定理得sinB=,因为A=120°,