新教材高中数学11-2平面的基本事实与推论课件新人教B版必修第四册

11.2平面的基本事实与推论基础预习初探1.直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内?有两个公共点呢?2.观察图中的三脚架,你能得出什么结论?继续探究:(1)三点确定一个平面吗?提示:当三点在一条直线上时,不能确定一个平面,当三点不在同一条直线上时,确定一个平面.(2)直线和平面都是由点组成的,联系集合的观点,点和直线、平面的位置关系,如何用符号来表示?直线和平面呢?提示:点和直线、平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示,直线和平面的位置关系,可用数学符号“⊂”或“⊄”表示.【概念生成】平面的基本事实及推论基本事实内容图形符号基本事实1经过_______________的3个点,有且只有一个平面

A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α不在一条直线上基本事实2如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在这个平面内

A∈l,B∈l,且____________⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条_________________

____________⇒α∩β=l,且P∈l两个点过该点的公共直线A∈α,B∈αP∈α,P∈β推论1经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面(图①).推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②).推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③).核心互动探究探究点一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【典例1】根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l⊂α,m⊄α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.【思维导引】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”“∉”“⊂”“⊄”“∩”的意义,在此基础上,由符号表示已知语句,写出相应的点、线、面的位置关系,画出图形.【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内;(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上;(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1),(2),(3)所示.【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内;(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上;(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1),(2),(3)所示.【类题通法】文字语言、图形语言、符号语言的应用1.用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示.3.由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.【定向训练】如图所示,用符号语言可表示为 (

)

A.α∩β=l B.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄α D.α∥β,l⊂α【解析】选D.显然题干图中α∥β,且l⊂α.探究点二点、线共面问题【典例2】已知四条直线两两相交,且不共点,求证:这四条直线在同一平面内.【思维导引】四条直线两两相交且不共点,可能有两种情况:一是有三条直线共点;二是任意三条直线都不共点.【解析】已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点,求证:a,b,c,d四线共面.证明:(1)若a,b,c三线共点于O,如图所示,因为O∉d,

所以经过d与点O有且只有一个平面α.因为A,B,C分别是d与a,b,c的交点,所以A,B,C三点在平面α内.由基本事实2知a,b,c都在平面α内,故a,b,c,d共面;(2)若a,b,c,d无三线共点,如图所示,

因为a∩b=A,所以经过a,b有且仅有一个平面α,所以B,C∈α.由基本事实2知c⊂α.同理,d⊂α,从而有a,b,c,d共面.综上所述,四条直线两两相交,且不共点,这四条直线在同一平面内.(2)若a,b,c,d无三线共点,如图所示,

因为a∩b=A,所以经过a,b有且仅有一个平面α,所以B,C∈α.由基本事实2知c⊂α.同理,d⊂α,从而有a,b,c,d共面.综上所述,四条直线两两相交,且不共点,这四条直线在同一平面内.【类题通法】证明多线共面的两种方法1.方法一:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线也在这个平面内.2.方法二:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.【定向训练】一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面.【证明】已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c,l共面.证明:方法一:因为a∥b,所以a,b确定一个平面α,因为A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,故l⊂α.又因为a∥c,所以a,c确定一个平面β.同理可证l⊂β,所以α∩β=a且α∩β=l.因为过两条相交直线a,l有且只有一个平面,故α与β重合,即直线a,b,c,l共面.方法二:由方法一得a,b,l共面α,也就是说b在a,l确定的平面α内.同理可证c在a,l确定的平面α内.因为过a和l只能确定一个平面,所以a,b,c,l共面.探究点三交线问题【典例3】如图,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线:(1)过点G及AC;(2)过三点E,F,D1.【思维导引】找两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平面的交线.【解析】(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①.(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②.【类题通法】画截面图形的方法画截面截得正方体的截面图形,关键是利用好三个基本事实,找到两个平面上的公共点是解决此类问题的突破口.【定向训练】如图,在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l:(1)画出交线l;(2)设l∩A1B1=P,求PB1的长.【解析】(1)如图,延长DM,D1A1,交于点Q,则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点.连接QN,则直线QN就是交线l;(2)因为M是AA1的中点,MA1∥DD1,所以A1是QD1的中点.又A1P∥D1N,所以A1P=D1N.因为N是D1C1的中点,所以A1P=D1C1=,所以PB1=A1B1-A1P=a.【补偿训练】在平面α外,△ABC三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.【证明】方法一:因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由基本事实3可知:点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.所以P,Q,R三点共线.方法二:因为AP∩AR=A,所以直线AP与直线AR确定平面APR.又因为AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因为B∈平面APR,C∈平面APR,所以BC⊂平面APR.因为Q∈BC,所以Q∈平面APR,又Q∈α,所以Q∈PR,所以P,Q,R三点共线.【课堂小结】课堂素养达标1.若点A在平面α内,直线a在平面α内,点A不在直线a上,用符号语言可表示为 (

)A.A∈α,a⊂α,A∉aB.A∈α,a∈α,A∉aC.A⊂α,a⊂α,A∉aD.A∈α,a⊂α,A⊄a【解析】选A.点与线、面的关系用∈、∉;线与面的关系用⊂、⊄.B选项中,“a∈α”错误;C选项中“A⊂α”错误;D选项中“A⊄a”错误.2.若两个不重合的平面有公共点,则公共点有 (

)A.1个B.2个C.1个或无数个D.无数个且在同一条直线上【解析】选D.利用基本事实3可知如果两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么 (

)A.l⊂α B.l⊄αC.l∩α=M D.l∩α=N【解析】选A.因为M∈a,N∈b,a,b⊂α,所以M,N∈α,根据基本事实2可知l⊂α.4.由4条平行直线最多可以确定 (

)A.2个平面 B.4个平面C.5个平面 D.6个平面【解析】选D.本题从确定平面的条件来考虑即可,要使四条平行直线确定的平面最多,只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多,从而得到结果.由确定平面的条件知,由4条平行直线最多可以确定6个平面.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么 (

)A.l⊂α B.l⊄αC.l∩α=M D.l∩α=N【解析】选A.因为M∈a,N∈b,a,b⊂α,所以M,N∈α,根据基本事实2可知l⊂α.课堂素养达标1.若点A在平面α内,直线a在平面α内,点A不在直线a上,用符号语言可表示为 (

)A.A∈α,a⊂α,A∉aB.A∈α,a∈α,A∉aC.A⊂α,a⊂α,A∉aD.A∈α,a⊂α,A⊄a【解析】选A.点与线、面的关系用∈、∉;线与面的关系用⊂、⊄.B选项中,“a∈α”错误;C选项中“A⊂α”错误;D选项中“A⊄a”错误.【概念生成】平