新教材高中数学第八章立体几何初步8-6-2直线与平面垂直一素养课件新人教A版必修第二册

8.6.2直线与平面垂直(一)

【情境探究】1.观察图中书脊所在直线与桌面的位置关系.

问:书脊所在直线与桌面的位置关系是什么?提示:垂直.必备知识生成2.如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c,…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗?为什么?

提示:不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c,…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c,…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交或平行.3.请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(1)问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直?

提示:从试验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直.(2)由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,你能得到什么结论?提示:若一条直线与平面内两条相交直线垂直,则该直线垂直这个平面.4.直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?提示:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角α的范围是0°≤α≤90°.【知识生成】1.直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面α内的_____________都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的_____,平面α叫做直线l的_____,它们唯一的公共点P叫做_____图示

画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条直线垂线垂面垂足2.直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的_____________垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,_____=P⇒l⊥α图形语言

两条相交直线a∩b2.直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的_____________垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,_____=P⇒l⊥α图形语言

两条相交直线a∩b3.直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α_____,但不和平面α_____,图中_______

斜足斜线和平面的_____,图中____射影过斜线上斜足以外的一点向平面引_____,过_____和_____的直线叫做斜线在这个平面上的射影,图中斜线PA在平面α上的射影为直线___相交垂直直线PA交点点A垂线垂足斜足AO直线与平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,图中______.规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是_____;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是____取值范围设直线与平面所成的角为θ,则0°≤θ≤90°∠PAO90°0°关键能力探究探究点一直线与平面垂直的定义及应用【典例1】(1)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是 (

)①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.

A.①③ B.② C.②④ D.①②④(2)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 (

)A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥m,m⊂α,则l∥α【思维导引】根据线面平行、垂直的定义来判定.【思维导引】根据线面平行、垂直的定义来判定.【解析】(1)选A.因为三角形的任意两边是相交的,所以①可以保证线面垂直.因为梯形的上下两边是平行的,此时不相交,所以②不一定能保证线面垂直.因为圆的任意两条直径必相交,所以③可以保证线面垂直.若直线垂直于正六边形的两条对边,此时两条对边是平行的,所以④不一定能保证线面垂直.(2)选B.对于A,由l⊥m及m⊂α可知,l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m可能平行或异面,故C错误;对于D,有可能l⊂α,故D错误.【类题通法】直线与平面垂直的定义的“双向”作用

(1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,该直线与已知平面垂直.即线线垂直⇒线面垂直.(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直⇒线线垂直.【定向训练】如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内 (

)A.不存在与l垂直的直线B.存在一条与l垂直的直线C.存在无数条与l垂直的直线D.任一条都与l垂直【解析】选C.平面α内与l在α内的射影垂直的直线,垂直于直线l,这样的直线有无数条,故A,B不正确,C正确;若在平面α内,任一条都与l垂直,则直线l与平面α垂直,与题设矛盾,故D不正确.探究点二线面垂直判定定理的应用【典例2】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.

(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.【思维导引】题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,AB⊥BC,D是AC的中点,要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直,故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系,要证(2),需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直,而(1)的结论可利用.【证明】(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中,有AD=DC=DB,所以△SDB≌△SDA,所以∠SDB=∠SDA=90°,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD,且AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.【类题通法】证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用).②判定定理最常用(有时作辅助线).(2)平行转化法(利用推论)①a∥b,a⊥α⇒b⊥α.②α∥β,a⊥α⇒a⊥β.【定向训练】1.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证AD⊥平面SBC.【证明】因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.因为AD⊂平面SAC,所以BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,所以AD⊥平面SBC.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD.【证明】(1)连接AC交BD于点O.连接EO,因为底面ABCD是正方形,所以点O是AC的中点.在△PAC中,因为E为PC的中点,所以EO是中位线,所以PA∥EO.而EO⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)因为PD⊥底面ABCD,且DC⊂底面ABCD,所以PD⊥DC.因为PD=DC,所以△PDC是等腰直角三角形,因为DE是斜边PC的中线,所以DE⊥PC.同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.因为底面ABCD是正方形,所以DC⊥BC,因为PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.因为PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以DE⊥PB.又EF⊥PB,且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD.探究点三直线与平面所成的角【典例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.

【思维导引】找出直线在平面内的射影,即得所求角.【解析】(1)连接AC,因为直线A1A⊥平面ABCD,所以∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,设A1A=1,则AC=,所以tan∠A1CA=.(2)连接A1C1交B1D1于O,连接BO,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,因为BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1,又BB1∩B1D1=B1,所以A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O.所以∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,在Rt△A1BO中,A1O=A1C1=A1B,所以∠A1BO=30°,即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.【类题通法】求直线与平面所成角的步骤

(1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角或直角).(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.【定向训练】1.(2019·天津高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3,(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD.(2)求证:PA⊥平面PCD.(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【解题指南】(1)连接BD,结合平行四边形的性质,以及三角形中位线的性质,得到GH∥PD,利用线面平行的判定定理证得结果.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN⊥PA,利用线面垂直的判定定理证得结果.(3)利用线面角的定义得到∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角,放在直角三角形中求得结果.【解析】(1)连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH,又由BG=PG,故GH∥PD,又因为GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,故DN⊥PA,又因为PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.(3)连接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN=所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,求侧棱与底面所成角的余弦值.【解析】如图,设正三棱锥的底面边长为a,则侧棱长为2a.设O为底面中心,则∠SAO为SA与平面ABC所成的角.在Rt△SOA中,因为AO=所以cos∠SAO=即侧棱与底面所成角的余弦值为.3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为棱AB的中点,求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值.【解析】连接AC交BD于点O,过E作EO1∥AC交BD于点O1,易证AC⊥平面BB1D1D,所以EO1⊥平面BB1D1D,所以B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影,所以∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,因为E是AB的中点,EO1∥AC,所以O1是BO的中点,所以EO1=所以tan∠EB1O1=【补偿训练】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,∠PDA=30°,O,E,F分别是AC,AB,PC的中点.(1)证明:平面EFO∥平面PAD.(2)证明:FO⊥平面ABCD.(3)求EF与平面ABCD所成角的大小.【解题指南】(1)要证面面平行,可先证线面平行,也可证一个平面内有两条相交直线与另一平面的两条直线分别平行,题中利用中位线定理可得线线平行,从而证得面面平行.(2)由(1)得FO∥PA,再结合PA⊥平面ABCD,可得.(3)由线面所成角的定义知∠FEO为所求角,解三角形可得.【解析】(1)在△PAC中,因为F,O分别为PC,AC的中点,所以FO∥PA,在△ABC中,因为E,O分别为AB,AC的中点,所以EO∥BC,又BC∥AD,所以EO∥AD,又因为EO∩FO=O,所以平面EFO∥平面PAD.(2)因为PA⊥平面ABCD,又由(1)知PA∥FO,因此FO⊥平面ABCD.(3)因为FO⊥平面ABCD,所以∠FEO即为EF与平面ABCD所成的角,又FO=PA,EO=AD,所以∠FEO=∠PDA=30°,即EF与平面ABCD所成角的大小为30°.【课堂小结】课堂素养达标1.1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 (

)

A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC【解析】选C.由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为 (

)

A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定【解析】选B.易证AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC为直角三角形.3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为 (

)A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选C.如图,连接AC.因为PA⊥平面ABCD,所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.因为AC=,所以tan∠PCA=所以∠PCA=60°.4.设PA与平面α所成角为θ,斜线段PA=l,则它在平面α内的射影长为________.

【解析】如图,PA=l,PO⊥α,∠PAO=θ,所以AO=lcosθ.答案:lcosθThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏【解析】选C.如图,连接AC.因为PA⊥平面ABCD,所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.因为AC=,所以tan∠PCA=所以∠PCA=60°.2.如图所示,定点A和