高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（7）：不等式

高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（七）：不等式第一节不等关系与不等式一、必记4个知识点1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔①________.(2)a＝b⇔a－b＝0.(3)a<b⇔②________.2．不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔③________.(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒④________.(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c.(双向性)(4)同向可加性：a>b，c>d⇔⑤________.(单向性)(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(6)a>b>0，c>d>0⇒⑥________.(单向性)(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．(单向性)(8)开方法则：a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．(单向性)3．倒数性质(1)ab>0，则a<b⇔eq\f(1,a)>eq\f(1,b).(双向性)(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).4．有关分数的性质若a>b>0，m>0，则(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)二、必明2个易误点1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c.2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．三、技法1.用作差法比较两个实数大小的四步曲2.不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.3.利用不等式性质求范围(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.参考答案①a－b>0②a－b<0③b<a④a>c⑤a＋c>b＋d⑥ac>bd第二节一元二次不等式及其解法一、必记2个知识点1．一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于0.2．一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两不等实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①____________②____________③____________ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集④____________⑤____________⑥____________二、必明2个易误点1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R还是∅.三、技法1.解一元二次不等式的4个步骤2.含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集.3.一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤04.形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围.5.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法．把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解.参考答案①{x|x＜x1或x＞x2}②{x|x≠x1}③R④{x|x1＜x＜x2}⑤∅⑥∅第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、必记6个知识点1．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：(1)满足Ax＋By＋C＝0的点．(2)满足Ax＋By＋C>0的点．(3)满足Ax＋By＋C<0的点．2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的符号．3．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．5．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．6．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、必明2个易误点1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．三、技法1.平面区域面积问题的解题思路(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.2.求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．3．常见的3类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).[提醒]注意转化的等价性及几何意义.4.解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．5．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.第四节基本不等式一、必记3个知识点1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：①________.(2)等号成立的条件：当且仅当②________时取等号．(3)两个平均数：eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的③________，eq\r(ab)称为正数a，b的④________.2．几个重要不等式(1)a2＋b2≥⑤________(a，b∈R)．(2)ab≤⑥________(a，b∈R)．(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤⑦________(a，b∈R)．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥⑧________(a·b＞0)．(5)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．3．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当⑨________时，x＋y有最小值是⑩________(简记：“积定和最小”)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当⑪________时，xy有最大值是⑫________(简记：“和定积最大”)．二、必明2个易误点1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．三、技法1.配凑法的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；变形的目的是配凑出和或积为定值．2.常值代换法：根据已知条件或其变形确定定值(常数)，再把其变形为1，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．3.消元法：根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.4.利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到.5.利用基本不等式求解含参数的不等式的策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.参考答案①a＞0，b＞0②a＝b③算术平均数④几何平均数⑤2ab⑥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2⑦eq\f(a2＋b2,2)⑧2⑨x＝y⑩2eq\r(p)⑪x＝y⑫eq\f(s2,4)第五节合情推理与演绎推理必记知识点二、必明1个易误点演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．技法在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.归纳推理问题的常见类型及解题策略常见类型解题策略与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解与式子有关的推理观察每个式子的特点，找到规律后可解与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性运用三段论时的注意事项用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的三段论．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.参考答案=1\*GB3①归纳推理②全部对象③部分④个别⑤类比推理⑥这些特征⑦由特殊到特殊⑧一般原理⑨对象⑩特殊问题⑪一般⑫特殊第六节直接证明与间接证明一、必记3个知识点1．综合法一般地，利用①______________________，经过一系列的②________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3)→…→eq\x(Qn⇒Q)2．分析法一般地，从要③________出发，逐步寻求使它成立的④________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明的方法叫做分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P2⇐P3)→…→eq\x(得到一个明显成立的条件)3．反证法一般地，假设⑤____________，经过正确的推理，最后得出⑥________，因此说明⑦________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．二、必明2个易误点1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．三、技法1.利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．2．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法.4.反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立．(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)参考答案=1\*GB3①已知条件和某些数学定义、公理、定理等②推理论证③证明的结论④充分条件⑤原命题不成立⑥矛盾⑦假设错误第七节数学归纳法一、必记3个知识点1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出①________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为②________归纳法和③________归纳法．2．数学归纳法数学归纳法：一个与自然数相关的命