高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（8）：立体几何

高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（八）第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图一、必记4个知识点1．空间几何体的结构特征(2)旋转体的结构特征：几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形⑦__________所在的直线圆锥直角三角形⑧__________所在的直线圆台直角梯形⑨__________所在的直线球半圆⑩__________所在的直线2.空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称：(ⅰ)形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的⑪________和⑫________是完全相同的．(ⅱ)名称：三视图包括⑬______、⑭______、⑮________.(2)三视图的画法：(ⅰ)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成⑯______.(ⅱ)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的⑰______方、⑱______方、⑲______方观察几何体画出的轮廓线．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面：在已知图形中取互相垂直的x轴，y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝⑳________，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度eq\o(○,\s\up1(21))______，平行于y轴的线段，长度eq\o(○,\s\up1(22))______.(2)画几何体的高：在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．4．正棱柱、正棱锥的结构特征(1)正棱柱：侧棱eq\o(○,\s\up1(23))________于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是eq\o(○,\s\up1(24))________的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是eq\o(○,\s\up1(25))________，侧棱eq\o(○,\s\up1(26))________于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．二、必明3个易误点1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．三、技法1.空间几何体结构特征的解题策略(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.2.3.根据几何体确认三视图的技巧由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．4．根据三视图还原几何体的技巧策略(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．参考答案①平行且相等②全等③多边形④公共点⑤平行于底面⑥相似⑦任一边⑧任一直角边⑨垂直于底边的腰⑩直径⑪形状⑫大小⑬正视图⑭侧视图⑮俯视图⑯虚线⑰正前⑱正左⑲正上⑳45°(或135°)eq\o(○,\s\up1(21))不变eq\o(○,\s\up1(22))减半eq\o(○,\s\up1(23))垂直eq\o(○,\s\up1(24))正多边形eq\o(○,\s\up1(25))正多边形eq\o(○,\s\up1(26))垂直第二节空间几何体的表面积和体积一、必记4个知识点1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝①________V＝②________＝③________圆锥S侧＝④________V＝⑤________＝⑥________＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝⑦________V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S侧＝⑧________V＝⑨________正棱锥S侧＝⑩________V＝⑪________正棱台S侧＝⑫________V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝⑬________V＝⑭________2.长方体的外接球(1)球心：体对角线的交点．(2)半径：r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c为长方体的长、宽、高)．3．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(\r(3),2)a(a为正方体的棱长)．(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(a,2)(a为正方体的棱长)．(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(\r(2),2)a(a为正方体的棱长)．4．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝eq\f(\r(6),4)a(a为正四面体的棱长)．(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝eq\f(\r(6),12)a(a为正四面体的棱长)．二、必明3个易误点1．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．3．易混侧面积与表面积的概念．三、技法1.几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.2.空间几何体体积的求法(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.3.空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截图，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.参考答案①2πrh②Sh③πr2h④πrl⑤eq\f(1,3)Sh⑥eq\f(1,3)πr2h⑦π(r1＋r2)l⑧Ch⑨Sh⑩eq\f(1,2)Ch′⑪eq\f(1,3)Sh⑫eq\f(1,2)(C＋C′)h′⑬4πR2⑭eq\x(\f(4,3)πR3)第三节空间点、直线、平面之间的位置关系一、必记6个知识点1．平面的基本性质表示公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2①__________的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有②______过该点的公共直线eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(P∈αP∈β))⇒α∩β＝l，且P∈l2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：eq\x(位置,关系)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(③直线：同一平面内，,有且只有一个公共点；,④直线：同一平面内，,没有公共点；)),异面直线：不同在⑤内，没有公共点.))(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线⑥________.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角⑦________.(3)异面直线所成的角：①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的⑧________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：⑨____________.3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交⑩________1个平行⑪________0个在平面内⑫________无数个平面与平面平行⑬________0个相交⑭________无数个4.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．6．确定平面的三个推论(1)经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．(2)两条相交直线确定一个平面．(3)两条平行直线确定一个平面．二、必明2个易误点1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．三、技法1.证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．2．点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.3.异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.4.求异面直线所成的角的三步曲[提醒]在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.参考答案①过不在一条直线上②一条③相交④平行⑤任何一个平面⑥平行⑦相等或互补⑧锐角(或直角)⑨eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))⑩a∩α＝A⑪a∥α⑫a⊂α⑬α∥β⑭α∩β＝l第四节直线、平面平行的判定和性质一、必记3个知识点1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为①______，______，______，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为②______，______，______，所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为③______，______，______，______，______，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为④______，______，______，所以a∥b3.平行关系中的两个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.二、必明3个易误点1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．三、技法1.判定线面平行的4种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．解决直线与平面平行的3个思维趋向(1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线．(2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等．(3)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.3.判定平面与平面平行的5种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．(5)利用向量法，通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行.4.平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，即先确定点的位置，把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行．5．这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.参考答案①l∥aa⊂αl⊄α②l∥αl⊂βα∩β＝b③a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α④α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b第五节直线、平面垂直的判定和性质一、必记6个知识点1．直线与平面垂直(1)定义：直线l与平面α内的①________一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的④________叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．平面与平面垂直(1)二面角：从一条直线出发的⑤________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作⑥________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．4．平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是⑦________，就说这两个平面互相垂直．5．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α6.垂直关系中的两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．二、必明3个易误点1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．三、技法1.判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理.2.面面垂直的证明方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．[提醒]两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注意“平面内的直线”.3.对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法.参考答案①任意②a∩b＝O③a⊥αb⊥α④锐角⑤两个半平面⑥垂直于棱⑦直二面角⑧l⊥αl⊂β⑨α∩β＝a第六节空间向量及其运算一、必记3个知识点1．空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相①________共面向量平行于②________的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使③________共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝④________空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝⑤________推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝12.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：(ⅰ)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(ⅱ)a⊥b＝⑥____________(a，b为非零向量)．(ⅲ)|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝⑦____________向量差a－b＝⑧____________数量积a·b＝⑨____________共线a∥b⇒⑩____________(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔⑪____________夹角公式cos〈a，b〉＝⑫____________________3.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l⑬________或⑭________，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的⑮________向量a，则向量a叫做平面α的法向量．二、必明4个易误点1．共线向量定理中a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb易忽视b≠0.2．共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量．4．利用空间向量证明空间平行与垂直关系时，书写步骤时一定明确判定定理的条件，否则，会犯步骤不规范的错误．三、技法1.用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.2.证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，①如证明A，B，C三点共线，即证明Aeq\o(B,\s\up6(→))，Aeq\o(C,\s\up6(→))共线，亦即证明Aeq\o(B,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ≠0)；②A，B，C三点共线，对空间内任意一点O，有Oeq\o(A,\s\up6(→))＝(1－t)Oeq\o(B,\s\up6(→))＋teq\o(OC,\s\up6(→)).3.证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明Peq\o(A,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或对空间任一点O，有Oeq\o(A,\s\up6(→))＝Oeq\o(P,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或Oeq\o(P,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可.4.空间向量数量积的计算方法(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.5．数量积的应用(1)求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.6.用空间向量证平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：证明两平面的法向量平行(即为共线向量)．7．用空间向量证垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.参考答案①平行或重合②同一平面③a＝λb④xa＋yb⑤xa＋yb＋zc⑥a·b＝0⑦(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)⑧(a1－b1，a2－b2，a3－b3)⑨a1b1＋a2b2＋a3b3⑩a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3⑪a1b1＋a2b2＋a3b3＝0⑫eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))⑬平行⑭重合⑮方向第七节立体几何中的向量方法一、必记4个知识点1．异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围[0，π]①____________求法cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝|cosβ|＝②____________2.直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝③________________.3．二面角的求法(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．①②③(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．4．空间距离的求法(1)利用|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))可以求