第06讲点面、线面、面面、异面直线的距离（核心考点讲与练）高二数学（沪教版2020必修三）（解析版）

第06讲点面、线面、面面、异面直线的距离（核心考点讲

与练）

Q方法技巧

点到平面的距离求解方法：直接作出点到平面的垂线段，然后求出垂线段的长度，而在作点

面垂直时，通常先找面面垂直，然后作两个面交线的垂线，利用面面垂直的性质，即可找出

垂线段。

空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距

离.在这些距离当中，点到平面的距离显得尤为重要，在高考中也经常出现，并且线线距离、

线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解。因此，点面距离就成了这一类距

离问题的交汇点。

Q考点精讲

题型一：点面距离

一、单选题

1.（2021・上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）若三角形AABC三个顶点到平面a的

距离分别为3、6、9,记“ABC的重心为G,则点G到平面a的距离为（）

A.2、6B.4、6C.2、4、6D.0、2、4、6

【答案】D

【分析】设4（占,乂，4）,B（X2，y2,z2）,C（x3,y3,z3）,G（x,y,z）平面My为平面a,根据重

心坐标公式结合符号即可求解.

【详解】设A（Xi，y,zJ,S（x,,y2,z2）,C（x3,y3,z3）,G（x,y,z）平面xOy为平面a,

z++z

则㈤=3,%|=6,闾=9,z=i^3

当Z|=3,z2=6,Z3=9时，z=9+彳+=6;

当Z|=-3,z2=6,Z3=9时，z=4+：+、=4.

当Z|=-3,z2=-6,Z3=9时，z=r+；+二=0；

当Z|=-3,z2=-6,Z3=-9时，z=4+；+z，=-6：

当Z|=3,z?=6,Z3=-9时，z=4+Z2+Z3_0_

当Z|=3,z2=-6,z3=9时，z=r+：+=2；

当Z|=3,z2=-6,Z3=-9时，z=%+；+z，=-4；

当4=-3,Z2=6,z?=-9时，z=r+：+-'=—2：

综上所述：点G到平面a的距离为0、2、4、6

故选：D

二、填空题

2.（2021・上海中学高二期中）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点。，空间中一点P

到三个平面的距离分别为3、4、5,则OP的长为

【答案】5血

【分析】根据题设描述可得示意图，即OP为一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的体

对角线，即可求OP的长.

【详解】由题意可得如下示意图：

即OP为一个长方体的体对角线，且长方体的长、宽、高分别为5、3、4,

OP=A/52+32+42=5^2，

故答案为：5夜.

3.（2021•上海市复兴高级中学高二期中）我们知道，在平面几何中，已知AABC三边边长

分别为a、b、c,面积为S,在内一点到三条边的距离相等设为r，则有;（a+b+c）=S.

现有三棱锥A-BC3的两条棱AB=C£>=6,其余各棱长均为5,三棱锥内有一点。

到四个面的距离相等，则此距离等于

【分析】求出三棱锥的体积，利用体积法匕BC"+/-«)=4%-8可

求得此距离.

【详解】如图，设E是8中点，连接AE,8E,

因为AC=AO=8C=6Z)=5,所以C£>_LBE,8_LAE,

AE^\BE=B,AE,BEu平面ME,所以CD_L平面ME,

乂AB=CD=6>AE=BE=^5~-32=4，

所以£,BE=gAB卜E2-(；AB)=；x6xJ4L32=3"

V

ABCD=VC-ABF.+VD-ABI-=gCE,区八陀+gOE,§诋=g8,S-跖=gx6x3g=6",

s,ACD=1cDA£=lx6x4=12,由题意四个面面积相等，

设。到四个面的距离为R,

=

VABCD=^O-ACB+^O-ACD+^O-ABD+^O-BCD~^O-ACD4x—/?xl2=l6R=6币,

R2

8

故答案为：主巨.

8

4.（2021.上海市七宝中学高二期中）在棱长为1的正方体AB8-A8CQ中，G到平面

B、BD的距离为.

【答案】—

2

【分析】设G到平面旦B力的距离为〃，先求出力一%。，再利用等体积法，通过％-g"=%-明。

求出〃.

【详解】如图，设G到平面的距离为力，

勿一期c=；xOCxS△叫c=gxlx；xlxl=q,

又%-明。=%-叫C=q

得八变.

2

故答案为：变

5.（2021•上海市南洋模范中学高二期中）已知线段A3在平面a外，A、B两点到平面a的

距离分别为1和3,则线段A8的中点到平面a的距离为.

【答案】1或2.

【分析】根据45两点与平面a的位置关系，进行分类分析，利用梯形、三角形的中位线性

质，可以求出线段48的中点M到平面a的距离.

【详解】解：由题可知，A、8两点到平面a的距离分别为1和3,

设线段48的中点为

当线段AB的端点4B在平面a的同侧，如下图：

根据梯形中位线性质可知：线段的中点M到平面a的距离为m=2；

当线段AB的端点AB在平面a的异侧，如下图：

根据三角形中位线性质可知：线段AB的中点M到平面a的距离为号-1=1,

所以线段AB的中点到平面a的距离为1或2.

故答案为：1或2.

6.（2021・上海•闵行中学高二阶段练习）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂

直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，

在堑堵ABC-ABC中，AB=BC,\A>AB,堑堵的顶点C到直线力。的距离为机，C到

平面A.BC的距离为〃，则竺的取值范围是.

n

【答案】（岁,夜）.

【分析】设AB=1,4A=”,利用等面积法和等体积法求出〃，?〃关于。的不等式，根据。

的范围得出'的值.

n

【详解】设AB=8C=1,AA,=a(a>l),

则AC=&，AC=^/7/，AB=J71T,且B到平面ACGA的距离为孝

AGCG6a1，/+]

，S.=-xA.BxBC=——

=5I+,2nr212

.[/1+1

•♦%-ASC=§cA5c.〃二―—〃，

乂%ABC=%—AGC=ISAAGC-4=gx；x&xax等=1,

J〃2+1

42

>1,—<2—-——<2,

3a2+2

.•・亚＜竺＜上.

3n

故答案为：(苧,0).

【点睛】本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题.

三、解答题

7.(2021.上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习)如图，三棱柱ABC-AgG的底面

是等腰直角三角形，ZACB=ZBCCi=90°,四边形ACCA是菱形，ZACC/=120°.

(1)证明：A/C1AB/；

⑵若4c=2,求点。到平面ABBIAI的距离.

【答案】⑴证明见解析⑵酒

7

【分析】⑴连接AG可得5CL平而ACC/,所以ACLBC,再由BC/BG，得ACL.

得AC，平面A4G，由阴U平面ABC可得答案；.(2)利用等体积法求点C/到平面44B/

的距离，由此可得答案.

(1)连接AG，因为四边形AACG为菱形，所以Aq_L4C,

因为8CLAC,BC1CC,,ACC\CC,=C,AC,CQu平面ACC4,

所以BC_L平面ACGA，且ACu平面ACGA，所以AC^BC,

因为BC〃B£,所以A。，耳G，

又因为AGc8|C|=£,4GBe।u平面AB©，

所以AC_L平面AB£,

又A4u平面A8C，所以ACLAB-

⑵点。到平面AB8小的距离与点C/到平面AA向的距离相等，即三棱锥G-AA4的底面

明片上的高，设点C/到平面A8BA的距离为"，则匕…=乐9』，

由⑴4GJ•平面ACGA，

•••三棱锥C,-AAtBt的底面AAG上的高为BC，

1•=§SaMG8[C],

vAC=2,AMC为等腰直角三角形，四边形ACC*/是菱形，

BC=2,A4,=AG=2,又NACC/=120。

B1G=2,41G的面积S.MG=G，

.v—空

由例=AG=2,24。。=120。可得4。1二26，

,/B]G=2,

*'•A31=4,又AA]=2,AB[=2A/2

cos=sinZA^AC=,

.・.△相声的面积近，

・・,空二币d,

3

*/2历

・♦a-----

7

8.（2021.上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知正三棱锥P-ABC的体积为726,侧

面与底面所成二面角的大小为60.

AC

B

(1)证明：PALBC；

(2)求底面中心。到侧面的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)3

【分析】(1)取8c的中点O,连接A。、PD,根据线面垂直的判定和性质可得证；

(2)由(I)得是侧面与底面所成的二面角的平面角，过点。作OE_LP£),E为垂

足，则OE的长就是点。到侧面的距离，利用棱锥的体积公式可求得答案.

(1)证明：取8c的中点。，连接A。、PO,则AD_L8C,PD_L8C,

又AOIPD=O,所以BCJ•平面APD所以RALBC.

(2)解：如图，由(1)得平面PBC1.平面APZ),山NPNM是侧面与底面所成的二面角的平

面角，过点。作OE_LPD,E为垂足，则。E的长就是点。到侧面的距离，

设0E为/?,由题意得点。在AD上，所以NPDO=6()°,OP=2〃.

22

又0D=^，:.BC=4h,Si/18C=—(4/Z)=4^/?,

所以72月=--46层.2h=更h\:.h=3.

33

所以底面中心。到侧面的距离为3.

9.(2021.上海市行知中学高二期中)如图，A8是圆柱00’的一条母线，3c是底面的一条

直径，。是圆。上一点，且A8=BC=5,CD=3.

(2)求点B到平面ACD的距离.

【答案】⑴25万⑵空日

41

【分析】(1)利用圆柱的侧面积公式计算出侧面积.

(2)利用等体积法求得B到平面ACD的距离.

(1)圆柱的底面半径为|■，高为5,

所以圆柱的侧面积为2%x[x5=25万.

(2)8C是圆0的直径，所以

BDAS4=4,

V.„rD=-x—x3x4x5=10.

根据圆柱的几何性质可知ABVCD,

由于所以C£>J>平面A8D,

所以CE>_LAD.

AD=+52=5/41,

s小=夫3*曰=^^'

设5到平面AC。的距离为/?,

miiv_,,Hn13\/442020r-r

则%-sc。—VB_ACD>t'P—x---xh=10,h=i=—A/41.

32V4141

题型二：线面距离

一、填空题

1.(2021・上海・华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习)正方体A8CC-A/B/GO/的

棱长为1，则直线8Q到平面ABCD的距离是

【答案】I

【分析】由直线到平面的距离转化为点到平面的距离结合正方体的性质可得.

【详解】由正方体的性质可知，4G〃平面ABCQ,

所以直线BC到平面ABCD的距离即为到平面ABCD的距离，

正方体的性质知B,到平面ABCD的距离为1,即直线B,C：到平面ABCD的距离为1.

故答案为：1.

2.（2021・上海•位育中学高二阶段练习）在棱长为2的正方体中，直线8c

到平面ARC的距离为.

【答案】垃.

【分析】根据4G//平面AAC，将直线8/。到平面A的距离转化为。到平面A〃c的

距离，进而解出答案.

【详解】如图，在棱长为2的正方体ABC。-AAGA中，取C"的中点E,连接£E,则

C.EICD,,且=

又AR1平面CD0C，GEu平面CDAG，所以而ARCCR=£>|,

所以GE1平面AQC，

易知用CJ/平面APC，则。到平面ARC的距离即为直线B/G到平面ARC的距离，

所以直线以。到平面aAC的距离为五.

故答案为：>/2.

3.（2021.上海徐汇.高二期末）已知长方体ABCD-AMGR的棱AA，AB和AO的长分别

，

为3cm、4cm和5cm,则棱AB到平面ABICI°I的距离为cm

【答案】3

【分析】由长方体ABCO-A4GR得，44,，平面48£。,再由AB〃平面A乌G。得,

棱AB到平面A冉CQ的距离为AA=3cm.

【详解】依题意作图，在长方体4BCD-ASG。中，有AA，平面AB©。，

又Afi〃平面A0CQ,所以棱AB到平面ABCQ的距离为M=3cm.

故答案为：3.

ZJZC

AB

二、解答题

4.（2021・上海静安•高二期末）如图，正四棱柱43CD-ABCA的底面边长为1，异面直线

AO与8。所成角的大小为60。，求A/B/到底面A8C。的距离.

【答案】6

【分析】由A3〃8C,得NCBG=60。，则线段的长为人用到底面A8CO的距离，然后

求出BB1即可.

【详解】解：因为AO//BC,

所以NCBg为异面直线AD与BC,所成的角，

所以NCBG=60。，

因为正四棱柱ABC£>-AB|GA中，A4//平面A8CO,8月，平面48c。，

所以线段8线的长为线段Ag到底面ABCD的距离，

因为在R〃8CG中，BC=1,^CBC,=60°,

所以期=CC|=g,

所以线段AB1到底面ABCD的距离为6.

5.（2021・上海•高二专题练习）在直三棱柱ABC-A8cl中，AB=AC=\,ABAC=90,

且异面直线AB与4G所成的角等于60,设AA=”;

（1）求a的值；

（2）求直线4G到平面ABC的距离.

【答案】（1）a=l；（2）且.

3

【分析】（1）由题意可得：NA8C就是异面直线A8勺qG所成的角，即NABC=60。，根

据线段的长度关系可得：AA8C为等边三角形，进而可求得答案；

（2）由4C"平面A8C得.，直线4G到平面4BC的距离等于点用到平面ARC的距离，再

根据5-Me求用到平面ABC的距离，分别求出两个三角形的面积即可达到答案.

【详解】解：（1）：BC〃用C1，...NABC就是异面直线月产与8G所成的角，

BpZy4lBC=60°,

又连接AC,

VAB=AC=l,则48=AC,

为等边三角形，

VAB=AC=1,ABAC=90,

BC=近,

AB=Jl+42=夜>

a=1：

（2）易知4G〃平面ABC,此时有直线BC上的任意一点到平面ABC的距离等于点B1到

平面A8C的距离，设其为d,连接BC，

又•.♦CAJ.AA,CA1AB,

二C4_L平面AB。，并且AC=1,

•.・AAgB的面积SM时=：X1X1=；,

并且初四的面积%忖=9@应乂疝60。=等，

,二j-A8C=%-,八港8，

,•qSA4禺8,AC=—,S鸣BC,d，

.._SM岛BeAC_>/3

,・一S一3，

•••直线B£到平面\BC的距离为由.

3

【点睛】本题考查线段长的求法，考查二棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量

法和等体积法的合理运用，属于中档题.

题型三：面面距离

一、填空题

1.（2019.上海大学附属中学高二阶段练习）已知正方体ABS-AMCa的棱长为1,则平

面BB©C和平面AAQQ的距离为.

【答案】1

【分析】山正方体的性质得4B为平面BB£C和平面仪DQ的距离

【详解】因为正方体的对面互相平行，AB均于平面8片GC和平面明口。垂直，故AB为平

面88CC和平面⑨。。的距离，即为1

故答案为1.

【点睛】本题考查正方体的基本性质，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，是基础题.

2.（2016•上海・复旦附中高二期中）已知平面a||平面万，直线机1。，直线〃=力，点Aem,

点Be”，记点A、8之间的距离为a,点A到直线〃的距离为A直线机和”的距离为c,

则a、b、c的大小关系是<<.

【答案】cba

【分析】根据平面与平面平行的判断性质，判断c最小，再根据点到直线距离和点到直线上

任意点距离判断。最大.

【详解】由于平面a〃平面B，直线，〃和“又分别是两平面的直线，

当直线"?和"异面，（如图所示）则c0〈a.

当直线加和〃平行且其确定的平面与平面a,平面p垂直，可得c=b=a.

故答案为：cWbWa.

A

ra

【点睛】此题主要考查平面间与平面平行的性质，考查点到直线距离及空间想象能力是基础

题

二、解答题

3.（2021•上海市大同中学高二阶段练习）如图，正方体AB8-ABCR中，M=«.

（1）求证：平面平面GBD；

（2）求两平面4片。与G8。之间的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）Ba.

3

【分析】（1）根据正方体的性质，通过证明线面平行证明面面平行即可；

（2）作出两平行平面的公垂线段，再计算公垂线段的长即可得出结论.

【详解】（1）正方体ABCO-4与G2中，BD//BR,4用//力6且耳。不在平面BOg内,

所以隹。〃平面BOQ

同理可得，AB"平面

又；明「3=4

.•.平面ABQ//平面BDC、；

（2）如图，设ACcB£>=。，ACcBRH，连接A。，A«，OC,,

AC,B£）_LCG，ACcCC1=C,

又正方体AB8-A8G&中，平面4B,C,

ABC,±A.C,又80ng=8,

.•.4,，平面8。£,根据（1）,平面A8Q//平面80G

A。，平面A8Q,

•••图中线段EF为两平面的公垂线段，线段EF的长即为两平面间的距离，

平行四边形ACGA中，o,Q分别是AC,AC的中点，

”,尸是线段AC的三等分点，

:.EF=^AtC=^x^/3AA]=~'

两平面ABR与GBD之间的距离为恒.

3

题型四：异面直线的距离

一、填空题

1.（2021.上海市市西中学高二期中）在长方体ABC。一A/B/GQ中，若A8=3,BC=4,A4/=2,

则异面直线B/B与。C之间的距离为.

【答案】4

【分析】利用异面直线间的距离定义即可得出答案.

【详解】由长方体的性质可得BC是异面直线8/8与0c的公垂线，

所以异面直线BiB与0c之间的距离为BC=4.

故答案为：4

2.（2021•上海市延安中学高二期中）已知正方体ABCD-A4G4的棱长为1，异面直线8月

与AC的距离为.

【答案】受

2

【分析】如图所示，连接即与AC交于点。，证明ACLOB,OB±BBlt得到距离.

【详解】如图所示：连接50与AC交于点。，则ACL0B,

BB]±平面ABCD,08u平面A8C。，故OBLBB1,

故0B是异面直线因与AC的距离，OB」BD*.

22

故答案为：也.

2

3.（2021.上海•华师大二附中高二期中）若正四面体A8C。的棱长为起，则异面直线与

C。之间的距离为.

【答案】1

【分析】由题意画出图形，分别取AB、CD的中点E、尸，连接AF、BF、CE、DE,可得EF

的长是异面直线AB与8的公垂线，求解三角形得答案.

【详解】分别取A8、CD的中点E、F,连接AF、BF、CE、DE,

,CE=DE=AF=BF=Q0-与=等，

EFYABS.EF±CD,则EF的长是异面直线AB与8之间的距离，

则EF=yjAF2-AE2=1.

\44

故答案为：1

B

4.（2021.上海•华师大二附中高二阶段练习）棱长为1的正四面体ABCO中，对棱AB、CD

之间的距离为.

【答案】显

2

【分析】作出并证明表示棱AB、CQ之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得.

【详解】设A8,C。的中点为E,F,连接AF,BF,

因为A8CO为正四面体，各面均为等边三角形，边长为1,则AF=BF=也，于是得

2

同理可得ECD,

此时，EF=JA尸一AE2=樗y一（J?=孝，

即E尸的长即为A8、CD之间的距离,

6

即A-8之间的距离为名.

2

故答案为：与

u巩固提升

一、单选题

1.（2019•上海市嘉定区第二中学高二期中）若“，6是异面直线，则下列结论中不正确的为

（）

A.一定存在平面a与。、万都平行

B.一定存在平面a与a、b都垂直

C.一定存在平面a与a、b所成角都相等

D.一定存在平面a与a、6的距离都相等

【答案】B

【分析】根据异面直线的几何特征，作与异面直线的公垂线段。垂直的平面。，且经过公垂

线段c中点的平面a,可以判断A,D的真假；根据线面垂直的几何特征，可以判断B的真

假；过公垂线。上一点做直线d与4、万所成角都相等，分析J"确定的平面与异面直线”，

b的夹角，可以判断C的真假，进而得到答案.

【详解】解：若a,b是异面宜线，C为他们的公垂线，

则当cd•平面a时，平面a与a、。都平行，故A正确；

若平面a与“、人都垂宜，则。//6,这与“，人是异面直线矛盾，故B错误；

过公垂线c上一点做直线d与。、。所成角都相等，则c,d确定的平面与。、6所成角都相

等，故C；

过公垂线c的中点做与c垂直的平面白，则平面a与。、b的距离都相等，故D正确；

故选：B.

二、填空题

2.（2021•上海市复兴高级中学高二期中）四面体ABC£>中，AB=CD=2,

AC=4）=BC=8。=4,则异面直线A5与的距离为

【答案】历

【分析】分别取AB与C0的中点E、F,连接AT、BF、EF、CE、DE,证明出E尸为A3、

8的公垂线，并计算出EF的长，由此可得出结果.

【详解】分别取48与。的中点E、F,连接A尸、BF、EF、CE、DE,

因为AB=C£>=2,AC=AD=BC=BD=4,E、F分别为AB、C£）的中点，

则8F_LCD,AFYCD,且叱=AF7ACa-CF?=屈,

•.•E为AB的中点，故£F_LAfi,同理可证EFJLCD,

故EF•为4B、8的共垂线段，R.EF=X/AF2-AE2=V14.

故答案为：\114■

3.（2018•上海交大附中高二阶段练习）如图，在棱长为10的正方体A8CO-A86。中，E

为BC的中点，点尸在线段上，点尸到直线CG的距离的最小值为

【答案】2石

【分析】取8G的中点F,连接EF、日。1.根据线面平行的性质可得CG〃平面REF,作

G"J.£＞巧,过M作MP||EF交ED】于匕作PN1CQ根据四边形加外6为矩形即知得点

P到直线CC,的距离的最小值为PN,即CtM的值.

【详解】根据题意，取B.C,的中点F,连接EF、:作QM，F交0F于历,过加作

MP||EF交ED{J--P，作PN，CC],如下图所示：

由题意可知,E、F分别为BC、4G的中点，所以CG〃所

因为CG/平面2成7,而EFu平面QEF

所以平面REF

所以求点P到直线CG的距离的最小值即为异面直线皿与CG公垂线的长度

因为CXMIDiF^PNlCQ,且GM1C[N

则四边形"PNG为矩形

所以PN，MP,又因为PN_LZ),尸

所以PN八平面。流尸

即PN_L5E

所以PN即为异面直线EDX与CG公垂线

因为正方体的棱长为10

则D,22=V100+25=56

F=A/(D1C1)+(C1F)

由等积法可知C\M=—℃不xC]—F=~150x^55=2_«/T

所以PN=GM=26

故答案为：26

【点睛】本题考查了空间中异面直线距离的求法,找到异面直线的公垂线是解决此类问题的

关键，对线面平行和线面垂直的理解要求较高，属于中档题.

4.(2021・上海•高二专题练习)在三棱锥PABC中，三条侧棱％、PB、PC两两垂直，且

PA=PB=3,PC=4,又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值

是.

【答案】r144

41

【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用柯西不等式求得结果.

【详解】令M到三棱锥三个侧面的距离分别为X、八z,

,：PA,PB、PC两两垂直，且如=P8=3,PC=4,

：.VPABC=-'(-•PA•PB)•PC=-(.-•PA'PB)«z+-C-PB'PC)«y+-(-B4«PC)•%,

323232732

即-•(ix3x3)x4=-(-x3x3)z+-(-x3x4)y+-(-x3x4)x,

323232-32

化简可得:卜+%+1z=l,

334

1=(^-x+^-y+—z)2<[(^)2+(1)2+(—)2](f+V+z2),

334334

解得『+y2+z22胃144.当且仅当x=y=4六a,z=356等号成立

414141

又M是底面A8C内一点，

到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是看144.

41

144

故答案为：——.

41

【点睛】本题考查点到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值的求法，是中档题，解题时

要注意体积求解的转化方法的合理运用.

三、解答题

5.(2021・上海市中国中学高二阶段练习)已知空间四边形&RC各边及对角线的长都是1.

(1)求边54、2C的距离；

(2)求异面直线S3与AC所成角大小.

【答案】(1)①；(2)g.

22

【分析】(1)将四面体放入正方体中，根据四面体的边长求出正方体的棱长，可证。。为以

与BC的公垂线，即可得解；

(2)连接MN,可证S8〃MN,再由正方形的性质得到AC,MN,即可得到AC,SB：

【详解】解：(1)依题意将四面体&WC放入如图所示正方体中，

因为空间四边形SABC各边及对角线的长都是I,

所以正方体的棱长为正，在矩形中，

2

。，«分别为EM、8c的中点，所以OQ//BE,

所以OQ工面。3。7,BCu面OBCN,所以OQ^BC,

同理可证。。，AS,所以。。为必与8c的公垂线，

所以&4与3c的距离为迈；

2

(2)连接MN,因为SM=BNaSM//BN,所以四边形SMNB为平行四边形，

所以SB〃MN,又因为AC_LMN,所以ACJ_S8,

TT

所以异面直线SB与AC所成角为

6.(2021•上海市甘泉外国语中学高二期中)如图，在三棱柱ABC-A出/。中，侧面BCC/8/,

A8BA均为正方形，AB=BC=l,ZABC=90°,点。是棱的4。中点.

(1)求证：平面A3/D_L平面ACC/A/；

(2)求证：BG〃平面A&Z)；

(3)求点Ai到平面ABiD的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)立

3

【分析】(1)由题设易知A8C-4氏C/为直棱柱，且两个底面都为等腰直角三角形，再由

线面垂直的性质及判定可得耳以面八(.(、“"最后根据面向垂宣的判定证明结论.

(2)。是4综昭的交点，根据中位线的性质有0O//BG，线面平行的判定证明结论.

(3)利用等体积法有匕一的4=，即可求4到平面AB/D的距离.

(1)：AB=BC=1,NABC=90。，

△ABC为等腰直角三角形，故在三棱柱ABC-A/B/Ct中，侧面BCCB,ABBA均为正

方形，即A8C-A/8/。为直棱柱，易知：△A瓦G为等腰直角三角形，

又。是棱的中点,则叱AG，

由•面AqC］,81Ou面A4G，则441，与£>,而AAnAG=4且44］、ACjU面

ACC/Ai,

BQ!.面ACC/A/,又BQu平面A8/Q,

♦,•平面A8/O_L平面ACC/Ai；

⑵若。是的,BA的交点，又AB8A为正方形，则。为网的中点，

.•.在△BA£中，ODUBG，又OOu面AB/。，(Z面A8/O,

，8。〃平面48/。；

⑶由(1)知：AO=；AC［=］，而m=1,则4力=乎，又用。=岑,

•••SAD.=-BtDAD=—,

由%眄=*."=：,则匕一AW=W，

又匕-AM=，若4到平面AB/D的距离为d,

•••/s”］，可得1=卓

D1乙J

7.(2021.上海中学高二期中)如图，三棱锥P-ABC中，底面A8C是正三角形，A4_L底面

ABC,AGJ■平面P2C,垂足为G.

(DG是否可能是的垂心？请说明理由；

⑵若G恰是的重心，且A45C的边长为2,求点C到平面ABG的距离.

【答案】(1)不可能，理由见解析(2)也

【分析】(1)设G是APBC的垂心，可得ABLAC,与已知矛盾；

(2)延长BG交PC于E,连接PG并延长交BC于尸，连接所,求出各边长，利用等体

积法可求.

(1)设G是AP8c的垂心，则8GJ_PC,

因为4G，平面尸8C,PCu平面PBC,所以AGLPC,

因为4Gn3G=G,所以尸CJ_平面ABG,

因为ABi平面A8G,所以PC_LA8,

因为A4_L底面A8C,ABI平面ABC,所以

因为尸ADPC=P，所以平面PAC,

因为ACu平面PAC,所以A8LAC,与A45C是正三角形矛盾，

所以G不可能是APBC的垂心；

(2)延长8G交PC于E，连接PG并延长交8c于F，

因为6是《依C的重心，所以E,尸分别为PC,8c中点，且尸G=2FG,

连接AF,因为AABC是边长为2的正三角形，所以AF=6,

因为口4_L底面ABC,所以以_LAF,因为AG_L平面P8C,所以AGJ_PF,

则4尸2=尸6•尸P=3FG2,则FG=1,PF=3

所以AG=百J一仔=夜，PA=y]PF2-AF2=V6>BG=^AB2-AG2=42-

设点C到平面48G的距离为d,

可得G到平面ABC的距离为1PA=—,

33

由匕"=J可得2x应x0xd=：x；x2x6x不解得d="

P

8.(2021.上海南汇中学高二阶段练习)如图，四边形A8E尸和四边形ABCO均是直角梯形,

NFAB=NDAB=90°,AF=AB=BC=2,AD=\,FAVCD.

(1)求点尸到平面ABCD的距离；

(2)证明：平面8CE//平面AZ)F,并说明在平面E8C上，一定存在过C的直线/与直线下。

平行.

【答案】(1)2(2)证明见解析

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明平面A8C/)即可；

(2)先证明平面BC£//平面AQF,再利用面面平行的性质定理证明.

(1)解：因为NE4B=90。，

所以科_L4?,

又E4LCO,A&CO是相交直线，

所以胡平面A8CD,

所以点尸到平面ABCD的距离AF=2；

(2)证明：由题意得BE〃A尸，平面AO尸，AFu平面AOF,

所以BE〃平面40凡同理BC//平面AOF,又BEplBC=B,

所以平面8CE〃平面ADF.

设平面QFCc平面8CE=/,则/过C点，

因为平面BCEH平面AOF,平面DFCc平面BCE=I,平面。尸Cc平面AD尸=DF,

所以Z5F///.

9.(2021•上海市松江二中高二期中)如图所示，已知圆柱。。2的轴截面48CO是边长为2夜

的正方形，球。在圆柱QQ内，且与圆柱OR的上、下底面均相切.

(1)求球。的表面积；

(2)若尸为圆柱下底面圆弧C力的中点,求平面2归截球。所得截面的周长.

【答案】(1)8万(2)生叵乃

【分析】(1)求出球。的半径，利用球体的表面积公式可求得结果；

(2)计算出球心0到平面A4B的距离，可求得截面圆的半径，利用圆的周长公式可求得结

(1)解：由题意可知，球。的直径为2R=2&，则/?=&，

因此，球。的表面积为S=4/店=8万.

(2)解：连接。/、。①、02P,

•.•P为弧C£＞的中点，则

因为go?L平面PCD,。俨＜=平面PC。，则

•••aanco=a,故•平面ABC。，

S&O、AB=2x2忘x2\[2=4,则丫户=gxV2x4=~~~,

•.•qpj.cz),ABUCD,则。尸1AB,

因为002与圆柱的上底面垂直，而AB为上底面圆的一条直径，则。0,48,

•••0依。。2=，..至，平面P。。，

•.,02?＜=平面尸002，则02尸_148,

因为PR=J尸0：+0&=Vio,则S^PAB=^xO2PxAB=^xy/i0x2y/2=2y/5,

设点。1到平面E4B的距离为人由%一叽得人=等生=蜂=坐,

因为。为002的中点，所以，点。到平面期的距离〃=4=辿，

25

所以，平面皿截球。所得截面圆的周长为2〃x亚二萨=半万.

10.（2021・上海•华东师范大学第三附属中学高二期中）如图，已知ABC£＞是圆柱0。的一

个轴截面，且圆柱底面半径为1,高为乃.动点尸从点8绕着圆柱的侧面到达点。的距离最

短时在侧面留下的曲线R,如图，轴截面ABC。绕着轴。。逆时针旋转。（04。4丁）时8£与

曲线R相交于点只

（1）求曲线R长度：（要有必要的文字，图形，计算过程）

（2）当。时，求C1到平面AP3的距离.

【分析】（1）将圆柱一半展开后得到底面的半个圆周为一边，另一边为圆柱的高的长方形,

由曲线R为长方形的对角线求解：.

（2）由点片恰好为AB的中点，得到P为百G的中点，则点G到平面AP8的距离与点到

平面AP8的距离相等求解.

（1）如图：

将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA,曲线R为对角线BD,

展开图中，AB=gx2万『=乃,AO="，

所以