专题突破课11　电场中的功能关系和图像问题-2025版物理大一轮复习

目标要求1.学会处理电场中的功能关系。2.理解电场中有关图像的物理意义，并结合图像分析相关问题。考点一电场中的功能关系电场中常见的功能关系(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变。(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。如图所示，在电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场中，一质量为m、带电荷量为＋q的物体，以某一初速度沿电场方向做匀减速直线运动，不计空气阻力，其加速度大小为eq\f(0.6qE,m)，物体运动距离s时速度变为零。则在此过程中()A.物体克服静电力做功0.6qEsB.物体的电势能增加了qEsC.物体的重力势能增加了qEsD.物体的动能减少了0.6qEs解析：D由于物体所受静电力和运动方向相同，故静电力做正功W＝Eqs，故A错误；静电力做正功，电势能减小，物体的电势能减小了qEs，故B错误；重力做功WG＝－mgs，重力做负功，重力势能增加，又由题可知，mg＝1.6qE，所以重力势能增加了1.6qEs，故C错误；物体做减速运动，所受合外力做负功，动能减小，由动能定理得ΔEk＝－F合s＝－mas＝－0.6Eqs，所以物体的动能减少了0.6qEs，故D正确。【对点训练】如图所示，竖直固定的光滑绝缘细杆上O点套有一个电荷量为－q(q>0)的小环，在杆的左侧O′处固定一个电荷量为＋Q(Q>0)的点电荷，杆上a、b两点与O′点正好构成等边三角形，c是ab的中点。使小环从O点无初速度释放，小环通过a点时的速率为v。若已知ab＝Oa＝l，静电力常量为k，重力加速度为g。则()A.在a点，小环所受弹力大小为eq\f(kQq,l2)B.在c点，小环的动能最大C.在c点，小环的电势能最大D.在b点，小环的速率为eq\r(v2＋2gl)解析：D在a点，小环所受的库仑力沿aO′方向，大小为eq\f(kQq,l2)，水平方向小球受力平衡，所以小球受到向右的弹力大小等于库仑力沿水平方向向左的分力，即eq\f(kQq,l2)sin60°＝eq\f(\r(3)kQq,2l2)，A错误；在c点，重力与库仑力垂直，竖直方向合力向下且不为零，则小环在c点的动能一定不是最大，B错误；c点距离正点电荷最近，对应电势最高，故带负电荷的小环在c点电势能最小，C错误；从a点到b点，由点电荷形成的电场的分布特点及几何关系知，a、b两点电势相等，则静电力不做功，应用动能定理有mgl＝eq\f(1,2)mv22－eq\f(1,2)mv2，解得v2＝eq\r(v2＋2gl)，D正确。考点二电场中的图像问题维度1v-t图像根据v-t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。(多选)如图甲所示，绝缘且粗糙程度相同的水平面上固定着两个带等量负电荷的点电荷M和N，O、A、B是在此水平面上M、N连线的中垂线上的三点，B点是MN的中点，O与B间距为x＝0.2m。一带正电的小球由O点静止释放，其质量m＝1×10－2kg、电荷量q＝2×10－3C，带正电的小球与水平面的动摩擦因数μ＝0.2。小球从O点运动到B点的v-t图像如图乙所示，A为图像的拐点，乙图中O、A、B对应甲图中O、A、B三个位置。重力加速度g＝10m/s2，则以下说法正确的是()甲乙A.从O到B，小球的加速度先增大后减小B.O点与B点电势差UOB＝2VC.当小球速度最大时，小球所在位置的电场强度E＝10N/CD.O与B之间A点的电场强度最小解析：BC由题图乙可知，从O到A，小球的加速度增大，A到B先减小至零然后反向增大，故A错误；从O到B，由动能定理可得Wf＋WOB＝0，其中Wf＝－μmgx，又UOB＝eq\f(WOB,q)，联立可得UOB＝2V，故B正确；当小球速度最大时，其加速度为零，有qE＝μmg，解得E＝10N/C，故C正确；对小球受力分析，由牛顿第二定律有qE－μmg＝ma，由题图乙可知，小球在A点时加速度最大，即电场强度最大，故D错误。故选BC。维度2φ-x图像1.电场强度的大小等于φ-x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。2.在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图所示)3.电场中常见的φ-x图像(1)点电荷的φ-x图像(取无限远处电势为零)，如图所示。(2)两个等量异种点电荷连线上的φ-x图像，如图所示。(3)两个等量同种点电荷的φ-x图像，如图所示。如图所示，在x＝－2r0和x＝2r0的a、b两处分别固定着电量不等的点电荷，其中a处点电荷的电量为＋q，c、d两点的坐标分别为－r0与r0。a、b连线上各点的电势φ与位置x之间的关系如图所示(取无穷远处为电势零点)，图中x＝－r0处为图线的最低点。则()A.b处为正电荷且电荷量小于qB.在c点由静止释放一个正电荷，它将保持静止C.在d点由静止释放一个正电荷，它将在c、d之间做往复运动D.取一个带正电荷的检验电荷，它在c点的电势能大于在d点的电势能解析：Bφ-x图像的斜率表示电场强度，所以c点的电场强度为零，根据E＝keq\f(Q,r2)和电场的叠加可知b处为正电荷且电荷量大于q，故A错误；因为c点的电场强度为零，所以在c点由静止释放一个正电荷，它将保持静止，故B正确；在d点由静止释放一个正电荷，它将在d点与和d点电势相等的两点之间做往复运动，故C错误；正电荷在高电势处电势能大，所以取一个带正电荷的检验电荷，它在c点的电势能小于在d点的电势能，D错误。故选B。维度3E-x图像1.E-x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。2.E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。3.电场中常见的E-x图像(1)点电荷的E-x图像正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示。(2)两个等量异种点电荷的E-x图像，如图所示。(3)两个等量正点电荷的E-x图像，如图所示。(多选)空间内有一沿x轴分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图所示。－x1、x1、x2、x3是x轴上的四个点，图像关于坐标原点O中心对称，下列说法中正确的是()A.－x1处的电势比x1的电势高B.将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大，后减小C.将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受电场力作用，它将在－x1和x1之间往复运动D.负电荷在这四个点中位于x2处电势能最大解析：BC根据题意，电场关于x轴对称分布，作出电场线如图所示。根据顺着电场线电势降低，则O点电势最高，从图线看出，电场强度关于原点O对称，则x轴上关于O点对称位置的电势相等，则－x1处的电势与x1处的电势相等，选项A错误；将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大，后减小，选项B正确；－x1和x1之间的电场是对称的，将一负电荷由－x1处由静止释放，负电荷先向右做加速运动，经过O点之后做减速运动，到x1处速度减为零，则它将在－x1和x1之间往复运动，选项C正确；在这四个点中，x3点的电势最低，则负电荷在四个点中位于x3处电势能最大，选项D错误。维度4Ep-x图像如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一带负电荷的小滑块，可视为质点，在x＝1m处以初速度v0＝eq\r(3)m/s沿x轴正方向运动。小滑块的质量为m＝2kg，带电量为q＝－0.1C。整个运动区域存在沿水平方向的电场，图乙是滑块电势能Ep随位置x变化的部分图像，P点是图线的最低点，虚线AB是图像在x＝1m处的切线，并且AB经过(1，2)和(2，1)两点，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是()甲乙A.在x＝1m处的电场强度大小为20V/mB.滑块向右运动的过程中，加速度先增大后减小C.滑块运动至x＝3m处时，速度的大小为2.5m/sD.若滑块恰好能到达x＝5m处，则该处的电势为－50V解析：DEp-x图像斜率的绝对值表示滑块所受电场力的大小，所以滑块在x＝1m处所受电场力大小为F＝Eq＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ΔEp,Δx)))＝eq\f(2－1,2－1)N＝1N，解得电场强度大小E＝10V/m，故A错误；滑块向右运动时，电场力先减小后增大，所以加速度先减小后增大，故B错误；滑块从x＝1m到x＝3m运动过程中电势能减小，电场力做功W电＝－ΔEp＝－(1－2)J＝1J，由动能定理得W电＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02，解得滑块运动至x＝3m处时，速度的大小为v＝2m/s，故C错误；若滑块恰好到达x＝5m处，则滑块恰好到达x＝5m处v′＝0，则滑块从x＝1m到x＝5m运动过程中W电′＝－(Ep2－Ep1)＝0－eq\f(1,2)mv02，由Ep1＝2J，解得滑块到达x＝5m处的电势能Ep2＝5J，x＝5m处的电势为φ＝eq\f(Ep2,q)＝eq\f(5,－0.1)V＝－50V，故D正确。故选D。限时规范训练34[基础巩固题组]1.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程()A.动能增加eq\f(1,2)mv2B.机械能增加2mv2C.重力势能增加eq\f(3,2)mv2D.电势能增加2mv2解析：B小球动能的增加量为ΔEk＝eq\f(1,2)m·(2v)2－eq\f(1,2)mv2＝eq\f(3,2)mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h＝eq\f(v2,2g)，小球重力势能的增加量为ΔEp＝mgh＝eq\f(1,2)mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔEp′＝eq\f(3,2)mv2＋eq\f(1,2)mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确。2.(多选)如图所示，地面上固定一倾角为θ＝37°、高为h的光滑绝缘斜面，斜面置于水平向左的匀强电场中，电场强度大小为E＝eq\f(\r(3)mg,q)，现将一个带正电的物块(可视为质点)从斜面顶端由静止释放，已知物块质量为m，电荷量为q，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为eq\f(4\r(3),3)mghB.物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为3mghC.物块落地的速度大小为(2＋eq\f(8\r(3),3))ghD.物块落地的速度大小为2eq\r(2gh)解析：BD物块受到的电场力F＝qE＝eq\r(3)mg，则物块所受合力的大小为2mg，合力的方向和水平夹角为30°，则小物块沿合力方向做匀加速直线运动，不会沿着斜面下滑。物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为W＝qE·eq\r(3)h＝3mgh，设物块落地速度为v，根据动能定理可得mgh＋qE·eq\r(3)h＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝2eq\r(2gh)，故A、C错误，B、D正确。3.如图所示，竖直和水平放置的绝缘光滑板PO、QO固定，a、b为两个均带正电的小球(可视为点电荷)，当用平行于QO向左的力F作用于b时，a、b紧靠板静止。现稍改变F的大小，使b稍向左移动一小段距离，则当a、b重新静止后()A.QO对b的支持力比原来大B.力F比原来大C.系统的重力势能比原来小D.系统的电势能比原来小解析：D以a球为研究对象，分析受力情况如图，根据平衡条件，电场力F电＝eq\f(mag,cosα)，α减小，cosα增大，则电场力F电减小，绝缘光滑板对a的弹力FNa＝magtanα，α减小，FNa减小，对a、b两小球组成的整体受力分析，在水平方向有F＝Na，则作用力F也减小，在竖直方向有FNb＝mag＋mbg，则QO对b的支持力不变，A、B错误；由于F电减小，根据F电＝keq\f(QaQb,r2)可知，两球间距离增大，由于b稍向左移动一段小距离，所以a球上升一段距离，系统重力势能增加，C错误；因为两球间距离增大，所以电势能减小，D正确。4.(多选)两个等量同种点电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线(在水平面内)上有A、B、C三点，如图甲所示，一个电荷量为2×10－5C、质量为1g的小物块从C点由静止释放，其运动的v-t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。则下列说法正确的是()甲乙A.小物块带正电B.A、B两点间的电势差UAB＝－500VC.小物块由C点到A点电势能先减小再增大D.B点为中垂线上电场强度最大的点，电场强度E＝100N/C解析：ABD根据物块运动的v-t图像可知，小物块带正电，A正确；从v-t图像可知，A、B两点的速度分别为vA＝6m/s、vB＝4m/s，再根据动能定理得qUAB＝eq\f(1,2)mvB2－eq\f(1,2)mvA2＝eq\f(1,2)×1×10－3×(42－62)J，解得UAB＝－500V，B正确；从v-t图像可知，由C到A的过程中，物块的速度一直增大，静电力对物块一直做正功，电势能一直减小，C错误；带电粒子在B点的加速度最大，为am＝eq\f(4,7－5)m/s2＝2m/s2，所受的静电力最大为Fm＝mam＝0.001×2N＝0.002N，则电场强度最大值为Em＝eq\f(Fm,q)＝eq\f(0.002,2×10－5)N/C＝100N/C，D正确。5.如图甲所示，在粗糙绝缘水平面的A、C两处分别固定两个点电荷，A、C的坐标分别为－3L和3L。已知C处电荷的电荷量为Q，图乙是AC连线之间的电势φ与坐标x的关系图，图中x＝L点为图线的最低点，x＝－2L的纵坐标φ＝φ0，x＝2L的纵坐标φ＝eq\f(3,7)φ0。若在x＝－2L的B点静止释放一可视为质点的带电物块，质量为m、电荷量为q。物块向右运动到2L处速度恰好为零。则A处电荷的电荷量及物块与水平面间的动摩擦因数分别是()甲乙A.＋4Q，eq\f(qφ0,7mgL) B.－2Q，eq\f(qφ0,14mgL)C.＋4Q，eq\f(2qφ0,7mgL) D.－2Q，eq\f(3qφ0,14mgL)解析：A根据φ-x图像的斜率表示电场强度可知，x＝L的电场强度为零，由点电荷场强公式E＝eq\f(kQ,r2)和电场叠加原理，设A处电荷的电荷量为Q1，则有eq\f(kQ1,（4L）2)＝eq\f(kQ,（2L）2)，解得Q1＝4Q，且为正电荷，带电物块运动过程中受电场力和摩擦力，从x＝－2L到x＝2L过程中，由动能定理有q(φ0－eq\f(3,7)φ0)－μmg(2L＋2L)＝0，解得μ＝eq\f(φ0q,7mgL)，故选A。6.x轴上固定着两个点电荷A、B，两点电荷分别位于xA＝0，xB＝4d处，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示。选取x轴正方向为电场强度的正方向，无限远处电势为零。以下说法正确的是()A.点电荷A、B分别带正电和负电B.A、B所带电荷量的绝对值之比为1∶3C.x＝d处电势最高且为零D.将电子从x＝5d处无初速度释放，其电势能一直减小解析：D若点电荷A、B带异种电荷，则在x轴上0～4d区间的电场方向唯一不变化，即水平向右或水平向左，故A错误；由题图可知在x＝d处电场强度为零，即eq\f(kQA,d2)＝eq\f(kQB,9d2)，解得eq\f(QA,QB)＝eq\f(1,9)，故B错误；0～d区间，电场方向沿x轴负方向，d～4d区间电场方向沿x轴正方向，可知0～4d区间，从x＝d处沿两侧电势降低，无限远处电势为零，故x＝d处电势大于零，x≥4d的区域内，电场方向指向x轴负方向，所以沿x轴负方向电势逐渐降低，无限远处电势为零，故x≥4d的区域内的电势都小于零，所以x＝d处电势最高且大于零，故C错误；x≥5d的区域内电场方向沿x轴负方向，所以电子释放后受水平向右的力，静电力一直做正功，电势能一直减小，故D正确。7.(多选)如图甲，x轴位于粗糙绝缘的水平面上，电荷量为QA、QB的两个点电荷固定在x轴上相距6L的A、B两点。质量为m、电荷量为q的带负电的小滑块(可视为质点)从x＝－L处由静止释放，沿x轴正方向运动，在x＝2L处开始反向运动，滑块在不同位置所具有的电势能Ep如图乙，P点是图线最低点。滑块与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。下列结论正确的是()甲乙A.两固定点电荷均为正电荷B.QA＝4QBC.x＝L处电势最低D.从x＝－L到x＝2L，电势升高eq\f(3μmgL,q)解析：BD由题图乙知，物块在x＝L处电势能最低，根据公式Ep＝－φq可得，在x＝L处电势最高，且物块在此处所受静电力左右平衡，则两固定点电荷均为负电荷，A、C错误；由以上分析知，在x＝L处物块所受静电力左右平衡，则keq\f(QAq,[L－（－3L）]2)＝keq\f(QBq,（3L－L）2)，解得QA＝4QB，B正确；从x＝－L到x＝2L，静电力对物块做功为W电，此过程对物块用动能定理有－μmg×3L＋W电＝0－0，解得W电＝U×(－q)＝3μmgL，即x＝－L与x＝2L处的电势差为U＝－eq\f(3μmgL,q)，所以从x＝－L到x＝2L，电势升高eq\f(3μmgL,q)，D正确。故选BD。[能力提升题组]8.(多选)空间中有两个固定点电荷A和B，带电荷量的绝对值分别为QA和QB，以点电荷A、B连线上某点为原点，以点电荷A和B所在的直线为x轴建立直角坐标系，分别作出部分E-x和φ-x图像，如图所示，无穷远处电势为零。则下列说法正确的是()A.A为正点电荷，B为负点电荷，且QA>QBB.A为负点电荷，B为正点电荷，且QA>QBC.1是E-x图像，2是φ-x图像D.1是φ-x图像，2是E-x图像解析：BD由于正点电荷周围电势趋于正无穷大，所以由图可知B为正点电荷，因为点电荷B右侧有场强为0的点，说明A为负点电荷，因电场强度叠加为0的位置，离B近，离A远，故由E＝keq\f(Q,r2)，可知QA>QB，B正确，A错误；当φ-x图像斜率为0时，场强为0，结合图中的辅助线，可知1是φ-x图像，2是E-x图像，D正确，C错误。故选BD。9.(多选)如图甲所示，两个点电荷Q1、Q2固定在x轴上，其中Q1位于原点O，a、b是它们连线延长线上的两点。现有一带负电的粒子q以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动(粒子只受电场力作用)，设粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb，其速度随坐标x变化的图像如图乙所示，则以下判断正确的是()甲乙A.x＝3L处电场强度一定为零B.Q2的电荷量等于Q1的电荷量C.ab连线的中点电势最低D.q在a点的电势能比在b点的电势能大解析：AD由题图乙分析可知，粒子在距离O点3L前做加速运动，后做减速运动，可见粒子在3L处的加速度为0，则在3L处受到两点电荷的电场力平衡，可知3L点的合电场强度为零，Q2带负电，由E＝eq\f(kQ,r2)及Q1距离3L处较远，可知Q1的电荷量大于Q2的电荷量，故A正确，B错误；该粒子从a点到3L处，做加速运动，电场力做正功，又该粒子为负电荷，所以电势升高，粒子从3L到b做减速运动，电场力做负功，电势能增加，电势又降低，则3L处电势最高，故C错误；由题图乙可知，粒子在b点的速度大于在a点的速度，a点到b点整个过程中电场力做正功，电势能减小，q在a点的电势能比在b点的电势能大，故D正确。10.如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点。现有一质量为m、电荷量为－q套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑。已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2eq\r(gR)。求：(1)小球滑到C点时的速度大小；(2)若以C点作为零电势点，试确定A点的电势。解析：(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中静电力做的总功为零。由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝eq\f(3R,2)根据动能定理有mg·eq\f(