建筑力学全册配套完整教学课件

建筑力学全册配套完整教学课件第１章绪论第１章绪论

通过本章的学习，掌握建筑力学的研究对象，能进行建筑力学的分析学习目标通过本章的学习，掌握建筑力学的研究对象，能进行建筑力学的分析。１１建筑力学概述１１１建筑力学的研究对象

建筑结构是指在建筑物或构筑物中，由建筑材料做成用来承受各种荷载或者作用，以起骨架作用的空间受力体系。组成建筑结构的基本部件称为构件。

根据构件的几何特征，可以将构件归纳为如下四类：（１）杆。如图１１（ａ）所示，它的几何特征是细而长，即L>>H,L>>B。杆又可分为直杆和曲杆。（２）板和壳。如图１１（ｂ）所示，它的几何特征是宽而薄，即a>>t，b>>t。平面形状的称为板，曲面形状的称为壳。（３）块体。如图１１（ｃ）所示，它的几何特征是三个方向的尺寸都是同量级大小的。（４）薄壁杆。如图１１（ｄ）所示的槽形钢材就是薄壁杆的一个例子。它的几何特征是长、宽、厚三个尺寸都相差很悬殊，即L>>B>>T。由杆件组成的结构称为杆系结构。杆系结构是建筑工程中应用最广泛的一种结构。本书所研究的主要对象是均匀连续的、各向同性的、弹性变形的固体，且限于小变形范围的杆件和由杆件组成的杆系结构。１１２建筑力学的研究内容杆系结构是由杆件组成的一种结构，它必须满足一定的组成规律，才能保持结构的稳定从而承受各种作用。结构的形式各异，但必须具备可靠性、适用性、耐久性。由此可知，建筑力学首先要研究的是结构在外力作用下的平衡规律，其次要研究的是结构的强度、刚度、稳定性。平衡是指结构相对于地球保持静止状态或匀速直线平移。强度是指结构抵抗破坏的能力，即结构在使用寿命期限内，在荷载作用下不允许破坏。刚度是指结构抵抗变形的能力，即结构在使用寿命期限内，在荷载作用下产生的变形不允许超过某一额定值。稳定性是指结构保持原有平衡形态的能力，即结构在使用寿命期限内，在荷载作用下原有平衡形态不允许改变。１１３建筑力学的研究任务建筑力学的研究任务是：通过研究结构的强度刚度、稳定性、几何组成规则以及材料的力学性能在保证结构既安全可靠又经济节约的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸并提供计算理论及计算方法。１２刚体和变形固体１２１刚体

在很多情况下，固体在受力和运动过程中变形很小，基本上保持原来的形状和大小不变。

对此，人们提出了刚体这一理想模型。刚体是指在任何情况下形状和大小都不发生变化的物体，其特点是在运动过程中，刚体的所有质元之间的距离始终保持不变。因此，构成刚体的质元只能以非常受限制的方式彼此相对运动。而且，作用在刚体各个部分之间的内力，在刚体的整体运动中不起作用。刚体是力学中的一个科学抽象概念，即理想模型。事实上，任何物体受到外力都不可能不改变形状。实际物体都不是真正的刚体。若物体本身的变化不影响整个运动过程，为使被研究的问题简化，可将该物体当作刚体来处理而忽略物体的体积和形状变化，这样所得到结果仍与实际情况相符合。１２２变形固体１．变形固体的概念

建筑工程上所用的构件都是由固体材料制成的，如钢、铸铁、木材、混凝土等，它们在外力作用下会或多或少地产生变形，有些变形可直接观察到，有些变形可通过仪器测出。在外力作用下，会产生变形的固体称为变形固体。

变形固体在外力作用下会产生两种不同性质的变形：一种是外力消除时，变形随之消失，这种变形称为弹性变形；另一种是外力消除后，变形不随之消失这种变形称为塑性变形。一般情况下，物体受力后既有弹性变形，又有塑性变形。但工程中常用的材料，当外力不超过一定范围时塑性变形很小，忽略不计，认为只有弹性变形，这种只有弹性变形的变形固体称为完全弹性体。只引起弹性变形的外力范围称为弹性范围。本书主要讨论材料在弹性范围内的变形及受力。２．变形固体的基本假设变形固体多种多样，其组成和性质是非常复杂的。对于用变形固体材料做成的构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了使问题简化，常略去一些次要的性质，而保留其主要的性质，因此，对变形固体材料作出下列几个基本假设。（１）均匀连续假设：假设变形固体是在其整个体积内由同种介质毫无空隙地充满了的物体。实际上，变形固体是由很多微粒或晶体组成的各微粒或晶体之间是有空隙的，且各微粒或晶体彼此的性质并不完全相同。但是由于这些空隙与构件的尺寸相比是极微小的，同时构件包含的微粒或晶体的数目极多，排列也不规则，而物体的力学性能并不反映其某一个组成部分的性能，而是反映所有组成部分性能的统计平均值，因此可以认为固体的结构是密实的，力学性能是均匀的。有了这个假设，物体内的一些物理量才可能是连续的才能用连续函数来表示。在进行分析时，可以从物体内任何位置取出一小部分来研究材料的性质，其结果可代表整个物体，也可将那些大尺寸构件的试验结果应用于物体的任何微小部分上去。（２）各向同性假设：假设变形固体沿各个方向的力学性能均相同。实际上，组成固体的各个晶体在不同方向上有着不同的性质。但由于构件所包含的晶体数量极多，且排列也完全没有规则，变形固体的性质实际上是这些晶粒性质的统计平均值。这样，在研究以构件为对象的问题时，就可以认为是各向同性的。工程使用的大多数材料，如钢材、玻璃、铜和高强度的混凝土，都可以认为是各向同性的材料。根据这个假设，当获得了材料在任何一个方向的力学性能后，就可将其结果应用于其他方向。在实际工程中，也存在了不少的各向异性材料。例如轧制钢材、合成纤维材料、木材、竹材等，它们沿各方向的力学性能是不同的。很明显，当木材分别在顺纹方向、横纹方向和斜纹方向受到外力作用时，它所表现出的力学性质是各不相同的。因此，对于由各向异性材料制成的构件，在设计时必须考虑材料在不同方向的不同力学性质。（３）小变形假设。在实际工程中，构件在荷载作用下，其变形与构件的原尺寸相比通常很小，可以忽略不计，称这一类变形为小变形。所以在研究构件的平衡和运动时，可按变形前的原始尺寸和形状进行计算。在研究和计算变形时，变形的高次幂项也可忽略不计。这样，使计算工作大为简化，而又不影响计算结果的实用精度。１３建筑力学的分析方法

建筑结构分析包括理论分析、试验分析和数值分析三个方面，过程如图１２所示。

建筑力学是力学的一门分支课程，在理论分析中应用了力学的许多基本概念及基本方法。在学习时要注重对基本概念的理解，同时要学习力学的基本研究方法，提高分析问题和解决问题的能力。

建筑力学是一门土建类专业的技术基础课程，具有承上启下的作用。本课程的学习为后继课程的学习打下了基础，也为终身继续学习打下了基础。在学习掌握知识的同时，应当重视力学分析和工程实际相联系；重视分析能力、计算能力、自学能力、表达能力及创新能力的培养。第2章

静力学基本知识2.1力的基本概念及力的效应2.2静力学公理2.3约束和约束反力2.4力矩2.5力偶及力偶矩2.6力的等效平移定理2.7物体的受力分析和受力图第2章

静力学基本知识学习目标通过本章的学习，熟悉力的性质、力的作用效应及工程中约束与约束反力的概念；掌握力矩、力偶及力偶矩、力的等效平移定理；能够对物体进行受力分析，画出受力图。2.1.1力的概念（1）力的定义

力是物体间的相互机械作用。这种作用使物体的运动状态或形状发生改变。2.1力的基本概念及力的效应

（2）力的三要素力对物体的作用效应取决于力的大小、方向和作用点，称为力的三要素。

（3）力的分类集中力——当力作用的面积很小以至可以忽略时，就可近似地看成一个点。作用于一点上的力称为集中力，单位为N（牛顿）或kN（千牛顿）。分布力——当力的作用面积较大而不可忽略时，这种力称为分布力。分布在狭长面积或体积上的力称为线分布力，其大小用集度表示，其单位为N/m或kN/m。（4）力的表示(b)(a)（5）等效力系

如果两个力系对物体的运动效应完全相同，则这两个力系称为等效力系。合力：如果一个力与一个力系等效，则此力称为该力系的合力。分力：该力系中的各力称为合力的分力。2.1.2力的效应力对物体的作用结果称为力的效应。力使物体运动状态发生改变的效应称为运动效应或外效应。力的运动效应又分为移动效应和转动效应。力使物体的形状发生改变的效应称为变形效应或内效应。公理一

二力平衡公理作用于同一刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是这两个力的大小相等、方向相反、作用在同一直线上。受两个力作用处于平衡的构件称为二力构件。2.2静力学公理公理二

加减平衡力系公理在作用于刚体上的任意力系中，增加或减少任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。推论：作用于刚体上的力可以沿其作用线移动到任意位置，而不改变力对刚体的作用效应。这一推论称为力的可传性原理。==F1=－F2=FFABFABF2F1F1AB公理三力的平行四边形法则

作用于物体上同一点的两个力，可以合成一个合力。合力的作用点仍在该点。合力的大小和方向，由以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线确定，其矢量表达式为FR＝F1＋F2

CAF2F1BDFRCF2AF1B三角形法则FR推论：三力平衡汇交定理刚体在三个力作用下处于平衡状态，若其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线也通过该汇交点，且此三力的作用线在同一平面内。证明：设刚体在作用于A、B、C三点的三个力F1、F2、F3作用下处于平衡状态，且力F1、F2汇交于O点，根据力的可传性原理，可将力F1和F2移到汇交点O，然后根据力的平行四边形法则得合力F12。112则力F3应与F12平衡。由于两个力平衡必须共线，所以力F3必通过力F1与F2的交点O，且与F1和F2共面。112必须指出，三力平衡汇交定理给出的是不平行的三个力平衡的必要条件，而不是充分条件，即该定理的逆定理不一定成立。公理四作用和反作用定律两物体之间的作用力和反作用力总是同时存在，而且两力的大小相等、方向相反、沿着同一直线分别作用于该两个物体上。

注意：作用力与反作用力分别作用于两个物体上，它们不构成平衡力系。2.3约束和约束反力2.3.1约束和约束反力的概念

自由体——在空间可以任意运动，位移不受任何限制的物体，例如在空中飞行的飞机、炮弹和火箭等。

非自由体——如果受到某种限制，在某些方向不能运动的物体，例如用绳子挂起的重物、行驶在铁轨上的机车等。

约束——对于非自由体的某些位移起限制作用的条件（或周围物体）。例如，绳子为重物的约束，铁轨为机车的约束。

约束反力(约束力或反力)——约束对被约束物体作用的力。约束反力的作用点是约束与物体的接触点，方向与该约束所能够限制物体运动的方向相反。2.3.2工程中常见的约束与约束反力

（1）柔体约束

绳索、链条、胶带等柔性物体都可以简化为柔体约束。这种约束的特点是只能限制物体沿柔索伸长方向的运动。因此，柔体约束的方向只能沿柔索的中心线且背离物体，即为拉力。FTFAFB（2）光滑接触面当两物体的接触面之间的摩擦力很小、可忽略不计，就构成光滑接触面约束。光滑接触面只能限制被约束物体沿接触点处公法线朝接触面方向的运动，而不能限制沿其他方向的运动。因此，光滑接触面的约束反力只能沿接触面在接触点处的公法线，且指向被约束物体，即为压力。这种约束反力也称为法向反力。

（3）可动铰支座工程上将构件连接在墙、柱、基础等支承物上的装置叫做支座。用销钉把构件与支座连接，并将支座置于可沿支承面滚动的辊轴上，这种支座叫做可动铰支座。

这种支座只限制构件沿支承面法线方向的移动，不限制构件沿支承面的移动和绕销定轴线的转动。因此，活动铰支座的约束反力垂直于支承面，通过铰链中心，指向待定。图（b～d)为活动铰支座的简化表示（4）固定铰支座用铰链连接的两个构件中，如果其中一个是固定在基础或静止机架上的支座，则这种约束称为固定铰支座，简称铰支座。固定铰支座的约束反力与铰链的情形相同。图（b～e)为固定铰支座的简化表示

（5）固定端支座

构件与支承物固定在一起，构件在固定端既不能沿任何方向移动，也不能转动，这种支承叫做固定端支座。房屋建筑中的雨篷，其嵌入墙身的挑梁的嵌入端就是典型的固定端支座。

固定端支座对构件除产生水平反力和竖向反力外，还有一个阻止构件转动的反力偶。

2.4力矩2.4.1力对点之矩

用扳手拧螺母时，作用于扳手上的力F使扳手绕螺母中心O转动，其转动效应不仅与力的大小和方向有关，而且与O点到力作用线的距离d有关。因此，把乘积Fd冠以适当正负号作为力F使物体绕O点转动效应的度量，称为力F对点O之矩，简称力矩，用MO

(F)表示，即MO

(F)＝±Fd

或MO

(F)＝±2A△OAB

O点称为矩心，d称为力臂。式中的正负号用来区别力F使物体绕O点转动的方向，并规定：力F使物体绕O点逆时针转动时为正，反之为负。力矩的单位为N·m或kN·m。设在同一平面内有n个力F1，F2，…，Fn，其合力为FR，则合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。这个关系称为合力矩定理，即

MO（FR）＝MO（F1）＋MO（F2）＋…＋MO（Fn）＝

MO（Fi）2.4.2合力矩定理应用合力矩定理计算力对点之矩较为简便。证明：就两个力的简单情况进行证明。设力F1、F2作用于物体上A点，其合力为FR。任取一点O为矩心，取过O点并与OA垂直的直线为x轴，过各力矢端B、C、D作x轴的垂线，设垂足分别为b、c、d。各力对点O之矩分别为ODcbdxACBF2F1FR

MO（F1）＝－2A△OAB＝－OA·ObMO（F2）＝－2A△OAC＝－OA·OcMO（FR）＝－2A△OAD＝－OA·Od由Od＝Ob＋Oc得MO（FR）＝MO（F1）＋MO（F2）ODcbdxACBF2F1FR

【例2-1】

一齿轮受到与它啮合的另一齿轮的作用力F=1kN的作用。已知压力角

=20

，节圆直径D=0.16m，求力F对齿轮轴心O之矩。

【解】用两种方法计算力F对O点之矩。方法一：由力矩的定义，得

MO(F)＝－Fd＝－F＝－75.2Ｎ

m负号表示力F使齿轮绕O点作顺时针转动。方法二：将力F分解为圆周力Ft=Fcos

和径向力Fr=Fsin

。由合力矩定理，得

MO(F)＝MO(Ft)＋MO(Fr)因力Fr通过矩心O，故MO(Fr)＝0，于是

MO(F)＝MO(Ft)＝－Ft＝－（Fcos

）＝－75.2Ｎ

m2.5力偶及力偶矩2.5.1力偶的定义两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系称为力偶，记为（F，F′）。力偶的作用面——力偶所在的平面。力偶臂——组成力偶的两力之间的距离。2.5.2力偶的性质

（1）力偶对物体不产生移动效应，因此力偶没有合力。一个力偶既不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。力与力偶是表示物体间相互机械作用的两个基本元素。

（2）任一力偶可以在它的作用面内任意移动，而不改变它对刚体的效应。（3）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的效应。2.6力的等效平移定理力的等效平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚体内任一指定点，但必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力对指定点之矩。2.7物体的受力分析和受力图在求解建筑工程力学问题时，一般首先需要根据问题的已知条件和待求量选择一个或几个物体作为研究对象，然后分析它受到哪些力的作用，其中哪些是已知的，哪些是未知的，此过程称为受力分析。对研究对象进行受力分析的步骤为：（1）取隔离体。将研究对象从与其联系的周围物体中分离出来，单独画出。这种分离出来的研究对象称为隔离体。

（2）画主动力和约束反力。画出作用于研究对象上的全部主动力和约束反力。这样得到的图称为受力图或隔离体图。

【例2-2】小车连同货物共重W，由绞车通过钢丝绳牵引沿斜面匀速上升。不计车轮与斜面间的摩擦，试画出小车的受力图。

【解】1）取隔离体。将小车从钢丝绳和斜面的约束中分离出来，单独画出。

2）画主动力。作用于小车上的主动力为W，其作用点为重心C，铅垂向下。CW

3）画约束反力。作用于小车上的约束反力有：钢丝绳的约束反力FT，方向沿绳的方向且背离小车；斜面的约束反力FA、FB，作用于车轮与斜面的接触点，垂直于斜面且指向小车。CWFBFTFA

谢谢第３章平面汇交力系与平面

力偶系的合成与平衡第３章平面汇交力系与平面力偶系的

合成与平衡3.1平面力系的分类3.2平面汇交力系的合成与平衡3.3平面力偶系的合成与平衡

学习目标通过本章的学习，熟悉平面力系的分类，能够运用几何法、解析法进行平面汇交力系的合成；掌握平面力偶系的合成，能够进行平面力偶系的平衡分析。3.1平面力系的分类为了便于研究问题，我们通常按力系中个各力作用线分布情况的不同分为平面力系和空间力系两大类。各力的作用线均在同一平面上的力系称为平面力系；作用线不全在同一平面上的力系称为空间力系。3.1平面力系的分类在平面力系中，各力的作用线均汇交于一点的力系，称为平面汇交力系；各力作用线互相平行的力系，称为平面平行力系；各力作用线任意分布的力系，称为平面一般力系（图（a））。图（a）3.2平面汇交力系的合成与平衡图（a）平面汇交力系是力系中最简单的一种，在工程中有很多实例。例如，起重机起吊重物时(图a)，作用于吊钩C的三根绳索的拉力，都在同一平面内，且汇交于—点，就组成了平面汇交力系。3.2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法

平面汇交力系的其合力可以按两个共点力的合成方法，逐次使用力三角形法则求得。3.2平面汇交力系的合成与平衡多边形ABCDE称为力多边形，而合力矢是力多边形的封闭边，这种求合力矢的几何作图方法叫力多边形法则，亦称为几何法。3.2平面汇交力系的合成与平衡无论汇交力系有多少个力组成，都可以用这种方法来求合力。平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力等于原力系中所有各力的矢量和。即

3.2平面汇交力系的合成与平衡3.2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

平面汇交力系合成的几何法虽具有直观、无计算量的优点，但是其精确度较差。所以在力学的计算中，经常应用另一种方法——解析法求解平面汇交力系的合成。3.2平面汇交力系的合成与平衡（1）力在坐标轴上的投影3.2平面汇交力系的合成与平衡力F在x轴上的投影，用X表示，图示为正值。一般采用力F与坐标轴x所夹的锐角来计算投影，投影X和Y可用下列式子计算：式中：为力F与x轴所夹的锐角。3.2平面汇交力系的合成与平衡1）已知力求投影：已知力F的大小及力F与x、y轴正向间的夹角分别为α、β，则有3.2平面汇交力系的合成与平衡

当α、β为钝角时，为了计算简便，往往先根据力与某轴所夹的锐角来计算力在该轴上投影的绝对值，再由观察来确定投影的正负号。2）已知投影求力已知力F在直角坐标轴上的投影为X、Y，则力F的大小及方向为b2b1a1XYa2OxyABFα3.2平面汇交力系的合成与平衡（2）合力投影定理3.2平面汇交力系的合成与平衡合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。（3）用解析法求平面汇交力系的合力

当平面汇交力系为已知时，选定直角坐标系，求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的投影Rx、Ry，从图中的几何关系，可得合力R的大小和方向：3.2平面汇交力系的合成与平衡3.3.1平面力偶系的合成

作用面都位于同一平面内的若干个力偶，称为平面力偶系。平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶的矩等于力偶系中各力偶矩的代数和，即

M＝M1＋M2＋…＋Mn＝

M

3.3平面力偶系的合成与平衡证明：就两个力偶的简单情况进行证明。设在某一平面内作用有两个力偶M1、M2，任取一线段AB=d作为公共力偶臂，根据力偶的等效性质，将力偶M1、M2移动，并把力偶中的力分别改变为于是，力偶M1与M2可合成为一个力偶，其矩为M＝FRd

＝（F1－F2）d＝M1＋

M23.3.2平面力偶系的平衡条件及应用

3.3平面力偶系的合成与平衡平面力偶系可以合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，力偶系中的各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态。即，

上式称为平面力偶系的平衡方程，应用平面力偶系的平衡方程可以求解一个未知量。

谢谢第4章平面任意力系的

合成与平衡4.1平面任意力系的简化4.2平面任意力系的平衡方程4.3平面平行力系的合成与平衡4.4物体系统的平衡问题第4章平面任意力系的合成与平衡学习目标通过本章的学习，熟悉平面任意力系的简化与平衡，掌握平面平行力系的合成与平衡方程，能对物体系统的平衡问题进行分析。4.1平面任意力系的简化

如果力系中各力的作用线同在一个平面内且任意分布，则该力系称为平面任意力系。如果力系中各力的作用线同在一个平面内且全部相互平行，则该力系称为平面平行力系。1.平面任意力系的简化4.1平面任意力系的简化

如图a所示一平面任意力系，将力系中各力向任意一点o平移，运用力的平移定理后得到一个平面汇交力系和一个平面力偶系，再经过合成，最终合成为一个合力和一个合力偶，分别称为主矢和主矩。

主矢：主矩：4.1平面任意力系的简化1.平面任意力系的简化由此可得结论：平面任意力系向平面内任一点简化可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。4.1平面任意力系的简化1.平面任意力系的简化2.平面任意力系简化结果讨论FR’≠0Mo=0FR’=0Mo≠0FR’≠0Mo≠04.1平面任意力系的简化4.2平面任意力系的平衡平衡条件：主矢为零，主矩为零：其他形式：二矩式：三矩式：A、B、C不共线即：平面任意力系平衡方程的解题步骤（1）确定研究对象，画出受力图。应取有已知力和未知力作用的物体，画出其分离体的受力图。（2）列平衡方程并求解。适当选取坐标轴和矩心。若受力图上有两个未知力互相平行,可选垂直于此二力的坐标轴,列出投影方程。如不存在两未知力平行，则选任意两未知力的交点为矩心列出力矩方程，先行求解。一般水平和垂直的坐标轴可画可不画，但倾斜的坐标轴必须画。4.2平面任意力系的平衡例【4-2】外伸梁如图4-4（a）所示，已知F1=F2=20kN，试求A、B支座的约束反力。图4-44.2平面任意力系的平衡解：（1）选取外伸梁为研究对象，画出其受力图。（2）列平衡方程，求解未知量。选取坐标轴如图4-4（b），作用在外伸梁上的有已知力F1、F2，未知力FAx、FAy、FBy，支座反力的指向是假定的。以上五个力组成平面任意力系，可列出三个独立的平衡方程求解三个未知力。，FAX-F1·COS30º=0，解得FAX=17.32kN（→），FBY×4-F1·sin30º×2-F2×7=0，解得FBY=40kN（↑），FAY+FBY-F1·sin30º-F2=0，解得FAY=-10kN（↓）4.2平面任意力系的平衡注意：计算结果为正值，说明力的实际方向与假设方向一致；计算结果为负值，说明力的实际方向与假设方向相反。在答案后面的括号内均要注明力的实际方向。4.2平面任意力系的平衡4.3平面平行力系的合成与平衡1.合力矩定理平面力系的合力FR对平面内任一点的矩等于各分力Fi对同点矩的代数和，即

应用这一定理，可以很方便地求出合力对一点的矩，也可确定出合力的作用位置。当合力对一点的矩不好计算时，也可将合力先进行分解，求出各个分力对一点之矩后再求其代数和。2.平面平行力系的合力可由合力投影定理求得FR的大小:可由合力矩定理求的合力FR作用线的位置：可得4.3平面平行力系的合成与平衡例【4-4】如图5.7所示，求各分布荷载的合力及其合力对A点之矩。4.3平面平行力系的合成与平衡解：根据合力矩定理可知，分布荷载对某点之矩就等于其合力对该点之矩。（1）计算（a）图均布荷载的合力及对A点之矩合力FR=8×4=32kN，MA=-8×4×2=-64kN·m4.3平面平行力系的合成与平衡（2）计算（b）图均布荷载的合力及对A点之矩合力FR=½×40×2=40kN，

MA=-40×2×1/3=-26.67kN·m4.3平面平行力系的合成与平衡（3）计算（c）图均布荷载的合力及对A点之矩合力FR=20×3+1/2×（40-20）×3=90kNMA=-（20×3×1.5+1/2×20×3××3）=-120kN·m4.3平面平行力系的合成与平衡2.平面平行力系的平衡方程或二力矩式其中A、B两点连线不能与各力连线平行平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。4.3平面平行力系的合成与平衡例【4-6】如图所示，简支梁AB，梁上作用有集中力，已知F1＝F2＝20kN，试求支座A、B的支座反力。解：（１）选取简支梁AB为研究对象，画出其受力图。由前面例题可知梁在只承受竖向荷载作用时水平约束反力恒等于零，因此该梁只有两个竖向约束反力，它们和外力共同组成一个平面平行力系。4.3平面平行力系的合成与平衡（2）列平衡方程，求解未知量。，-F1×2-F2×4+FBy×6=0，解得FBy=20kN（↑），FAy+FBy-20-20=0，解得FAy=20kN（↑）因为梁AB是对称梁，梁上荷载也对称，所以支座反力也对称，则FBy=FAy=1/2（F1+F2）=1/2×（20+20）=20kN（↑）

4.3平面平行力系的合成与平衡4.4物体系统的平衡物体系统物体组成的系统若干个物体通过约束组成系统的外力系统以外的物体对系统的力可以是主动力，可以是约束反力系统的内力-系统内部各物体之间相互作用的力【例4-7】已知多跨静定梁受力如图所示，已知F1=20kN,F2=40kN，求支座A、C和铰B处的约束反力。4.4物体系统的平衡解：（1）先考虑整体平衡时，有四个未知力，无法求解。故先选取BC梁为研究对象，画出其受力图，如图（b）所示。列平衡方程，求解未知量。，得FBx=0，-F1×1+FCy×20=0，解得FCy=10kN（↑），FBy

+FCy-F1

=0，解得FBy=10kN（↑）（2）选取整体为研究对象，画出其受力图，如图（c）所示。列平衡方程，求解未知量。，得FAx=0,-mA-F2×2-F1×6+FCy×7=0，解得mA=-130kN·m（逆时针）计算结果为负值，说明力偶的实际转向与假设方向相反，mA的实际转向是逆时针转动。，FAy

+FCy-F1-F2=0，解得FAy=50kN（↑）4.4物体系统的平衡

谢谢第5章材料力学基本知识5.1材料力学概述5.2外力、内力、截面法和应力的概念5.3变形和应变第5章材料力学基本知识学习目标通过本章的学习，熟悉外力、内力、截面法和应力、变形和应变概念，认识杆件变形的基本形式。5.1材料力学概述1.材料力学的基本假设连续均匀性假设：假设变形固体在其整个体积内用同种材料毫无空隙地充满了物体。小变形假设:在材料力学中，认为构件受力后的变形量与构件原始尺寸相比是极其微小的，这样，在研究构件的平衡和运动以及其内部的受力和变形等问题时，均可按构件的原始尺寸计算，从而使计算简化。各向同性假设:假设变形固体内材料在各个方向的力学性能完全相同，即假设变形固体为各向同性材料。2.材料力学的任务5.1材料力学概述各种工程结构都是由若干个构件组成的，这些构件工作时都要承受力的作用。为确保构件在规定的工作条件和使用寿命期间能正常工作，须满足以下要求：Ⅰ.

具有足够的强度——构件在外力作用下不发生破坏，是构件能正常工作的前提条件。构件在外力作用下抵抗破坏的能力称为构件的强度。例如储气罐不应爆破。（破坏——断裂或变形过量不能恢复）FF5.1材料力学概述2.材料力学的任务FF钢筋Ⅱ.

具有足够的刚度——构件在外力作用下产生的变形应在允许的范围内。构件在外力作用下抵抗变形的能力称为构件的刚度。5.1材料力学概述2.材料力学的任务荷载未作用时荷载作用下FⅢ.

具有足够的稳定性——某些细长杆件（或薄壁构件）在轴向压力达到一定的数值时，会失去原来的平衡状态而丧失工作能力，这种现象称为失稳。所谓稳定性，是指构件维持原有平衡状态的能力。5.1材料力学概述2.材料力学的任务5.2外力、内力、截面法和应力的概念1.外力和内力外力其他物体作用在研究对象上的作用力统称为外力，如支座反力、荷载等内力物体在外力作用下，内部各质点的相对位置将发生改变，其质点的相互作用力也会发生改变。这种由于物体受到外力作用而引起的内力的改变量，称为“附加内力”，简称为内力。5.2外力、内力、截面法和应力的概念2.截面法将杆件假想地切成两部分，以显示内力，称为截面法。p

M

垂直于截面的应力称为“正应力”(σ

，sigma西格玛)；位于截面内的应力称为“剪应力”(τ，tau套

)。

应力单位：1Pa=1N/m2

1MPa=1×106N/m21GPa=1×109N/m25.2外力、内力、截面法和应力的概念3.应力内力在截面上一点处的内力集度称为应力。为了说明截面上某一点M处的应力，可绕M点取一微小面积ΔA，作用在ΔA上的内力合力记为ΔF,平均应力的极限值P才能代表该点处应力。5.3变形和应变1.变形荷载未作用时荷载作用下F构件在荷载作用下，其形状和尺寸发生变化的现象称为变形。5.3变形和应变2.应变应变又可分为正应变（线应变）和切应变两种。每单位长度的伸缩称为正应变（线应变），用ε（epsilon，伊普西龙）表示；各线段之间的直角的改变称为切应变（角应变），用γ（gamma，伽马）表示。线应变ε

线应变——即单位长度上的变形量，无量纲，其物物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小5.3变形和应变2.应变切应变γ

切应变：即一点单元体两棱角直角的改变量，无量纲弹性变形：卸载时能够消失或恢复的变形;

塑性变形：卸载时不能消失或恢复的变形。γ5.3变形和应变3.杆件及其变形的基本形式（１）杆件实际的工程结构中，许多受力构件如桥梁、房屋的梁和柱等，其长度方向的尺寸远远大于横截面尺寸，这一类的构件在材料力学的研究中通称为杆件。5.3变形和应变①轴向拉伸或压缩变形

受力特点：杆受一对大小相等，方向相反的纵向力，力的作用线与杆轴线重。变形特点：相邻截面相互离开(或靠近)（2）杆件的四种基本变形形式5.3变形和应变②剪切变形

受力特点：杆受一对大小相等，方向相反的横向力作用，力的作用线靠得很近。

变形特点：相邻截面相对错动（2）杆件的四种基本变形形式5.3变形和应变③扭转变形受力特点：杆受一对大小相等，方向相反的力偶，力偶作用面垂直于杆轴线.变形特点：相邻截面绕轴相对转动.（2）杆件的四种基本变形形式5.3变形和应变④弯曲变形受力特点：杆受一对大小相等，方向相反的力偶作用，力偶作用面是包含(或平行)轴线的纵向面.变形特点：相邻截面绕垂直于力偶作用面的轴线作相对转动.（2）杆件的四种基本变形形式

谢谢第６章轴向拉伸或压缩学习目标通过本章的学习，熟悉轴向拉伸或压缩的概念应力集中的概念掌握材料拉伸压缩时的力学性能；能绘制拉压杆的轴力和轴力图进行轴向拉压杆变形及强度计算。工程实际中，承受轴向拉伸或压缩的构件相当多。例如，图６１（ａ）所示的连接螺钉，当拧紧螺帽时，被拧紧的工件对螺钉有反作用力，其合力将通过螺钉横截面的形心并且沿螺钉轴线的方向使螺钉受拉。图６１（ｂ）所示的内燃机连杆，在燃气爆发冲程中受压。这类杆件的受力特点是：外力合力的作用线与杆的轴线相重合。其变形特点是：杆件产生沿杆轴线的伸长或缩短。本章只研究直杆的拉伸与压缩，因此可将这类杆件的形状和受力情况进行简化，得到如图６１（ｃ）所示的受力简图。图中的粗线为受力前的形状，细线则表示变形后的形状。６１拉压杆的轴力和轴力图６１１轴力拉压杆件截面上分布内力系的合力，其作用线与杆件轴线重合，称为轴力，如图６２和图６３所示。６２拉压杆横截面及斜截面上的应力６２１横截面上的应力仅知道杆件横截面上的轴力并不能解决杆件的强度问题。例如，两根材料相同而横截面,面积不同的直杆，受到同样大小的轴向拉力的作用，两杆横截面上的轴力也相同。当轴向拉力逐渐增大时，横截面面积小的直杆，必定先被拉断。这说明杆件强度不仅与轴力大小有关，而且与横截面面积有关。所以必须用横截面上的应力来度量杆件的强度。在拉（压）杆横截面上，与轴力犖相对应的只能是正应力σ，要确定该应力的大小，必须了解σ在横截面上的分布规律。由于内力与变形之间存在一定的关系，因此可通过试验的方法观察其变形规律，从而确定正应力σ的分布规律。若杆的横截面面积为犃，则微面积ｄ犃上的法向内力元素σｄ犃组成一垂直于横截面的平行力系，其合力为犖。于是由静力关系得这就是拉杆横截面上正应力的计算公式。式中σ为横截面上的正应力，犖为横截面上的轴力，犃为横截面面积。公式（６１）也同样适用于轴向压缩的情况。当犖为拉力时，σ为拉应力，规定为正；当犖为压力时，σ为压应力，规定为负。应该指出，在载荷作用点附近的截面上，正应力均匀分布的结论有时是不成立的。在实际构件中，荷载以不同的加载方式施加于构件。不同的加载方式对截面上的应力分布是有影响的。但是，试验研究表明，杆端加载方式的不同，只对杆端附近截面上的应力分布有影响，其影响长度不超过杆的横向尺寸。这一论断，称为圣维南原理。根据这一原理，在拉压杆中，离外力作用点稍远的横截面上,应力分布便是均匀的。

６２２斜截面上的应力前面只讨论了拉（压）杆横截面上的应力，但对不同材料的试验表明，拉（压）杆破坏并不都沿横截面发生，有时沿斜截面发生。为了全面研究杆的强度，有必要进一步讨论斜截面上的应力。设一等直杆受到轴向拉力犘的作用，其横截面的面积为犃，要求任意斜截面犿－犿上的应力。设该斜截面的外法线狅狀与狓轴的夹角为α［图６９（ａ）］，采用截面法可求得犿－犿截面上的内力为犖犪＝犘［图６９（ｂ）］。仿照证明横截面上应力均匀分布的方法，也可得出斜截面上应力均匀分布的结论。若以犃α表示斜截面的面积，狆α表示其上的应力，则６３材料拉伸、压缩时的力学性能６３１材料拉伸时的力学性能１．低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢的狑Ｃ≤０．２５％，是建筑工程中应用最广泛的一种主要金属材料。低碳钢在拉伸试验中所表现出的力学性能比较全面和典型，所以下面首先讨论低碳钢的拉伸试验。（１）荷载变形曲线。将标准试件夹在万能试验机上，缓慢加载，直至拉断。在试件拉伸的全过程中，自动绘图仪将每一瞬间的拉力犉和试件的绝对伸长Δ犾记录下来。以拉力犉为纵坐标，以Δ犾为横坐标，将犉与Δ犾的关系按一定比例绘制成曲线，称该曲线为荷载变形曲线（犉Δ犾曲线），如图６１０所示。荷载变形曲线反映了试件在拉伸的全过程中，拉力与绝对伸长量的关系。但它还不能说明材料的力学性能，因为荷载变形曲线受试件直径、长度的影响，同种材料不同粗细和不同长短的试件，所得的荷载变形曲线将有量的差别。为了消除试件尺寸的影响，将图中纵坐标拉力犉除以试件的原始截面积犃，得应力σ＝犉／犃；将拉伸图中的横坐标伸长量Δ犾除以试件标距犾，得线应变ε＝Δ犾／犾。这样绘成的曲线称为应力应变曲线（σ

ε曲线），如图６１１所示。（２）变形发展的４个阶段。由低碳钢的犉Δ犾曲线和σ

ε曲线可以看出，整个变形发展过程可分为４个阶段，且每个阶段都各有其特点。第一阶段———弹性阶段。这一阶段的特点为线性和弹性。由图６１１可见，犗犃段的应力应变曲线是一条直线，表明这一阶段的应力和应变成正比，即σ＝犈ε（６３）这正是胡克定律的证明。犃点对应的纵坐标σ狆叫做规定非比例伸长应力。当σ＞σ狆时，应力和应变之间的线性关系将不存在，低碳钢σ狆＝２００ＭＰａ。另外，在犃犅′之间的犃点临近处还有一特殊点，其纵坐标所代表的应力σｅ，叫做材料的弹性极限。若应力不超过此极限，当卸去荷载时，则变形将全部消失，此范围内材料的变形完全是弹性变形。而超过此极限时材料有塑性变形。对于低碳钢，弹性极限和规定非比例伸长应力十分接近。第二阶段———屈服阶段。这一段为大致水平的锯齿形线段（见图６１１中犅′犅段）。荷载基本上不增加，在小幅度内波动，而变形却急剧增加，这种现象叫做屈服，它说明材料暂时失去了抵抗变形的能力。锯齿形曲线的最高、最低点的纵坐标所表示的应力分别叫做上、下屈服点。上屈服点不如下屈服点值稳定，所以称下屈服点为屈服点，用符号σｓ表示。低碳钢的σｓ≈２４０ＭＰａ。材料屈服时，若试件表面磨光，则可见到一些与试件轴线约成π／４角的条纹（图６１２），称为滑移线。这是材料的晶粒间相互滑移后留下的痕迹，它是由塑性变形造成的。第三阶段———强化阶段。经过屈服阶段后，材料的内部结构重新得到了调整，抵抗变形的能力又有所恢复，表现为应力应变曲线自犅点开始又继续上升，直到最高点犆为止，这一现象称为强化，这一阶段称为强化阶段。第四阶段———颈缩阶段。随着试件不断伸长，其各截面直径不断缩小，到达犆点以后，试件中某一薄弱截面显著收缩成颈，这一现象称为颈缩现象如图６１３所示。出现颈缩前，整个工作长度内的应变是均匀分布的；而开始颈缩后，变形就只在颈部进行，使颈部急剧变细而伸长，同时荷载急剧下降，并迅速达到犇点，试件突然断裂。２．其他几种材料拉伸时的力学性能其他金属材料拉伸时的力学性能与低碳钢的σ

ε曲线中的４个阶段基本相似，但不完全相同。图６１５给出了几种常用的塑性材料在拉伸时的σ

ε曲线，这些曲线与低碳钢的σ

ε曲线相比较有以下区别：有些材料例如铝合金没有屈服阶段，而其他三个阶段都很明显；另外一些材料如锰钢，仅有弹性阶段和强化阶段，而没有屈服阶段和颈缩阶段。但这些塑性材料都有一个共同的特点，即断后伸长率δ均较大，而且都没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，国家相关标准规定，取塑性应变为０．２％时所对应的应力值作为条件屈服极限（屈服点），以σ０．２表示。图６１６给出了一种典型的脆性材料铸铁的σ

ε曲线，与低碳钢的σ

ε曲线比较，它具有以下的特点：断后伸长率δ很小（δ＜２％～５％），看不到低碳钢变形的４个阶段，而且几乎从一开始就不是直线。但由于试件变形非常微小，因此，一般可近似地将其σ

ε曲线的绝大部分看成是直线，并认为材料在这一范围内是服从胡克定律的。在工程计算中通常用σ

ε曲线的割线（图６１６中的虚线）来代替此曲线的开始部分，从而确定其弹性模量。由此确定的弹性模量称为割线弹性模量。对于其他脆性材料，例如混凝土、砖、石等，也是根据这一原则确定其割线弹性模量的。６３２材料压缩时的力学性能许多建筑材料的抗拉和抗压性质有很大程度的不同，因此，材料在压缩时的力学性质必须通过压缩试验来确定。金属材料的压缩试件一般做成短圆柱体，混凝土压缩试件通常做成正方体。１．塑性材料压缩时的力学性能把试件放到试验机中受压，记录下荷载及相应的变形值，便可得到压缩时的σ

ε曲线。图６１７（ａ）是低碳钢压缩时的σ

ε图，图中双点画线表示拉伸时的σ

ε曲线，实线表示压缩时的σ

ε曲线。比较两条曲线可以看出，在屈服阶段以前，两曲线基本上是重合的，其弹性模量和屈服点在拉伸和压缩时基本相等。但进入强化阶段后，试件压缩时的应力σ随着ε值的增长而越来越大。此时试件越压越扁，并最后变为鼓形，如图６１７（ｂ）所示。因为受压面积越来越大，试件不可能发生断裂，而使低碳钢的抗压强度无法测定。因此，钢材的力学性能主要是用拉伸试验来确定。２．脆性材料压缩时的力学性能与塑性材料相反，脆性材料在压缩时的力学性能与拉伸时有较大区别。下面首先介绍铸铁在压缩时的力学性能。图６１８（ａ）给出了铸铁在拉伸（虚线）和压缩（实线）时的σ－ε曲线，比较这两条曲线可以看出，铸铁在压缩时，无论是抗压强度或者是断后伸长率δ都比拉伸时大得多，而且曲线中的直线部分很短。铸铁试件受压破坏的情况如图６１８（ｂ）所示，大致沿４５°的斜面上发生剪切错动而破坏，这说明铸铁的抗剪能力比抗压差。图６１９（ａ）、（ｂ）是混凝土试件被压坏的两种形式。当压板与试块端面间不加润滑剂时，由于试件两端面与试验机压板间的摩擦阻力阻碍了试件两端材料的变形，所以试件压坏时是自中间部分开始逐渐剥落而形成两个截锥体；而当压板和试块间加润滑剂以后，由于试件两端面与试验机压板间的摩擦力较小，因此试件压坏时是沿纵向开裂。６４轴向拉压杆变形及强度计算６４１线变形和线应变如图６２０（ａ）所示为一受轴向拉伸的杆件在变形前长度为犾，受力变形后的长度为犾１，杆的伸长量（即线变形）Δ犾＝犾１－犾。在拉伸时犾１＞犾，Δ犾是正值；在压缩时［图６２０（ｂ）］犾１＜犾，Δ犾是负值。Δ犾的量纲是长度。Δ犾只反映杆的总变形量并不能说明变形的程度。变形程度通过单位长度的伸长量来表示，又称线应变，并用ε表示为６４２拉、压杆的强度计算准则为保证拉、压杆安全可靠地工作，杆横截面上的最大正应力必须满足：σｍａｘ≤［σ］。此为拉６５应力集中

谢谢第7章剪切与挤压7.1剪切及其实用计算7.2挤压及其实用计算7.3应用实例第7章剪切与挤压学习目标通过本章的学习，熟悉剪切的概念及剪切胡克定律；能够行剪切的实用计算、挤压的实用计算。7.1.1剪切的概念及特点（1）剪切定义

当杆件某一截面处受到等值、反向、作用线平行且相距很近的一对横向力作用时，将使杆件两部分沿这一截面（剪切面）发生相对错动的变形，这种变形称为剪切变形7.1剪切及其实用计算

（2）剪切受力和变形的特点（１）载荷特点：作用力与截面平行（垂直于轴线）。（２）变形特点：各横截面发生相互错动。（３）内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称剪力。7.1.2剪切胡克定律试验指出：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变成正比。即材料的剪切胡克定律：τ＝Gγ

GG与材料有关，称为材料的切变模量。犌的量纲与τ相同，常用单位是，其数值可由试验测得。一般钢材的G约为80，铸铁的G约为45。7.1.3

剪切的实用计算

剪力：剪切面上与外力大小相等、方向相反的内力，用V表示。剪应力：剪力在剪切面上的分布集度，用τ表示。

（1）剪力和剪应力的概念剪切计算只对连接件进行式中τ———剪应力；FQ———剪切面上的剪力；A———剪切面面积。且抗剪强度条件为塑性材料

脆性材料（2）剪力的计算机械中的连接件，在承受剪切作用的同时，在传力的接触面间互相挤压，而产生局部变形的现象，称为挤压。挤压破坏的特点是构件相互接触的表面因承受了较大的压力，接触处的局部区域发生显著的塑性变形或碎裂。7.2挤压及其实用计算7.2.1

挤压的概念作用于接触面上的压力，称为挤压力，以Fjy表示。挤压面上的压强，称为挤压应力，以σjy表示。实用计算中，假设在挤压面上挤压应力是均匀分布的，则构件挤压面上的平均挤压应力为：

7.2.1

挤压的实用计算挤压强度条件为式中［σjy］———材料的许用挤压应力；［σjy］可以通过与构件实际受力情况相似的剪切试验得到。试验表明，许用挤压应力［σjy］与许用拉应力［σ］之间有如下关系：塑性材料脆性材料7.3应用实例【例7-1】小电平车挂钩由插销连接。插销材料为20钢，［τ］＝30MPa，［σjy］＝100MPa，直径d＝20mm。挂钩及被连接的板件的厚度分别为t＝8mm和1.5t＝12mm，牵引力F＝15kN。试校核插销的抗剪强度和挤压强度。解：插销受力如上图所示。插销中段相对于上、下两段，沿m—m和n—n两个面向左错动。所以有两个剪切面，称为双剪切。由【例7-2】如图下图所示的齿轮用平键与轴连接（齿轮未画出）。已知轴的直径d＝70mm，键的尺寸b×h×l＝20mm×12mm×100mm，传递的扭矩m＝2kM·ｍ，键的许用应力［τ］＝60MPa，［σjy］＝100MPa，试校核键的强度。解：如图所示，n—n剪切面上的剪力FＱ为此键满足抗剪强度条件。如上图（ｃ）所示，右侧面上的挤压力为由得此键满足抗压强度条件。

谢谢第8章扭转8.1扭转的概念及外力偶矩的计算8.2圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图8.3等直圆轴扭转时横截面上的切应力8.4等直圆轴扭转强度条件和刚度条件第8章扭转学习目标通过本章的学习，熟悉扭转的概念及外力偶矩的计算；掌握圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图，等直圆轴扭转时横截面上的切应力；能够进行等直圆轴扭转时的强度计算。图8-1螺丝刀拧螺钉8.1扭转的概念及外力偶矩的计算8.1.1扭转的概念图8-2用手电钻钻孔图8-3雨篷梁和雨篷板雨篷梁每米的长度上承受由雨篷板传来的均布力矩，根据平衡条件，雨篷梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩，如图所示，雨篷梁处于受扭状态。作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用φ表示，如图8-4所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。图8-4工程中常用的传动轴（图8-5）是通过转动传递动力的构件，由已知轴所传递的功率和轴的转速，根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：式中m——作用在轴上的外力偶矩，Ｎ·ｍ；N——轴传递的功率，ｋＷ；n——轴的转速，ｒ／ｍｉｎ。8.1.2

外力偶矩的计算图8-5已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。如图8-8（a）所示为受扭圆轴，设外力偶矩为Me，求距A端为χ的任意截面m—n上的内力。假设在m—n截面将圆轴截开，取左部分为研究对象，如图8-8（b）所示，由平衡条件，则:(8-2)8.2

圆轴扭转时横截面上的内力

及扭矩图8.2.1扭矩

内力偶矩T称为扭矩。扭矩的正负号规定为自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。常用与轴线平行的χ坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在χ轴上方，负值扭矩画在χ轴下方。这种图形称为扭矩图。【例8-1】

如图（a）所示传动轴，转速n＝300r/min，A轮为主动轮，输入功率NA＝10kw，B、C、D为从动轮，输出功率分别为NB＝4.5kw，NC＝3.5kw，ND＝2.0kw，试求各段扭矩。8.2.2

扭矩图【解】：（１）计算外力偶矩：（２）分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为：[图（c）][图（d）][图（e）]T２、T３为负值说明实际方向与假设的相反。（３）作扭矩图：工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。8.3

等直圆轴扭转时横截面上

的切应力

8.3.1静实心圆轴横截面上的应力（1）变形几何关系⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；⑵横截面上的半径仍保持为直线；⑶各横截面的间距保持不变。由上述假设，从圆轴中取相距为ｄχ的微段进行研究，如图（ａ）所示。设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。变形后，纵向线段变为′，其夹角为γ（切应变），对应横截面的圆心角ｄφ，在小变形的条件下可以建立如下关系：（2）物理关系称为截面的极惯性矩（3）静力学关系当ρ＝R时，表示圆截面边缘处的切应力最大：式中Wρ——抗扭截面系数，它是与截面形状和尺寸有关的量。实心圆截面的极惯性矩为：8.3.2

静极惯性矩和抗扭截面系数的计算抗扭截面系数为：式中，为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为：极惯性矩Iρ的量纲是长度的四次方，常用的单位为ｍｍ４或ｍ４。抗扭截面系数Wρ的量纲是长度的三次方，常用单位为ｍｍ３或ｍ３。工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力［τ］，即8.4

等直圆轴扭转强度条件

和刚度条件

8.4.1圆轴扭转强度条件上式称为圆轴扭转强度条件。试验表明，材料扭转许用切应力［τ］和许用拉应力［σ］有如下近似的关系：塑性材料［τ］＝（0.5～0.6）［σ］脆性材料［τ］＝（0.8～1.0）［σ］

汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径

，，壁厚试校核该轴的强度。工作时的最大扭矩，若材料的许用切应力，【解】：1、计算抗扭截面系数主传动轴的内外径之比【例8-2】2、计算轴的最大切应力抗扭截面系数为3、强度校核主传动轴安全【例8-3】

如把【例8-2】中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。【解】：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为，即

2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即：讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角表示。当扭矩为常数，且GIρ也为常量时，相距长度为L的两横截面相对扭转角为:8.4.2

等直圆轴扭转时的变形及刚度条件（1）圆轴扭转时的变形式中，GIρ称为圆轴扭转刚度，它表示轴抵抗扭转变形的能力。相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定，即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。若两横截面之间T有变化，或极惯性矩Iρ变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即在工程中，受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率ｄφ／ｄχ来度量，用θ表示，称为单位长度扭转角，即工程中的轴类构件，除应满足强度要求外，还应满足一定的扭转变形的要求，下式即为刚度条件：在工程中，［θ］的单位习惯用°／ｍ（度／米）表示，将上式中的弧度换算为度得（2）圆轴扭转刚度条件对于等截面圆轴，即为许用扭转角［θ］的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定，对一般传动轴，［θ］为0.5°／m～1°／ｍ；对于精密机器的轴，［θ］常取在0.15°／ｍ～0.30°／ｍ之间。【例8-4】

图示轴的直径，切变模量，试计算该轴两端面之间的扭转角。【解】：两端面之间扭转为角：【例8-5】主传动钢轴，传递功率，转速，传动轴的许用切应力许用单位长度扭转角切变模量

求传动轴所需的直径？【解】：1、计算轴的扭矩2、根据强度条件求所需直径

3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径故应按刚度条件确定传动轴直径，取

谢谢第9章弯曲9.1弯曲的概念及梁的计算简图9.2梁的内力及内力图9.3梁弯曲时的正应力及其强度计算9.4梁弯曲时的剪应力及其强度计算9.5梁变形的计算9.6梁的刚度条件及提高梁抗弯刚度的措施第9章弯曲学习目标通过本章的学习，熟悉弯曲的概念、梁的计算简图；掌握力梁的内力及内力图；能够进行梁弯曲时的正应力及其强度计算、梁弯曲时的剪应力及其强度计算。9.1.1弯曲的基本概念（1）弯曲变形

在外力的作用下，杆件的轴线变弯，杆件的横截面也发生了相对的转动，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主要变形的构件，通常称为梁。9.1弯曲的概念及梁的计算简图

（2）平面弯曲梁的外力和外力偶都作用在梁的纵向对称面内，那么梁的轴线变形后所形成的曲线仍在该平面内，这样的弯曲变形称为平面弯曲。（1）平面弯曲梁在横向外力作用下发生的弯曲变形称为横力弯曲。（2）平面弯曲梁只有平面力偶的作用，且其作用都在梁的纵平面内，这时梁的变形称为纯弯曲纯弯曲

（3）弯曲类型横向弯曲梁是工程结构中应用非常广泛的一种构件9.1.2梁的计算简图用能够代表梁的结构、荷载情况及作用效果的简化图形来代替实际复杂的工程图，则称其为为梁的计算简图。（1）计算简图（2）工程梁的简化方面a、梁本身的简化：用梁的轴线来代表梁。b、荷载的简化：简化为集中力、集中力偶或分布荷载。c、支座的简化：固定铰支座、活动铰支座和固定端支座。简支梁外伸梁悬臂梁从梁的约束个数与静力平衡方程数目之间的关系上来划分，梁可以分为静定梁和超静定梁。（3）梁的类型9.2梁的内力及内力图9.2.1

剪力与弯矩梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。当作用在梁上的外力（荷载和支座反力）已知时，可用截面法求梁某截面处的内力。（1）截面法求任意截面内力第一步，取梁整体为隔离体，求出两端支座的约束反力FA和FB。在第二步，用假想截面m—m截断杆件，取左半部分或右半部分为隔离体，并在隔离体上以正的方向标出截面的内力，如图(b)、(c)所示。

第三步，在隔离体上建立平衡方程，根据静力平衡条件求出截面的内力。解：取左半部分为隔离体，可求得：

FS称为剪力。剪力FS与支座反力FA组成一力偶，因此在横截面m—m上必然存在一内力偶与之相平衡。则由平衡方程：

如果取右半部分为隔离体，同样可求：

左右两部分结果一致（2）剪力和弯矩的正负号（1）剪力正负号。梁截面上的剪力使隔离体有顺时针方向转动趋势时为正，反之为负。（2）弯矩正负号。梁截面上的弯矩使隔离体产生上侧纤维受压、下侧纤维受拉时为正，反之为负。

【例9-2】求如图（ａ）所示简支梁的横截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。解：（1）求支座反力。由梁的平衡方程，求支座反力为：FA＝FB＝10ｋＮ（2）求横截面1-1上的剪力和弯矩。取梁左段为研究对象，如图（b）所示∑FV＝０，FA－FS1＝０得：FS1＝FA＝10ｋＮ由：∑MC＝０，M1－FA·AC＝０得：M1＝10ｋＮ由计算结果知，FS1

为正剪力，M1为正弯矩。（3）求横截面2-2上的剪力和弯矩。取左段为研究对象，如图（ｃ）所示，列出平衡方程由∑FV＝０，FA－FS1－FS2＝０得：FS2＝FA－FS1＝０由：∑MD＝０，得：M2＝FA·AD＋F1·FD＝20ｋＮ·ｍ。由此计算可知，Ｍ2为正弯矩。（4）求横截面3-3上的剪力和弯矩。取右段为研究对象，如图（ｄ）所示由：∑FV

＝０，FB－FS3

＝０得：FS3

＝-10ｋＮ由：∑ME

＝０，-FB·EB+M３＝０得：M3＝10ｋＮ由此计算结果可知，FS3

为负剪力，M3

为正弯矩。(d)从例题计算过程总结出内力计算规律如下:（1）梁任一横截面上的剪力，在数值上等于截面左侧或右侧梁段上所有外力在截面方向投影的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力在该横截面方向的投影为正；反之为负。（3）梁的内力计算规律

（2）梁任一横截面上的弯矩，在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。截面左侧梁段上的外力对该截面形心之矩顺时针转向为正，或右侧梁段上的外力对该截面形心之矩逆时针转向为正，反之为负。

利用梁的内力计算规律，可以直接根据横截面左边或右边梁上的外力来求该截面上的剪力和弯矩