高中数学-直接证明与间接证明教学设计学情分析教材分析课后反思

课堂教学教学设计

选修2-2第二章

章节名称直接证明与间接证明

本节（课）教学内容分析

“推理与证明”是新课标新增内容（选修2-2第二章，选修1-2第二章），主要包括合情推理与演绎

推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要求）.“推理与证

明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本节内容是各知识模块中

常用推理方法和论证方法的总结，本节课是数学思维训练专题课，专门训练学生利用分析法、综合法、

反证法解题。分析法在数学中特指从结果（结论）出发追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。

综合思维方法：综合是以己知性质和分析为基础的，从已知出发逐步推求位未知的思考方法，即执果

导因法。这两种数学思维方法是数学思维方法中最基础也是最重要的方法，是学生的思维训练的重要

内容。结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法一一分析法和综合法，了解间接证

明的一种基本方法一一反证法；了解分析法、综合法和反证法的思考过程、特点.

依据标准

课程标准：（1）了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过程与

特点.

（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法：了解反证法的思考过程与特点.

本节（课）教学目标

•知识与技能

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法整

思考过程、特点；

结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点,

・过程与方法

多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

•情感、态度与价值观

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

知识点学习目标描述

知识点学习

具体描述语句

编号目标

1识记能说出综合法、分析法、反证法的含义。

2理解能准确理解综合法、分析法、反证法各自的思考过程和特点

3理解能准确理解综合法和分析法之间的辩证关系

4运用能运用综合法、分析法、反证法对具体问题进行分析和解决

教学重点和难点

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法一一分析法和综合

法，了解间接证明的一种基本方法一一反证法：了解分析法、综合法和反证法的

教学重点

思考过程、特点.

根据问题的特点,结合分析法、综合法和反证法的思考过程、特点，选择适当的

教学难点

证明方法或使用不同的证明方法解决同一问题.

教学环境设计

根据本课题的内容特征和学情，只有设计生动、直观的情景才能有地激发学生的联想，唤起学生原有

认知结构中的有关知识、经验和表象，从而使学生利用有关知识与经验去“同化”或顺应学习到的新

知识。据此，在教学环境设计上要尽可能创设真实、完整的教学环境。本课在多媒体教室学习，制作

PPT课件，利用多媒体进行，教学组织学生小组讨论和辩论以及自主合作探究等进行教学。

①媒体在教学中的作用分为：A.提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立

概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；G.设难置疑，引起思辨;

H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固。

②媒体的使用方式包括：A.设疑一播放一讲解；B.设疑一播放一讨论；C.讲解一播放一概括；D.讲

解一播放一举例；E.播放一提问一讲解；F.播放一讨论一总结；G.边播放、边讲解；H.边播放、边议论。

板书设计

关于教学策略选择的阐述

1.情景创设策略：通过问题情境的设计，激起疑问，引发思考，有效激发学生学习的兴趣和求知欲，

创设宽松活泼的课堂教学气氛。

2.自主学习策略：通过学生自主阅读拓展资料，在深入解读的基础上，促进思维的深层次加工，达

到能力的迁移内化，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。

4.实践探索策略：通过具体实例展示，学生自主学习、讨论、探究，并因此获得发展。

学生课前学习活动设计

(1)教师编制预习提纲，将教案变为导学案。

(2)学生预习，尝试作练习题；要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础

知识。

(3)疑难问题汇总；学生在预习过程中，对于自己产生的疑问，首先推向的是本学习小组。把自己

的疑问作为全组同学共同的课题，学生通过合作探究，共同交流，确定种种解决方案。

(4)预习检查指导。

在预习中鼓励学生多质疑。教师根据学生的疑难问题，指导学生在课堂中及时把有价值的疑问抛向课

堂，从而增强课堂探究的有效性和针对性。

第五、预习效果

通过预习，学生在课堂上“活'’了起来，打破了学生学习气氛"死气沉沉'’的局面。在数学课上，学生通

过认真预习由原来的怕提问自己，变成了一个跃跃欲试者。学生争着表现自己、展现自我。

课堂教学过程结构设计

教学

教师的活动学生的活动教学媒体(资源)设计意图、依据

环节

前面我们学习了综合学生自我检查预习的效果，教材、预习案为上课扫除部分知

法、分析法、反证法，对照预习案，揭露知识的内识障碍，建立新旧知

导入新课你能根据问题的特涵，挖掘知识的本质，沟通识间联系，有利于知

点，结合分析法、综合知识的联系。识系统化；有助于提

法和反证法的思考高听课效果，启发学

过程、特点，选择适当生思考，引发学习兴

的证明方法或使用不趣。

同的证明方法解决同

一问题.

出示学习知道本节课的学习任务，教材、PPT、学生明确本节课的

目标、重点与难点学习学习目标。

学习

目标、重点与难点包括学生对知识、技

目标、重

能需要达到目标的

点与难点

要求。

1、创设情境，引发动阅读教材，观看PPT,积极教材、探究案、PPT通过形象生动的PPT

机。多媒体播放综合思考并整理综合法、框图、展示，激发了学生的

法、框图、思维特点。思维特点。自主探索和求知欲

望，突出综合法及其

框图、思维过程和特

点这个教学重点。

综合法

2、举例验证，建立概阅读教材，积极思考问题，教材、探究案、PPT突出综合法及其框

念。多媒体展示例1,寻找解决问题的切入点，进图、思维过程和特点

及其解答过程。行课堂探究，思考例题考查这个教学重点，学会

哪些知识点，使用什么样的用综合法解决问题。

解题方法与技巧，并积极发

表自己的看法。

3、巩固训练，请学生积极思考问题，寻找解决问教材、探究案、PPT引起学生对综合法

做变式练习1。题的切入点，进行课堂探的注意与思考，

究。反馈信息要注重差

异，使教学活动围绕

着学生思维的“最近

发展区”来展开。通

过归纳，概括共同特

征，形成正确概念。

1、创设情境，引发动阅读教材，观看PPT,积极教材、探究案、PPT通过形象生动的PPT

机。多媒体播放分析思考并整理分析法、框图、展示，激发了学生的

法、框图、思维特点。思维特点。自主探索和求知欲

望，突出分析法及其

框图、思维过程和特

点这个教学重点。

阅读教材，积极思考问题，

分析法2、举例验证，建立概寻找解决问题的切入点，进突出分析法及其框

念。多媒体展示例2,行课堂探究，思考例题考查教材、探究案、PPT图、思维过程和特点

及其解答过程。哪些知识点，使用什么样的这个教学重点，学会

解题方法与技巧，并积极发用分析法解决问题。

表自己的看法。

3、巩固训练，请学生积极思考问题，寻找解决问引起学生对分析法

做变式练习2o题的切入点，进行课堂探教材、探究案、PPT的注意与思考，体会

究。其思维过程和特点。

通过归纳，概括共同

特征，形成正确概

念。

开展观察、类比、猜想、归

综合法和归纳对比：综合法与纳、概括等活动，并使之一加深理解（理在用中

分析法的般化、抽象化。引起学生对

分析法的思考过程和教材、探究案方知妙），建立知识

辩证关系特点。综合法与分析法的思考过的联系网络，巩固新

程和特点的注意与思考。

知识。

1、创设情境，引发动阅读教材，观看PPT,积极通过形象生动的PPT

机。多媒体播放反证思考并整理反证法、思维特教材、探究案、PPT展示，激发了学生的

法、思维特点和反证点和反证法的证明步骤。自主探索和求知欲

法的证明步骤。望，突出反证法及其

思维过程和特点，反

证法的证明步骤。

2、举例验证，建立概阅读教材，积极思考问题，突出反证法及其思

念。多媒体展示例3,寻找解决问题的切入点，进教材、探究案、PPT维过程、特点和反证

反证法

及其解答过程。行课堂探究，思考例题考查法的证明步骤，学会

哪些知识点，使用什么样的用反证法解决问题。

解题方法与技巧，并积极发

表自己的看法。

引起学生对反证法

3、巩固训练，请学生积极思考问题，寻找解决问教材、探究案、PPT的注意与思考，体会

做变式练习3。题的切入点，进行课堂探其思维过程、特点和

究。反证法的证明步骤。

按照知识的发生发

展过程和学生的认

创设情境，引发动机.

知过程，把接受式学

多媒体播放：（1）综观看PPT,阅读教材，积极教材、探究案、PPT

习和发现式学习结

总结整理合法与分析法的思维思考并整理综合法、分析

合起来，形成互补，

智能提升过程和特点，综合法法、反证法的思考过程和特

实现认知结构的组

与分析法的辩证统一点。

织和再组织。

关系。（2）反证法及

其证明步骤。

1、创设情境，引发动学生从实际背景出发，通过设计由浅入深，完

机，PPT展示训练案动脑思考，动手操作，完成教材、PPT、训练案整，全面，活跃学生

训练案。思维，培养了学生发

现问题、研究问题、

解决问题的能力.及

时反馈课堂学习效

智能提升果。

训练与检

测2、学生完成训练案后

收交。反馈一一调节，清

楚经过教学，学生将

会有哪些变化，会做

哪些以前不会做的

事情，以使目标成为

有效教学的依据，同

时为后继教学提供

依据。

学生课后学习活动设计

为不同层次的学生所做的调整：（1）合上书本思考下节课老师要讲的内容大意，哪些内容已看懂，

哪些内容模糊，哪些内容不懂，需要在什么地方再提高。挖掘知识的本质，沟通知识的联系。（2）

让学生根据教学内容特点和学生实际，放手让学生设计，编写作业题，使学生学会思考，学会提出问

题，变被动完成作业为主动探索研究，培养学生的创新意识和实践能力。尽可能多的体验、尝试成功，

探索发现新知识的快乐。通过自主性作业，让每个学生的个性得以张扬，较好的发挥学生的积极性和

个性特长，较好的培养学生思维的广阔性和深刻性，促进学生自主学习。

形成性检测

知识点学习

检测题的内容

编号目标

1理解选择题

2理解选择题

3运用证明题

评价量表

形成性评价

通过问题情境的设计，激起疑问，引发思考，有效激发学生学习的兴趣和求知欲，教学目标达

成度高，不同层次的学生均有收获；学生思维积极活跃，有认知冲突，有精彩观念，有不同的问题解

决方法等；学生在课堂上“活”了起来，打破了学生学习气氛“死气沉沉”的局面。在数学课上，学

生通过认真预习由原来的怕提问自己，变成了一个跃跃欲试者。学生争着表现自己、展现自我。师生

交流对话充分，教学相长，形成民主和谐、相互尊重、合作探究的教学氛围.

在利用多媒体教学的过程中，学生出现了面对众多信息不知如何取舍的问题、偏离课堂教学目标

的问题、以及时间的掌控偏差问题。对于以上问题，我认为运用“学案”教学，让学生的学习目标

更加明确清晰。利用一系列知识点设计的问题，引导学生自己学习，把学生推到主动地位，使学生主

动的积极的去探究知识，以纠正学生在学习中无意识的漫游或者在学习过程的各种偏差行为。但是“学

案”教学涉及到诸多方面的问题。如教师备课工作量大，需要查阅的资料多，要写出高质量的“学案”

并得以实施，要求教师有较高的素质和教学经验；在学生自学时间安排、能力训练形式及课堂组织教

学方面，都需要在实践中不断探索和改进。

教学反思、总结

本课教学中必须注意的问题有：1、防止出现有些学生主次颠倒的现象：如对原理记忆不深，对视

频内容印象较深。2、由于在课件及网页中将原理分散理解、应用，有少数学生不能对原理完整理解

和应用。3、在重难点的突破上要特别注意选材和对学生的引导。4、利用一系列知识点设计的问题，

引导学生自己学习，把学生推到主动地位，使学生主动的积极的去探究知识。5、教学过程充分发挥

了学生自主学习和合作学习的学习方式，对学生后继学习能力的培养有积极的作用。

感谢、其他

感谢信息技术组对本课堂教学设计的支持和帮助

七、学习评价设计

1、评价形式：课堂提问、口头报告、在线小测、课后深化，论坛交流

2、评价内容：数学思维方法的分析法和综合法的概念理解，运用方法解决推理问题和相关数

学问题。

八、创新之处

本课时的设计不只是课堂上能够使用，在课后也能深化，体现教学中的延续性，也可以把思维的

训练贯穿整个学习过程。

直接证明与间接证明

宁阳二中

【学习目标】

•知识与技能

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和

综合法的思考过程、特点；

结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过

程、特点。

・过程与方法

多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力.

•情感、态度与价值观

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

【重点难点】

重点：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。能用直接法证明一般的数学问

题

难点：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。会用反证法证明一般的数学问

题

【学法指导】

①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独

立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成

预习案

一、知识梳理

1.直接证明

（1）综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的,最后

推导出所要证明的结论,这种证明方法叫做综合法.

②框图表示：IP=Q1If|Q1=Q21-^1Q2=>Q3'||Qn=>Q|（其中P表示已知条件、已有

的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论）.

（2）分析法

①定义：从出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证

明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明

方法叫做分析法.

②框图表示：IQ叫HP竹2Hp2出1一•••一I得到一个明显成立的条件.

2.间接证明

反证法：假设原命题,经过正确的推理，最后得出____,因此说明假设错误，

从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

二、基础自测

1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④

分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法。其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个I）.5个

2.要证明省+5<2后，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）

A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法

3.用反证法证明“如果。>人，那么心〉班”假设内容应该是（)

A.yfa=y/bB.>/a<\[bC.\[a=y[bS^\/a<y[bD.\[a=<yfb

4.在不等边三角形中，。为最大边，要想得到NA为钝角的结论，三边风瓦c应满

足O

探究案

一、合作探究

题型一：综合法

从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据，逐步下推，直到推出要证明的结

论为止，这种证明方法叫做综合法.

用综合法解题的逻辑关系是：

(PnQ)->(QnQ2)f(Q2=>Qjf…

综合法的思维特点是：由因导果

例1、设。，仇c>°,证明幺+生+J^a+o+c。

bca

切入点：根据题目的特点考虑使用综合法，可以用均值不等式证明

变式练习1：

111c

已知a,6,ceR+,a+b+c=l,求证：一+7+—29.

abc

切入点:“1”代换

题型二：分析法

从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和

已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法.

用分析法解题的逻辑关系是：(Qu[)—(8u£)..…―=P)

分析法的思维特点是：执果索因

例2、求证：4a-a-1<y/a-2-<a-3（。>3）

切入点：根据题目的特点不等式的结构复杂，由题设不易“切入”展开推理，所以尝试运用分

析法，找所要求证问题的等价命题.

题型三：反证法

假设命题结论的反面成立，经过正确推理，引出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原

命题成立，这样的证明方法叫反证法.

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从

而证明了原命题成立。

证明步骤：

①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

②归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。

③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

思维方法：正难则反

例3、已知。＞0,。＞0,且a+Z?＞2,求证匕2,匕q中至少有一个小于2.

ab

切入点：已知条件较少，结论反而有三种情况，故联想到从结论的反面入手较为容易，所以考虑

使用反证法.

二、总结整理

1.关于综合法与分析法

分析法的特点:从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的

充分条件.

综合法的特点:从“已知"看“可知"，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的

必要条件.

分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法，既对立又统一.用综合法证题前往往可

用分析法寻找解题思路，即所谓的分析.因此分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的

证明过程.在解决较为复杂的问题时，往往是两种方法相互结合使用.

2.关于反证法

使用反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以

是与假设矛盾，或与定义、公理、、定理、公式、事实矛盾.

反证法的步骤：（1）反设；（2）推出矛盾;（3）下结论.

VII练案

课中训练与检测

1.若P=,+，市，Q=Va+3+Va+4(a^0)'WJP'Q的大小关系是()

A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值范围

2.用反证法证明命题"a,bGN,ab可被5整除，那么a,b中至少有一个被5整除”，

那么假设的内容为()

A.a、b都能被5整除B.a、b都不能被5整除

C.a被5整除O.a、b有一个不能被5整除

3.已知a,b,m都是正数，并且a求证：”生>@.

b+mb

参考答案

例1.证明：因为a,b,c>0

所以白购2a

0

同理：也+cN2b

c

y+a>2c

三式相加得^-+b+—+c+—+a>2a+2b+2c

bca

a2b2c2

所以一+—+—>a+b^-c

bca

变式1：证明：(a+b+c)(-+7+-)=(a+b+c))(a+b+c)&(a+b+c)-

abcabc

=1+(b+c)>1+(a+c)-+1+(a+b)-

abc

=3+(2+-)+(-+-)+(-+7)>3+2+2+2=9

bacacb

Ill

所以一+1+一2斗

abc

例2:证明：要证y/a-y/a-1<y/a-2--3(a>3)

只要证a-2v'a(a-l)+a-l<a-2-2j(a—2)(a—3)+a-3

即证va(a-1)>V(a-2)(a-3)+2

即证2a-5>2V(a-2)(a-3)

即证25>24

因为25>24显然成立

所以"x/tT-Ja—1<Ja-2—Ja-3(a23)

变式练习2：

求证W4-V7<2V5

证明：要证囱+J7<2而

只要证(73+々)2<(2、52

即证10+2、隈1<20

即证卬<5

即证21<25

因为21<25显然成立

所以V3+V7<2A/5

例3：证明：假设学，詈都不小于2,

则1A之2,D詈22

因为a>0,b>0,所以l+bZ2a,l+aN2b.

所以l+l+a+bZ2(a+b),即2>a+b.

这与已知a+b>2矛盾,故假设不成立.即1,中

an

中至少有一个小于2.

点评：结论中若有“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”等字眼，或直接从正面

证明较为困难的问题，一般可以考虑使用反证法.

变式练习3：

在aABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c三边的倒数成等差数列，

求证：B<90°.

证明：假设B<90。不成立，则BN90。,从而B是4ABC的最大角，

所以b是4ABC的最大边，即b>a,b>c.

所以相加得：+十>：与2

矛盾，所以BN90。不成立.所以B<90°.

VII练案答案

:1.c2.b

3.证明：方法一

Va>O,b>O,m>O,a<b,

.*.am<bm

ab+am<ab+bm

a(b+m)<b(a+m)

.a+根a

••----->一.

b+mb

方法二

Va,b,m都是正数

a+ma

要证----->-.

b+mb

只要证b(a+m)>a(b+m)

即证bm>am

即证a<b.

因为a<成立

关于学情的研究

学生是学习的主体，作为学习的主人，教师只有全面了解学生，关注学生的需求，才

能在教学上做到有的放矢，把学习的权利还给学生，充分激发学生学习的自主性和创造性。

教学中，一切都要以学情为出发点。一切为了学生，为学生设计教学。因此，我们要切实做

好学情分析。

1.学生原有的知识基础

在以前的学习中，学生已经能够应用综合法、分析法和反证法证明数学问题证明数学

问题，通过《直接证明与间接证明》前三课时的学习，学生对综合法、分析法和反证法的内

涵和特点有了一定了解，也积累了较多的用综合法、分析法和反证法证明数学问题的经验，

但还未形成较完整的认识，如学生在应用综合法证明问题时，经常出现因果关系不清晰、逻

辑表达混乱的情况；在应用分析法证明问题时，采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，

寻求使命题成立的充分条件时，不清楚何时结束。在综合法、分析法和反证法中，相对于综

合法和分析法，学生对反证法不太熟悉，如在假设要证的命题不成立时常常出错。学生虽然

对综合法、分析法和反证法的内涵和特点有一定的了解，但还不能结合已经学过的数学知识,

归纳出操作流程框图，在学习和生活中，还不能自觉地、有效地运用综合法、分析法和反证

法进行数学证明，养成言之有理、论证有剧的习惯

2.学生现有的认知能力

推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，它的系统学习是新课标教材的一个亮点，是对

以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。学生已学过《合情推理

与演绎推理》、《直接证明与间接证明》的前三课时，已具备一定的抽象思维能力，认识问题

和分析问题的能力。直接证明与间接证明的证明方法是常考内容，考查.的主要方式是对它

们原理的理解和用法.难度多为中档题，也有高档题，从考查形式上看，主要以不等式、立

体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法，

但大部分学生对相关知识掌握不好，如学生积累的知识、经验是零散的、不系统的，基础知

识之。间的关系不是非常清楚，分析法和综合法的思考过程、特点."变形”是解题的关键，

是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形"的常用方法，在学习过程中能

够独立获取知识的能力，包括收集、处理信息的能力较差。

3.学生原有的生活经验

大部分学生认为高一时新课程进度快，不能适应，对所学内容不能及时做到消化理解。

高二年级学生认为高二课程难度又上了一个台阶，也感到不适应。部分学生认为，初中学习

是在老师的严格监督下进行的，高中老师不如初中老师监督严格；自己比较懒惰，没有做到

及时预习和复习巩固。从在家复习效率来看，如果家长事务繁忙，无法进行有效监控和指导，

会使一部分学生在家学习效率低下。部分学生在做完作业后，没有进行及时复习和预习，使

学习中的问题越积累越多，这也是缺乏毅力造成的。学生探索学习方法的意识不强。学习过

程中存在着一定的随意性和盲目性，大部分学生没有探索出适合自身情况的学习方法。少部

分学生有主动学习的行为，比较喜欢上数学课，学习热情也很高，和老师经常交流。但仍有

大部分学生学习懒散、学习习惯差，粗心大意、书写不认真，不愿思考问题，上课开小差，

依赖老师讲解，依赖同学的帮助，甚至作业抄袭等等不良现象。学生差异大，学生在知识掌

握程度上已较明显的分出层次，即所谓优生和差生。对优生来说，由于之前学得好，他们积

极、自信的心理不断得到强化，学习兴趣上升为乐趣，学习已成为自觉的行为，并不断从中

得到成功的心理体验。另一部分学生在学习中（尤其是在考试中）屡遭挫折，对学习的灰心、

自卑甚至害怕等心理也在渐渐固化，出现兴趣转移，偏科等倾向。对中下等水平的学生来说，

学习目的模糊，学习动机不强，处于一种淡漠的被动状态。初中与高中在教材内容、教师教

法、思维要求等方面均存在着差异。九年义务制初中教材的特点是“浅、少、易”，而高中

教材的特点是“起点高、难度大、容量足”。初中教师比较习惯于手把手地教学生，对作业、

练习的检查、督促抓得较紧，而高中教师则对学生学习的主动性、自觉性有着较高的期望和

要求，这往往会造成一部分自觉性不强的学生缺少压力，放松对自己的要求。上述差异的客

观存在，致使相当一部分学生进入高二后仍感到无法适应。每名学生在来到学校学习的同时,

也带来了各自不同的生活经历和不同观点、看法，这种已有的经历、经验和对待社会的观点，

对于即将进行的课堂学习生活将产生影响。

4.不同学习基础的学生学习相关内容的难度分析

高二年级同学的抽象思维水平已经进入“理论型”发展的成熟期,在这个阶段如果教育

和训练得法、适当，思维水平还能得到很大的发展，思维能力将会进一步完善，但有相当多的

学生，由于高中一年级抽象思维慢慢开始从经验型占主导向理论型占主导转变,并且将迅速

进入理论型发展的关键期，这样的转变没有实现,数学学习方法与习惯一直未能与高中数学

的学习相适应,成绩一再下滑,最后甚至失去了学好数学的信心，给本人和家长带来了沉重

的精神压力和痛苦！所学的知识对这部分学生具有一定的挑战性，这部分学生知识系统记忆

不全、丢三落四，甚至平时做过的题考试中也想不起来，新旧知识间的联系发生短路，这部

分学生由于知识缺陷较多很难完整的对综合法、分析法和反证法的内涵和特点有深刻的了解。

也有部分学生抽象思维已经从经验型占主导向理论型占主导转变，并且将迅速进入理论型，

遇事开始有了“个人的见解”，自主意识和独立解决问题的能力显著增强，形成了良好的数

学学习习惯与方法，课堂上要使这部分学生的思维处于非常积极的状态,主动地对信息进行

多方位的搜集、分析、综合与转换，从这个过程中获得新的猜想、新的思路、新的感悟新的

创造。因而教师在进行教学设计时，注意考虑不同层次的学生身心特点，充分尊重每一个同

学。

5.课前学习准备

让学生动起来事情就好办了，课前预习既是一种科学的学习方法，同时也是一种良好的

学习习惯，预习是学习新课的第一步，只有预习充分，才能提高听课的效率。理解新知识需

要旧知识作基础。预习可以使学生自己发现旧的知识结构中的薄弱环节，并在上课前迅速补

上这部分知识，为听课扫清障碍。不经过预习的听课，只能是老师讲什么就听什么，分不清

难点和重点，失去了听课的目的性和选择性。而预习后再听课，学生对于什么地方己学懂，

什么地方还不会，已经心中有数。这促使学生把注意力集中在难于理解的知识上，从而加强

了听课的目的性。这样，在预习中弄不懂的地方，他们会听得更专心。这从心理学的角度来

讲，为上课创造了有利的心理状态，打好了注意定向的基础.用教育学的理论说，带着问题

上课，求知欲更强。变被动为主动。这样一来，自然就提高了听课的效率。因此课前让学生

回顾前三节课的学习内容综合法、分析法和反证法，了解综合法、分析法的思考过程、特点，

了解反证法的思考过程、特点，并要求学生完成知识梳理和预习案。在预习的过程中，学生

学习的不仅仅是科学知识，更是学生用所学知识去获得新知识的过程，这实际上是学生在主

动进行探索的过程，吃现成包子的人永远也学不会做包子，不经过自学实践，永远也提高不

了自学能力。预习能够让学生明确当堂课的学习目标,有利于学生有针对性地检查学习目标

是否完成。

6.课后学习准备

丰富了学生的课外知识，课外学习活动是学生课内学习的补充和继续，它不仅能丰富学

生的文化科学知识，加深和巩固课内学习的知识，而且能满足和发展他们的兴趣爱好，培养

他们独立学习和工作的能力，激发他们的求知欲望和学习的积极性。课外学习活动的内容和

时间要适当，不要影响正常的课堂学习，身体锻炼和社会活动。在课外学习活动中，要尽力

做到学练结合，手脑并用，把学习和实践结合起来。通过完成形成性检测，对直接证明与间

接证明进行反思,没有反思,学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平,反思很重要,

反思通俗地讲就是“回头看脚印”，就是对数学活动的全过程以及新旧知识间的联系进行“反

复深入的思考”，从中去发现数学的真谛，因此，要想学好数学就一定要学会反思，一定要养

成反思的习惯，这是学好数学的根，本节课学生通过复习反思，了解综合法、分析法的思考

过程、特点，了解反证法的思考过程、特点，做到知其然更知其所以然，才能举一反三，触类

旁通，才能整理、串联知识点，形成单元的理论系统，知识点经串联以后，理论发展的来龙去

脉一目了然，才能真正理解综合法、分析法和反证法的思考过程和特点。

评测结果及分析学习效果

学习评价设计

1、评价形式：课堂提问、口头报告、在线小测、课后深化，论坛交流

2、评价内容：数学思维方法的分析法和综合法的概念理解，运用方法解决推理问题和相关数学问

题。

通过问题情境的设计，激起疑问，引发思考，有效激发学生学习的兴趣和求知欲，

教学目标达成度高，不同层次的学生均有收获；学生思维积极活跃，有认知冲突，有精彩观

念，有不同的问题解决方法等；学生在课堂上“活”了起来，打破了学生学习气氛“死气沉

沉”的局面。在数学课上，学生通过认真预习由原来的怕提问自己，变成了一个跃跃欲试者。

学生争着表现自己、展现自我。师生交流对话充分，教学相长，形成民主和谐、相互尊重、

合作探究的教学氛围.

在利用多媒体教学的过程中，学生出现了面对众多信息不知如何取舍的问题、偏离课堂

教学目标的问题、以及时间的掌控偏差问题。对于以上问题，我认为运用“学案”教学，

让学生的学习目标更加明确清晰。利用一系列知识点设计的问题，引导学生自己学习，把学

生推到主动地位，使学生主动的积极的去探究知识，以纠正学生在学习中无意识的漫游或者

在学习过程的各种偏差行为。但是“学案”教学涉及到诸多方面的问题。如教师备课工作量

大，需要查阅的资料多，要写出高质量的“学案”并得以实施，要求教师有较高的素质和教

学经验；在学生自学时间安排、能力训练形式及课堂组织教学方面，都需要在实践中不断探

索和改进。

关于教材内容的研究

一、地位与作用

“推理与证明”是新课标新增内容选修1-2第二章，选修2-2第二章，主要包括合情推理与

演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要

求）.“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本

章内容是各知识模块中常用推理方法和论证方法的总结，推理方法与证明方法是从思维活动

中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的，是高中数学的重要基础，在高中数学中占有

极其重要的地位和作用.

二、内容说明

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明才能得到确认这

是数学区别于其他学科的显著特点直接证明与间接证明是两类基本的数学证明方法.

“推理与证明”是新课标新增内容（选修2-2第二章,选修1-2第二章），主要包括合情推理

与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要

求）.“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.

1.综合法的思维特征是：由因导果.即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质

和公式，推出结论的一种证明方法.

框图表示：|P=Qi|f&nQ2|f—TQQQI（其中P表示已知条件、已有的定义、

公理、定理等，Q表示要证明的结论）.

2.分析法的思维特征是：执果索因.即从结论入手进行反推，看看需要知道什么，最后轴一

个己通锚题定义翘巍公癖或改磔件,从而妻।血明彳藤寅绎推理的证明题都是采用这种

方法进行思考的，有时也将综合法和分析法结合起来使用.

框图表示：IQ「P11-*回函-IP2仁P3I—--1得到一个明显成立的条件.

3.反证法是间接证明的一种基本方法，任何一个问题都有正反两面，当直接证明有困难时，

便可以考虑使用反证法.反证法证题的步骤可归结为：反设一归谬一结论.

先讲综合法，后讲分析法.综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解

决数学问题时常用的思维方式.综合法是学生使用较多、较为熟悉的一种方法.

分析法虽然在过去也经常使用，但学生在理解上显然不如综合法那样容易.要突破分析法这

一教学难点.分析法的主要困难有两点：一是学生对这种证明方法的思考过程不理解；二是

学生对这种证明方法的表达方式不习惯.突破难点的方法有两点:一是结合具体的数学实例，

让学生感受分析法证明的可靠性，以及“要证,”，只需证,”，”这种表达的必要性；二是将分析

法与综合法对比着进行讲解］帮助学生加深对分析法思考过程及特点的理解.

通过具体的数学实例，帮助学生形成既分析又综合的思维方式，学会将分析法与综合法

结合起来运用.结合方式有两种：一是先用分析法探寻证题思路，再用综合法有条理地表述

证明过程；二是将分析法与综合法结合起来，证明某些较复杂的数学问题.

结合已经学过的数学实例，帮助学生了解间接证明的一种基本方法一一反证法，了解反证

法的思考过特点.在必修课的教学中，学生已经使用反证法证明了一些较简单的数学命题，

对于反证法学生并不是完陌生的.本次教学应尽量利用学生已有的经验，进一步加深对反证

法的思考过程、特点的了解.一是要提炼用反证法证题的基本模式.反证

法证题的步骤可归结为：反设一归谬一结论其中，伽反设是触发晤知辅提

推出矛盾（归谬）是用好反证S伤健.反设是否正确，与逻辑知识密切相关，因此，在反证法教

学前，宜先复习常用逻辑用语中的相关知识.二是总结反证法的适用范围.反证法主要适

用于以下两种情形：①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线

索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，

只要研究一种或很少的几种情形.

三、重点和难点

1.教学重点：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法一一分析法和综合法，了解

间接证明的一种基本方法——反证法；了解分析法、综合法和反证法的思考过程、特点.

综合法、分析法是基本的直接证明方法，反证法是基本的间接证明方法，它们在证明数

学结论中起到主导作用.

2.教学难点：

根据问题的特点,结合分析法、综合法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方

法或使用不同的证明方法解决同一问题.了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。会

用反证法证明一般的数学问题。反证法虽然也接触过，但应用不多，比较生疏.学生在学习

过程中往往会两个方面出现困难：

一是“否定结论”部分，把握不清结论的“反”是什么？二是“导出矛盾”部分,

有时是与已知条件矛盾，有时是与假设矛盾，而有时又是与某定义、定理、公理或事实矛盾,

因此学生弄不明白究竟是与什么矛盾.

四、课时安排

1.本章理科教学时间约需11课时，具体分配如下:

合情推理与演绎推理约4课时

直接证明与间接证明约4课时

数学归纳法约2课时

小结与复习约1课时

2.本章文科教学时间约需10课时，具体分配如下：

合情推理与演绎推理约4课时

直接证明与间接证明约4课时

小结与复习、测试约2课时

其中直接证明与间接证明部分内容的教学应分为4课时，包括新授课3课时：综合法

1课时、分析法1课时、反证法约1课吐习题课1课时.

评测练习

课前评测练习

一、知识梳理

1.直接证明

(1)综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经