《控制理论及其应用》卢泽生主编第4章

第4章

控制系统的稳定性及其分析

4.1系统的稳定性

4.2系统的稳定性判据

4.3系统的稳定裕量

4.4液压仿形刀架控制系统的综合分析与计算4.1系统的稳定性

线性系统的稳定性

系统自身的固有特性，它和系统的输入信号无关，仅取决于特征方程的根系统稳定的充分和必要条件

是闭环系统的特征方程的根均具有负实部。系统的稳定性是指在使它偏离稳定状态的扰动作用终止后，返回原来稳定状态的性能，即系统抗干扰的程度4.1系统的稳定性

系统的稳定性分为大范围内稳定和小范围内稳定大范围内稳定

指如果系统受到扰动后，不论它的初始偏差多大，都能以足够的精度恢复到初始平衡状态。小范围内稳定

指如果系统受到扰动后，只有当它的初始偏差小于某一定值时，才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态。线性的稳定系统必须在大范围和小范围内都稳定。而非线性系统或者是线性化后的非线性系统只是在小范围内稳定，而在大范围内却不稳定。

4.2系统的稳定性判据

控制系统稳定的必要和充分条件

闭环传递函数的全部极点（即特征方程的根）均位于[s]平面左半部，即闭环系统特征方程的根均具有负实部

系统的稳定判据

1.解方程稳定判据

2.劳斯稳定判据

3.奈魁斯特稳定判据

4.对数幅相频率特性稳定判据等控制系统的稳定性的判断是针对闭环系统而言，线性系统的稳定性与输入信号无关1．解方程稳定判据（求解闭环传递函数特征方程法）

Xi(s)Xo(s)

图4.1系统传递框图

其系统闭环传递函数为特征方程为特征方程的根为可见，此系统两个根均具有负实部，所以系统稳定。

求解三阶以上特征方程非常困难。2．劳斯稳定判据劳斯稳定判据

利用闭环系统特征方程的系数来进行稳定性判断（1）稳定的必要条件

闭环系统特征方程的各项系数均为正实数值（2）稳定的充分条件劳斯阵列的第一列中所有项都具有正号

如闭环系统的特征方程为

劳斯行列表劳斯阵列式中各项可写成行列式

给定一闭环系统的特征方程为,求当k等于何值时系统才稳定。

必要条件的判断，k>0特征方程的劳斯行列表为k-6211kckbcsbsksso=-=-=1111123

333

321

充分条件的判断

>0闭环系统的特征方程为s5-2s4+2s3+4s2-11s-10=0,判断系统是否稳定，如若不稳定有多少个极点在[S]平面的右半部。

必要条件的判断没有满足，此系统不稳定。劳斯阵列表为s5

12-11s4

-24-10s3

b1=4

b2=-16

0

s2

c1=-4c2=-10s1

d1=-26

s0

-10

劳斯阵列第一列变换三次符号，即说明有三个极点在[S]平面右半部。第一列中的符号变换次数即为正实部根数

劳斯稳定判据的功能：①可进行稳定性判断。②可判断不稳定情况下有几个正实部根，即有几个极点在[S]平面右半部。③可求控制系统的增益，即放大系数K。3．奈魁斯特稳定判据（奈氏判据）

奈氏判据是按开环传递函数的幅相频率特性（奈氏图或称极坐标图）来判断闭环系统是否稳定。根据系统开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。3．奈魁斯特稳定判据（奈氏判据）

（1）开环状态下是稳定的开环传递函数特征方程在[S]平面右半部无极点，即m=0。闭环状态下稳定的充分和必要条件是：开环幅相频率特性

G(s)H(s)曲线不包围[S]平面上的（-1，j0）点。

（2）开环状态下是不稳定的开环传递函数的特征方程在[S]平面右半部有m个极点。闭环状态下稳定的充分和必要条件是：

当从-到+时，开环幅相频率特性G(s)H(s)曲线逆

时针方向包围（-1，j0）点m周。

如果从0到时，开环幅相频率特性曲线应逆时针方

向包围（-1，j0）点应为周。图4.2(a)和(b)分别是在开环下稳定和不稳定的状态下，而取值为0到，判断其系统是否稳定，经判断两系统均稳定。ω=0Reω=+∞ImImωω=0ω（-1，j0）(a)m=0Reω=+∞（-1，j0）[s][s](b)m=2图4.2开环幅相频率特性曲线4．对数幅相频率特性稳定判据

该判据是按开环传递函数的对数幅相频率特性（波德图）来判断闭环系统是否稳定。根据开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。图4.3开环对数幅相频率特性曲线L(ω)-180o0ωω(+)(-)4．对数幅相频率特性稳定判据

（1）开环状态下是稳定的闭环状态下稳定的必要和充分条件：某一系统的波德图如图4.3所示，该系统m=0，从图中可见正负穿越各一次，则系统稳定。图4.3开环对数幅相频率特性曲线L(ω)-180o0ωω(+)(-)在对数幅频特性曲线频率范围内，相频特性曲线在

线上的正负穿越次数之差为零。(由线下方向上穿越为正穿越，由线上方向下穿越为负穿越)。（2）开环状态下不稳定则闭环状态下稳定的必要和充分条件是：在所有的所有频率范围内，相频特性曲线在线上的正负穿越次数之差为两系统的波德图如图。当m=2时，判断系统是否稳定(-)(+)(-)(+)(+)ω(b)m=2(a)m=2ω(-)-180oωω00-180oL(ω)L(ω)图4.4开环对数幅相频率特性曲线正负穿越次数之差为+1，所以系统稳定正负穿越次数之差为-1，所以系统不稳定4．对数幅相频率特性稳定判据

4.3系统的稳定裕量设置系统稳定裕量的原因有五个方面①系统数学模型的简化，造成与实际系统有一定的误差

②非线性系统的线性化

③系统有关元件参数近似获得或实验获得，会存在一定误差

④系统工作时元器件性能及参数有可能发生变化

⑤难以预料的外部干扰

稳定裕量是用来衡量一个稳定的系统距离不稳定的程度。不同的稳定判断，对稳定裕量的表述也不一样。幅值裕量（也称增益裕量或幅值储备），可用Kp来表示。它等于开环相角时开环幅值的倒数，即。应该说是在相位交界频率下，值越大幅值裕量越小。奈氏稳定判据的稳定裕量

开环稳定的系统（m=0），闭环系统稳定充分和必要条件是幅相频率特性（奈氏图）不包围（-1,jo）点。稳定裕量是衡量幅相频率特性曲线距离（-1,jo）点的远近程度，距离越远稳定裕量越大。

单位圆γReω=∞(-1,j0)ωpImω=0图4.5开环系统幅相频率特性曲线

奈氏稳定判据的稳定裕量单位圆γReω=∞(-1,j0)ωpImω=0图4.5开环系统幅相频率特性曲线

相位裕量（也称相角裕量或相位储备），可用表示。它是指开环频率特性的幅值时，它的相角与-1800之间的差值，即。或者说相位裕量是向量与负实轴的夹角。是开环频率特性的幅值等于1时的频率，即增益交界频率（剪切频率）。若角越小，则相位裕量越大。定义为负值时（），增益裕量为正。当增大，则幅值裕量增加。根据对数幅相频率特性判断其系统的稳定裕量。对数幅相频率特性稳定判据的稳定裕量

ωρω(+)ωc-60dB/dec-40dB/dec-20dB/dec0ω(+)γ-180o-90o0o截止频率增益交界频率对数幅相频率特性稳定判据的稳定裕量

ωρω(+)ωc-60dB/dec-40dB/dec-20dB/dec0ω(+)γ-180o-90o0o图4.6对数幅相频率特性曲线当增益裕量以分贝表示时，如果，则增益裕量定为正值，当,增量裕量定为负值，正增益裕量说明系统稳定。对于稳定的最小相位系统（即是系统的开环传递函数在[s]平面的右半部没有零点、极点的系统）而言，正增益裕量指出了系统在变成不稳定的系统时，增益可增加多少。对于不稳定的系统而言，负增益裕量指出了若使系统稳定，增益应减少多少。例试确定如图4.7所示的单位负反馈系统的稳定条件,即K值的取值范围。并试求当K=10和K=100时，对数幅相频率特性稳定判据的相位裕量和增益裕量。Xo(s)Xi(s)图4.7系统传递框图

用劳斯稳定判据此系统的闭环传递函数的特征方程系统的闭环传递函数为：

求系统稳定的K

值的取值范围闭环系统的特征方程为

劳斯阵列为

当0<K<30时系统稳定。

当K=10时，开环传递函数为

系统由四个典型环节组成比例，积分，惯性，惯性（1）比例环节

作波德图，求相位裕量和增益裕量传递函数对数幅频特性对数相频特性（2）积分环节

当时，,则为增益交界频率

传递函数对数幅频特性对数相频特性频率特性（3）惯性环节

此环节时间常数则转角频率（交点频率）当时，,可将视为波德图渐近线的转角频率。当时，

传递函数对数幅频特性对数相频特性频率特性（4）惯性环节

此环节时间常数,即转角频率

传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性根据上述四个环节绘制波德图,由图4.8可知：当K=10时，增益交界频率；相位裕量；相位交界频率；增益裕量等于10dB。由此可知幅值裕量和相位裕量均为正。如果作图准确的话,可以得到较为准确的裕量。

-20dB/decω0o-45o-90o-180o-270oγ'=-30oγ=24.6oW(s)ω'ρω51100.130404626200610-60dB/dec-40dB/dec-40dB/dec-60dB/dec-20dB/dec-20dB/dec-12dBW1(s)G2(s)G1(s)ωcG'1(s)W2(s)G3(s)+10dBG4(s)图4.8W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）

转角频率

ω0o-45o-90o-180o-270oωρω51100.130404626200610ωcW1(s)-40dB/dec-60dB/dec-12dBG'1(s)γ=24.6oγ'=-30oW(s)-60dB/dec-40dB/decW2(s)-20dB/decG3(s)-20dB/decG2(s)+10dB-20dB/decG4(s)G1(s)图4.8W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）

增益交界频率相位裕量

增益裕量相位交界频率

相位裕量

转角频率

若想获得更为精确的值，需通过下列计算获得。(1)求相位裕量

决定的频率是波德图，从波德图看出，决定位置的是G1(s)、G2(s)和G3(s)，而与G4(s)无关。则开环传递函数为则频率响应为

求增益交界频率，则而增益交界频率处的对数幅频特性为所以取正值，则

决定相位裕量，则

其相位裕量为(2)求增益裕量

首先需求的相位交界频率,也就是相频特性曲线与-1800线的交点，因为，。又因为,所以可通过G3（s）和G4（s）两环节就可确定相位交界频率。由上式可见应为，则取正值求W1（s）在相位交界频率下的增益裕量，有两种方法，一是可以将代入中求，但比较麻烦，但也可以将代入每个环节后叠加。当K=100时，

与W1（s）相比,只有比例环节(k=20)有区别，其它环节均相同。其对数辐频特性为由此可见，与K=10相比，只是增加20dB,则做图时将W1（s）幅频特性曲线平行上移20dB，见图4.8。而相频特性曲线没有变化。4.4液压仿形刀架控制系统的综合分析与计算液压仿形刀架结构原理图伺服阀液压缸仿形机构仿形样板刀架触头位移Xi阀芯位移Xe节流口

（放大元件）

（执行元件）油缸位移X0带有负反馈的控制阀。

1．液压仿形刀架系统物理模型的建立

m：所有x方向运动的部件（刀架、液压缸体、伺服阀）的质量：运动部件与非运动部件（液压缸活塞及活塞杆和其它导向机构）间的粘滞阻尼系数

k

：活塞杆的刚度系数F：切削力(可认为外扰动力)AP：活塞有效工作面积PL：油缸两腔压差（称为负载压差）PL=P1-P2xo：刀架位移

只考虑伺服阀和液压缸部分。（1）确定系统的输入量及输出量

伺服阀

输入量：阀芯位移xe，

输出量：负载流量QL，

QL表示管路中流量的平均值为，

如不考虑泄漏，则

液压缸

输入量：伺服阀的输出量，即负载流量QL。

输出量：刀架的位移xo。前一个环节的输出量应该是后一个环节的输入量2．液压仿形刀架系统数学模型的建立

（2）列写系统各环节的运动方程

①伺服阀运动方程的建立

伺服阀特性曲线伺服阀在不同的开口量，即阀芯位移为，，……的情况下，负载流量QL与负载压差PL的函数关系。其xei、QL、PL的函数关系为伺服阀特性曲线PLQLPs非线性方程②液压缸方程的建立

根据液压系统的质量守恒原则，建立液压缸两腔的连续方程左腔连续方程为

(4.2)

右腔连续方程为

(4.3)式中Cep─液压缸外部泄漏系数（m5/Ns）Cip─液压缸内部泄漏系数（m5/Ns）；P1─液压缸左腔压力（MPa）；P2─液压缸右腔压力（MPa）V1─液压缸进油腔容积（m3）；V2─液压缸回油腔容积（m3）；Q1─液压缸进油流量（m3/s）；Q2─0液压缸回油流量（m3/s）；βe─液压缸有效容积弹性模数（N/m2），表示压力相对体积的变化率。

液压缸进油腔容积为液压缸回油腔容积为（4.4）（4.5）式中

V02，V01—分别为液压缸左右两腔的初始容积，被认为是常数；

AP

—液压缸活塞的有效工作面积。液压缸左右两腔的总容积为式中 V0—活塞处于中间位置时左右腔的容积。对（4.4）式求导得

(4.6)

对（4.5）式求导得

(4.7)（4.8）式加（4.9）式得(4.10)（4.9）式减（4.8）式得(4.11)液压缸两腔的压差为

(4.8)油泵的供油压力为

(4.9)油泵的供油压力恒定，则=常数对（4.10）求导得

对（4.11）求导得

（4.12）

（4.13）式（4.2）减（4.3）后，并将（4.6）、（4.7）、（4.12）、（4.13）代入，得

（4.14）令式中又因为由（4.14）式得(4.2)(4.3)(4.6)(4.7)(4.12)(4.13)（

4.15）③液压缸力平衡方程的建立

根据物理模型建立其液压缸力学方程则(4.16)FApPLmx0fpk④非线性方程的线性化处理

额定工作点()

（4.17）引入泰勒公式进行线性化处理,若函数在点处的某一邻域内具有1至n阶导数，则泰勒公式为式中—

拉格朗日型的余项，为高阶无穷小。伺服阀特性曲线PLQLPs在预期工作点邻域，将非线性函数y=f(x)展开成以偏差△x=x-x0表示的泰勒级数，然后略去高于1次的偏差量△x的各项额定工作点根据系统对精度的要求，可选择其中几项，本系统拟选择前两项。则（4.1）式可展成为令式中--流量放大系数；

--流量压力系数。

则（4.18）（4.17）（4.19）（4.19）式（4.19）表明了负载流量、阀芯位移和负载压差之间的线性关系。随着阀的工作点不同，阀的系数和也在变化。伺服阀是在额定工作点处展开成线性，阀是工作在额定工作点附近（4.20）将（4.15）、（4.16）、（4.20）式拉氏变换，令初始条件为零则

(4.21)(4.22)

(4.23)（

4.15）(4.16)(4.20)由式(4.21)得

(4.24)

将式(4.22)改写为

(4.25)（

4.21）（

4.22）（

4.23）图4.11负载压降与液压缸位移传递框图

（

4.23）（

4.24）（

4.25）由图4.11得(4.27)由式(4.22)和式(4.26)得

(4.26)（

4.22）控制系统的框图不是唯一的（

4.28）（

4.23）（

4.24）（

4.25）另外一种控制框图由式(4.27)得

(4.30)由式(4.30)得(4.31)(4.27)由式(4.32)变换得由式(4.31)得(4.32)(4.33)式中：为总流量—压力系数。

液压缸位移伺服阀位移负载扰动力(4.34)忽略系统的弹性系数时的筒化模型当k=0时，分母第三项可写成，显然阻尼力远远小于液压缸的输出力泄漏损失流量远小于液压缸运动所需的流量，故，则可以忽略。式(4.33)筒化后可写成<<1(4.33)如果式中fp

小到可以忽略不计，则或式中：—无阻尼液压固有频率，；—液压阻尼比，，无量纲；—速度常数(或称开环放大系数)，，。(4.35)(4.36)(1)只考虑负载扰动力F，而不计输入信号时的传递函数为(4.37)(2)只考虑伺服阀位移，而不考虑干扰力F时的传递函数为(4.38)3．液压仿形刀架系统传递函数的建立

建立以样板为输入，刀架位移为输出的传递函数。（4.39）(4.38)液压仿形刀架结构原理图伺服阀液压缸仿形机构仿形样板刀架触头位移Xi阀芯位移Xe节流口

（放大元件）

（执行元件）油缸位移X0带有负反馈的控制阀。

3．液压仿形刀架系统传递函数的建立（4.40）式中是引起的阀芯位移；是引起的阀芯位移。

对（4.40）式进行拉氏变换，并令初始条件为零，则建立、与的关系（4.41）图4.14阀芯位移示意图由（4.39）式和（4.41）式建立系统传递框图如图4.15所示。图4.15仿形刀架系统传递框图（4.39）（4.41）系统闭环传递函数为(4.42)如果令式中开环增益固有频率阻尼比则由（4.42）式得（4.43）则系统的闭环传递框图如图4.16所示。图4.16仿形刀架系统传递框图其系统的开环传递函数为（4.44）4．绘制系统的波德图首先给出有关参数的量值。伺服阀面积变化率（即表示滑阀每移动1cm，开口面积变化多少cm2）；流量系数；油液密度；供油压力；液压缸有效容积弹性模数，杠杆比；总负载质量；液压缸行程H=11cm；液压缸有效工作面积AP=38.5cm2,阻尼比。开环增益系统固有频率（1）绘制对数幅频特性曲线由（4.45）式知，系统的开环传递函数W(s)是由比例、积分和振荡环节组成的。①比例环节②积分环节的增益交界频率，幅频曲线以-20dB/dec

斜率下降。③振荡环节转角频率也是固有频率（振荡环节的固有频率等于转角频率）,所以，并且幅频特性曲线大于段是以-40dB/dec斜率下降。（2）绘制对数相频特性曲线比例环节，积分环节振荡环节在已知的情况下，-60dB/dec-20dB/dec11.7dBG1(s)W(s)G2(s)φ

1(s)φ

2(s)φ

3(s)