《全等三角形》教学的一些思考(曹自由)

《全等三角形》教学的一些思考北京五中分校曹自由三个思考为什么而学？教什么？怎么教？2011课程标准2001实验版新课程标准3．三角形（3）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。（4）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（参见例61）。（5）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（参见例61）。（6）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。（7）证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。（8）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。（13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。（4）三角形③了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。了解（认识）：从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情景中辨认或者举例说明对象。理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。教什么（问课标）2011课程标准2001实验版新课程标准3．三角形（3）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。（4）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（参见例61）。（5）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（参见例61）。（6）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。（7）证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。（8）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。（13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。（4）三角形③了解全等三角形的概念，探索并掌

握两个三角形全等的条件。掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境．教什么（问课标）2011课程标准2001实验版新课程标准3．三角形（3）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。（4）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（参见例61）。（5）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（参见例61）。（6）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。（7）证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。（8）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。（13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。（4）三角形③了解全等三角形的概念，探索并掌

握两个三角形全等的条件。探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识．教什么（问课标）掌握理解教什么（问课标）

1．全等三角形A．了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系。B．掌握两个三角形全等的条件和全等三角形性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题。C．会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题。教什么（问中考）全等三角形问题是我们第一次接触的封闭图形的关系问题，因此其作用是很主重要的，它要提供学习这类问题的基本方法以及研究思路．

2．角平分线的性质A．了解角平分线的概念并会表示。B．会用尺规作图作已知角的平分线；会用角平分线的性质解决简单问题。

教什么（问中考）

3．证明A．知道证明的必要性；了解反证法的含义B．掌握用综合法证明的格式，证明的过程要步步有据．C．会用归纳和类比进行简单的推理教什么（问中考）变化一关于“基本事实”教什么（问教材）基本事实：SSS、SAS、ASA定理：AASHL（课本中对HL未给出证明）关于“三角形全等的判定”基本事实?公理？出发点？教什么（问教材）实验稿2011年版（1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（3）两边及其夹角分别相等的两个三角形全。（4）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（5）三边分别相等的两个三角形全等。（6）两个全等三角形的对应边相等，对应角相等。（1)两点确定一条直线。（2）两点之间线段最短。(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(4)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全。（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（8）三边分别相等的两个三角形全等。（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。基本事实关于“基本事实”变化二关于三角形全等的判定的探究8个探究5个探究、3个思考探究目标探究思路分阶段探究活动教什么（问教材）变化二关于三角形全等的判定的探究一个元素两个元素三个元素----一边、一角----两边、两角、一角一边三边两边一角两角一边三角---ASA、AAS---SAS、SSA----SSS教什么（问教材）变化三增加“利用信息技术探究三角形全等的条件”（课本P46）教什么（问教材）变化四关于“筝形”(课本P53)教什么（问教材）到底教什么？1.用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学.研究对象一个图形的要素之间的关系两个或多个图形之间的关系

教学建议一、知识探究关于真假探究的问题

1.用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学.几何图形判定性质对任何确定的一类图形进行变换(刚体运动、压缩、圆的反演等等)，图形的什么性质将保持不变.按照变换的方式把几何分为不同分支的思想是克莱因在1872年提出的.关于真假探究的问题

一、知识探究

怎么教？2.让学生充分经历探究过程.画图、测量、实验、分析、归纳关于真假探究的问题

一、知识探究

怎么教？关于真假探究的问题

一、知识探究

怎么教？关于真假探究的问题

一、知识探究

怎么教？关于真假探究的问题

会有学生问

为什么要做这件事吗？一、知识探究

怎么教？

角平分线的性质为什么引入这个知识是关键问题，角平分线本身有性质，为什么还要研究？设计一个问题：不借助作图工具，只用直尺能否作一个角的平分线？关于真假探究的问题

一、知识探究

怎么教？在探究这个问题时，我们也可以约定利用其他的工具实现，例如只使用三角板等．关于真假探究的问题

一、知识探究

怎么教？合情推理：探索思路，发现结论；演绎推理：证明结论．引导学生多经历“猜想——证明”的问题探索过程

二、例题引入关于培养推理能力的问题

怎么教？

已知AB=BC，请你添加一个条件

，使得△ABD≌△BCD.图形已知选择条件SASSSS作业中可以将条件AB=BC

改为BD平分∠ABC可以将图形特殊化：在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠A=∠C=90°，增加怎样一个条件可以使这两个三角形全等呢？

HLAAS关于培养推理能力的问题

二、例题引入

怎么教？已知：AB=AE，请你添加一个条件

，使得△BOC≌△EOD，并证明.已知：AB=AE，AC=AD.求证：△BOC≌△EOD.O请你观察图形，图中有几对三角形看似全等？具备什么条件可以证明他们全等？关于培养推理能力的问题

二、例题引入

怎么教？利用中点构造全等求中线AD的取值范围.关于培养推理能力的问题

二、例题引入

怎么教？

在△ABC中，点D是AC的中点，过点D

做射线BD，E是BD上一点，连结CE，问：在此图中是否有全等三角形？若没有，点E进行怎样的运动可以构造全等三角形．关于培养推理能力的问题

二、例题引入

怎么教？1.运动变化的观点识图2.基本图形的积累三、习题变式关于模式与模式化的问题

怎么教？关于模式与模式化的问题

三、习题变式

怎么教？如图，∠A=∠B=90°,DC⊥EC，DC=EC.求证：△ADC≌△BCE变图关于模式与模式化的问题

三、习题变式

怎么教？如图，∠A=∠B=90°,DC=EC,AC=BE.求证：DC⊥EC变题设、结论关于模式与模式化的问题

三、习题变式

怎么教？等腰Rt△ABC中，AC=BC,AD⊥CD,BE⊥CE,直线DE过C点，问：DE、AD、BE之间有怎样的等量关系？（注意直线DE过AB中点、A点、B点时的图形未给出）关于模式与模式化的问题

三、习题变式

怎么教？将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜α＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由关于模式与模式化的问题

三、习题变式

怎么教？图1图2图3关于模式与模式化的问题

三、习题变式

怎么教？∠ABC=90°∠ABC=120°关于模式与模式化的问题

三、习题变式

怎么教？已知：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC，求证：DC=AD.关于模式与模式化的问题三、习题变式

怎么教？关于模式与模式化的问题

三、习题变式

怎么教？基本作图：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作一个角的平分线；4.作一条线段的垂直平分线;5.过一点作已知直线的垂线.四、关于作图关于能力和习惯的问题

怎么教？尺规作图：1.会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；2.已知底边及底边上的高线作等腰三角形；3.已知一直角边和斜边作直角三角形.四、关于作图关于能力和习惯的问题

怎么教？●证明一个文字命题的基本步骤例如：证明：角的平分线上的点到角的两边距离相等