高中数学-指数函数与对数函数复习总结与检测(解析版)

第四章指数函数与对数函数复习总结与检测知识归纳知识归纳知识点1：根式1．根式及相关概念（1）a的n次方根定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.（2）a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数eq\r(n,a)Rn为偶数±eq\r(n,a)[0，＋∞)（3）根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n>1，且n∈N*)（1）n为奇数时，eq\r(n,an)＝a.（2）n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))（3）eq\r(n,0)＝0.（4）负数没有偶次方根．知识点2：指数幂及运算1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2．有理数指数幂的运算性质（1）aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．（2）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．（3）(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．知识点3：指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2．指数函数的图象和性质a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称知识点4：对数的概念1．对数（1）指数式与对数式的互化及有关概念：（2）底数a的范围是a>0，且a≠1.2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质（1）负数和零没有对数．（2）loga1＝0(a>0，且a≠1)．（3）logaa＝1(a>0，且a≠1)．知识点5：对数的运算1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：（1）loga(MN)＝logaM＋logaN；（2）logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；（3）logaMn＝nlogaM(n∈R)．2．对数的换底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝eq\f(logcb,logca).知识点6：对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数3．反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．知识点7：三种函数模型的性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax知识点8：函数的零点与方程的解1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．知识点9：用二分法求方程的近似解1．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.（2）求区间(a，b)的中点c.（3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.（4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．知识点10：函数模型的应用1．常用函数模型常用函数模型（1）一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)（2）二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)（3）指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)（4）对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)（5）幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)（6）分段函数模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx<m，,cx＋dx≥m))建立函数模型解决问题的基本过程题型讲解题型讲解题型1：指数与对数的运算【例1】计算：（1）2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；（2）1.5－0＋80.25×eq\r(4,2)＋(eq\r(3,2)×eq\r(3))6－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up5(\f(2,3))).【解析】(1)原式＝log3eq\f(22×8,\f(32,9))－3＝2－3＝－1.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up5(\f(1,3))＋2eq\s\up5(\f(3,4))×2eq\s\up5(\f(1,4))＋22×33－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up5(\f(1,3))＝21＋4×27＝110.【方法技巧】指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.【针对训练】1．设3x＝4y＝36，则eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值为()A．6 B．3C．2 D．1【解析】D由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.题型2：指数函数、对数函数的图象及应用【例2】（1）若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是()ABCD（2）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝①如图，画出函数f(x)的图象；②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．【解析】(1)B由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.](2)[解]①先作出当x≥0时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．【方法技巧】1．识别函数的图象从以下几个方面入手：（1）单调性：函数图象的变化趋势；（2）奇偶性：函数图象的对称性；（3）特殊点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.【针对训练】2．函数y＝1＋logeq\f(1,2)(x－1)的图象一定经过点()A．(1,1) B．(1,0)C．(2,1) D．(2,0)【解析】C把y＝logeq\f(1,2)x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋logeq\f(1,2)(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．题型3：比较大小【例3】若0<x<y<1，则()A．3y<3xB．logx3<logy3C．log4x<log4yD.【解析】C因为0<x<y<1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确．对于D，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x在R上单调递减，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y，D错误．【方法技巧】1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．【针对训练】3．设a＝log2π，b＝logeq\f(1,2)π，c＝π－2，则()A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>b>a【解析】C∵a＝log2π>log22＝1，b＝logeq\f(1,2)π<logeq\f(1,2)1＝0，c＝π－2＝eq\f(1,π2)，即0<c<1，∴a>c>b，故选C.题型4：指数函数、对数函数的性质【例4】（1）设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数（2）已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－logaeq\r(x)＋2的值域．【解析】(1)A[由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq\f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．](2)[解]①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3eq\r(x)＋2＝(log3x)2－eq\f(1,2)log3x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3x－\f(1,4)))2＋eq\f(31,16).令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq\f(31,16)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(31,16)，\f(5,2)))，所以所求函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(31,16)，\f(5,2))).【变式训练】1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋eq\r(1＋x2))”，判断其奇偶性．【解析】∵f(x)＝ln(x＋eq\r(1＋x2))，∴其定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋eq\r(1＋x2))，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋eq\r(1＋x2))＋ln(－x＋eq\r(1＋x2))＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．【解析】由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，∴f(t)＝t2＋t－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，t∈[3,27]，∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.【方法技巧】1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．题型5：函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．（1）求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．【解析】(1)最初的质量为500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，所以t＝eq\f(lg0.5,lg0.9)≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．【方法技巧】 指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N1＋px其中N为基础数，p为增长率，x为时间的形式.【针对训练】4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq\f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)【解析】设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得eq\f(2,100)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,20).则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．章节检测章节检测指数函数与对数函数(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<eq\f(1,2)，则化简eq\r(4,2a－12)的结果是()A.eq\r(2a－1) B．－eq\r(2a－1)C.eq\r(1－2a) D．－eq\r(1－2a)【解析】C∵a<eq\f(1,2)，∴2a－1<0.于是，原式＝eq\r(4,1－2a2)＝eq\r(1－2a).2．计算：log225·log52eq\r(2)＝()A．3 B．4C．5 D．6【解析】Alog225·log52eq\r(2)＝eq\f(lg25,lg2)·eq\f(lg2\r(2),lg5)＝eq\f(2lg5·lg2eq\s\up5(\f(3,2)),lg2·lg5)＝2×eq\f(3,2)＝3.3．函数y＝eq\r(x－1)·ln(2－x)的定义域为()A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]【解析】B要使解析式有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,2－x>0，))解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1,2)．4．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是()A．y＝xeq\s\up5(\f(1,2)) B．y＝x4C．y＝x－2 D．y＝【解析】B对A，y＝xeq\s\up5(\f(1,2))的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C中，y＝x－2不过(0,0)点，D中，y＝是奇函数，B中，y＝x4满足条件．5．函数f(x)＝－的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】B令f(x)＝0，可得xeq\s\up5(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝xeq\s\up5(\f(1,2))和指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f(x)的零点只有一个．6．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是()A．15 B．75C．45 D．225【解析】C由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.7．函数f(x)＝eq\f(4x＋1,2x)的图象()A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称【解析】D易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝eq\f(4－x＋1,2－x)＝eq\f(1＋4x,2x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．8．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是()A．(0,1) B.C. D．(0,1)∪(1，＋∞)【解析】C由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a.又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，∴a>eq\f(1,2)，综上，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).9．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))log30.3，则()A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>a>b【解析】Cc＝5eq\s\up15(log3eq\f(10,3))，只需比较log23.4，log43.6，log3eq\f(10,3)的大小，又0<log43.6<1，log23.4>log33.4>log3eq\f(10,3)>1，所以a>c>b.10．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是()A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能确定【解析】B因为函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x，x≥2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，x<2))满足对任意的实数x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))C．(－∞，2] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,8)，2))【解析】B[由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,a－2×2≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－1，))由此解得a≤eq\f(13,8)，即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))，选B.12．函数f(x)＝ax5－bx＋1，若f(lg(log510))＝5，则f(lg(lg5))的值为()A．－3 B．5C．－5 D．－9【解析】Alg(log510)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lg5)))＝－lg(lg5)，设t＝lg(lg5)，则f(lg(log510))＝f(－t)＝5.因为f(x)＝ax5－bx＋1，所以f(－t)＝－at5＋bt＋1＝5，则f(t)＝at5－bt＋1，两式相加得f(t)＋5＝2，则f(t)＝2－5＝－3，即f(lg(lg5)的值为－3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．【解析】(1,4)由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作由y＝ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4)．14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．【解析】14设每个涨价x元，则实际销售价为10＋x元，销售的个数为100－10x，则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．15．若f(x)＝eq\f(a·2x＋2a－1,2x＋1)为R上的奇函数，则实数a的值为________．【解析】eq\f(1,3)因为f(x)＝eq\f(a·2x＋2a－1,2x＋1)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即eq\f(a·20＋2a－1,20＋1)＝0，所以a＝eq\f(1,3).16．已知125x＝12.5y＝1000，则eq\f(y－x,xy)＝________.【解析】eq\f(1,3)因为125x＝12.5y＝1000，所以x＝log1251000，y＝log12.51000，eq\f(y－x,xy)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝log1000125－log100012.5＝log1000eq\f(125,12.5)＝log100010＝eq\f(1,3).三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up5(\f(1,2))－(－9.6)0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))eq\s\up15(－\f(2,3))＋(1.5)－2；(2)log25eq\f(1,2)·log45－logeq\f(1,3)3－log24＋5log52.【解析】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up5(\f(1,2))－(－9.6)0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))eq\s\up15(－\f(2,3))＋(1.5)－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up5(\f(1,2))－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up15(－\f(2,3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2＝eq\f(3,2)－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(3,2)－1－eq\f(4,9)＋eq\f(4,9)＝eq\f(1,2).(2)log25eq\f(1,2)·log45－logeq\s\up-3(\f(1,3))3－log24＋5log52＝－eq\f(1,4)＋1－2＋2＝eq\f(3,4).18．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．【解析】(1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝eq\f(1,3)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x.(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，∴f(2m－1)<f(m＋3)．∵f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x为减函数，∴2m－1>m＋3，解得m>4，∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．【解析】如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2eq\f(x,4)·log2eq\f(x,2)的最大值与最小值．【解析】∵f(x)＝log2eq\f(x,4)·log2eq\f(x,2)＝(log2x－2)(log2x－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x－\f(3,2)))2－eq\f(1,4)，又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，∴当log2x＝eq\f(3,2)，即x＝2eq\s\up5(\f(3,2))＝2eq\r(2)时，f(x)有最小值－eq\f(1,4).当log2x＝0时，f(x)有最大值