高中数学选修4-5单元教学设计

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称课型新授课

不等式和确定值不等式

学问

1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式

与

技能探讨的基础。

维

2.驾驭不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质推

目

断不等关系和用比较法，反证法证明简洁的不等式。

过程

标能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题

与

方法

情感看发展学生的思维实力，通过视察、探究、发觉的创建性过程，培育创新意

法与价识。

值观

重重点：应用不等式的基本性质推理推断命题的真假；代数证明，特殊是反证法。

难

点难点：敏捷应用不等式的基本性质。

单

元

课

时

支配

教学过程设计批注

一、新课引入:

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖

(a>b>0),若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么？

分析：起初的糖水浓度为2,加入m克糖后的糖水浓度为只要

aa+m

hh

证^~4-777即可。怎么证呢？

a+ma

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小依次的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数

轴上的表示可知：

a>boa-b>0

a=b=a—b=O

a<ba—b<0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、假如a>b,那么b<a,假如b<a,那么a>bo(对称性)

②、假如a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>cna>c。

③、假如a>b,那么a+c>b+c,即a>b=a+c〉b+c。

推论：假如a>b,且c>d,那么a+c>b+d,即a>b,c>d=a+c>b+d.

④、假如a>b,且c>0,那么ac>bc；假如a>b,且c<0,那么ac<bc.

⑤、假如a>b>0,那么。〃>/?〃(nwN,且n>l)

⑥、假如a>b>0,那么近>扬(neN,且n>l)。

三、典型例题：

例1、比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小。

分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。

例2、已知。>b,c<d,求证：a-c>b-d.

例3、已知a>b>O,c>d>0,求证：J互。

四、课堂练习：

1：己知x>3,比较尤3+1民与61+6的大小。

ha

2：已知a>b>0,c<d<0,求证：----<-----。

a—cb—d

五、课后作业：

课本写第1、2、3、4题

教

学

反

思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称基本不等式课型新授课

学问

1.学会推导并驾驭均值不等式定理；

与

技能2.能够简洁应用定理证明不等式并解决一些简洁的实际问题。

维

过程

能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题

与

目

方法

情感看发展学生的思维实力，通过视察、探究、发觉的创建性过程，培育创新意

标

法与价识。

值观

重重点：均值不等式定理的证明及应用。

难

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

点

单

元

课

时

配

支

教学过程设计批注

一、学问学习：

定理1:假如a、3CR,那么22a6（当且仅当a=6时取“=”号）

证明：a2+b2—2ab=（a—b）2

当时，（a—b）2>0,当a=6时，（a—6）2=0

所以，（a—6）:0即a2+/22ab

由上面的结论，我们又可得到

定理2（基本不等式）：假如a,6是正数，那么皇蓝（当且仅当

a=方时取“=”号-）

证明：：）'+（包）次

..a+b^2y[ab,即2^y[ab

明显，当且仅当a—2时，2—4元

说明：1）我们称为a,A的算术平均数，称，元为a,6的几何平均

数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均

数.

2)数和且尹，1装成立的条件是不同的：前者只要求a,b

都是实数，而后者要求a,6都是正数.

3)“当且仅当”的含义是充要条件.

4)几何意义.

二、例题讲解：

例1已知x,y都是正数，求证：

(1)假如积灯是定值?，那么当*=y时，和x+y有最小值2、小；

(2)假如和x+y是定值S,那么当x=y时，积灯有最大值*6

证明：因为*,y都是正数，所以妥，旧

(1)积中为定值尸时，有妥，x+y》2市

上式当x=y时，取“=”号，因此，当*=/时，和x+y有最小值26.

(2)和x+y为定值S时，有1.xj/W彳S~

上式当户y时取“=”号，因此，当户y时，积盯有最大值352.

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应留意三个条件：

i)函数式中各项必需都是正数；

ii)函数式中含变数的各项的和或积必需是常数；

iii)等号成立条件必需存在。

例2:已知a、b、c、d都是正数，求证：

(ab-\~cd)(ac+bd)24abed

分析：此题要求学生留意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正

确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的相识.

证明：由db、c、d都是正数，得

--—•cd>0,—~—^y]ac•bd>0,

(ab+cd)(ac+bd)

Nabed

:.-------47-------

即(ab+cd)(ac+bd)^Aabed

例3某工厂要建立一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m,

假如池底每Imz的造价为150元，池壁每的造价为120元，问怎样设计水池

能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先须要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然

后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.

解：设水池底面一边的长度为加，水池的总造价为，元，依据题意，得

,,,1600、、,/~1600

7=240000+720)^240000+720X2A/%•—

=240000+720X2X40=297600

当才=必犯，即x=40时，/有最小值297600

X

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低

总造价是297600元.

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应留意数学语言的应用即函

数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应留意不等式性质的适

用条件.

三、课堂练习：课本Pw练习1,2,3,4.

四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家驾驭两个正数的算术平均数不小于它们的几何平

均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应

留意定理的适用条件。

五、课后作业

课本习题1.1第5,6,7题

教

学

反

思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称三个正数的算术-几何平均不等式课型新授课

学问

1.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简洁的不等式，

与

技能解决最值问题；

维

2.了解基本不等式的推广形式。

目过程

能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题

与

标方法

情感看发展学生的思维实力，通过视察、探究、发觉的创建性过程，培育创新意

法与价识。

值观

重重点：三个正数的算术-几何平均不等式

难

点难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简洁的不等式，解决最值问题

单

元

课

时

支配

教学过程设计批注

一、学问学习：

定理3：假如a,仇cwR,,那么色生二2/嬴。当且仅当a=/?=c时，

3

等号成立。

推广：।~。当且仅当4一。2-…一。〃时，等

n

号成立。

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思索：类比基本不等式，是否存在：假如a,仇ceR+，那么tf+^+c323aoe

（当且仅当a=Z?=c时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析：

例1：求函数）=2，+?（%>0）的最小值。

X

222

解一：y=2x+—=2x+—+—>3^/2x•—=3^4ymin=3返

XxxVxX

解二：y=2x2+->2.2x2.3=2而当2/=3即》=处时

xvxx2

Vmin==27S/12=2^24

上述两种做法哪种是错的？错误的缘由是什么？

变式训练1若a,beR,且a>/?,求a+---——的最小值。

（a-b）b

由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要

例2:如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，

再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多

少时，才能使盒子的容积最大？

变式训练2已知：长方体的全面积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高

各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值.

由例题，我们应当更牢记—二三,三者缺一不行。另

外，由不等号的方向也可以知道：积定，和定.

三、巩固练习

12

1.函数y=3x+F（x>0）的最小值是（）

x

A.6B.6A/6C.9D.12

,16

2.函数y=4?+.的最小值是____________

，+if

3.函数y=/（2-/）（0<x（血）的最大值是（）

八〃1632

A.OB.lC.—D.—

2727

4.（2009浙江自选）已知正数x,y,z满意x+y+z=1,求4'+4'+4"的最小

值。

5（2008,江苏，21）设a,》,c为正实数，求证：——H—r-H——+cibc2-\/3

CTbC'

四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家驾驭三个正数的算术平均数不小于它们的几何平

均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应

留意定理的适用条件。

五、课后作业

Pio习题1.1第11,12,13题

教

学

反

思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称确定值三角不等式课型新授课

学问

与了解确定值三角不等式的含义，理解确定值三角不等式公式及推导方法，

技能

维会进行简洁的应用。

目

过程

充分运用视察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形

与

标

方法结合的数学思想，并能运用确定值三角不等式公式进行推理和证明。

情感看发展学生的思维实力，通过视察、探究、发觉的创建性过程，培育创新意

法与价识。

值观

用

难重点：确定值三角不等式的含义，确定值三角不等式的理解和运用。

点

难点：确定值三角不等式的发觉和推导、取等条件。

单元

课时

支配

教学过程设计批注

一、复习引入：

关于含有确定值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一

类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。

1.谭r同学们回忆一下确定值的意义。

x,如果x>0

kl=・0,如果尤=0。

-x,如果x<0

几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的确定

值。

2.证:明一个含有确定值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质

之外，常常还要用到关于确定值的和、差、积、商的性质：

(1)\a\>a,当且仅当a20时等号成立，a2当且仅当aW0时等号

成立。

(2)\a\=,(3)时.网=|a.小（4）已，3声0）

网b

那么时+网=.+'?同一网=|。+耳?

0AB

■■■>

二、讲解新课：OabX

探究：同,瓦卜+同，卜-4之间的什么关系?

结论：,+同〈同+同（当且仅当抽时，等号成立.）

己知a,万是实数，试证明：|a+b|W同+同(当且仅当必三0时，等号成立.)

方法一：证明:1".当ab，Q时，2°.当a/KO时，

ah=­\ab|,

ab=|ab\,167+/7|=Jm+/?)2

\a+b\=4(a+b)2

=y]a2+2ab+b2

=\la2+2ab+b2

=7l«|2-2\ab\+\h\2

=yl\a\2+2\a\\b\+\h\2

<Vl«|2+2\a\\b\+\b\i

=J(M+闻>

="a|+W)2

=\a\+\b\=\a\+\b\

综合1°,2°知定理成立.

方法二：分析法，两边平方（略）

定理1假如a,b是实数,则\a+b\^\a\+同（当且仅当抽，0时,等号成立.）

（1）若把。力换为向量扇B情形又怎样呢？

依据定理1,有|a+q+|—母才。+八一4,就是，,+4+设？同。所以,

\a+t\>|a|-|Z?|»

定理(确定值三角形不等式)

假如a,b是实数，则||a|一同W出士耳W\a\+\b\

注：当。力为复数或向量时结论也成立.

推论1：1%+%+,+a/W|aJ+同+，+卜」

推论2：假如a、b、c是实数，那么|a——H+M—c],当且仅当

(a—b)(A—c)NO时,等号成立.

思索：如何利用数轴给出推论2的几何说明？

(设A,B,C为数轴上的3个点，分别表示数a,b,c,则线段AB<AC+CB.

当且仅当C在A,B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特殊的，取c=0(即

C为原点),就得到例2的后半部分。)

三、典型例题：

例1、已知|x-a|<>求证|(x+y)-(a+Z?)|<c.

证明\(x+y)—(a+=|(x—<a)+(y—/?)|<|x-6z|+|y-A>|

(2)由(1),(2)得：|(x+y)—(a+")|<c

例2、已知求证：|2x—3y|<a。

46

证明•.•国<泉国<£,.•.|2#5烟<3,

4oZ2

由例1及上式，|2x-3y|4|2刀|+|3yle"l+l=a。

留意：在推理比较简洁时，我们常常将儿个不等式连在一起写。但这种写

法，只能用于不等号方向相同的不等式。

例3两个施工队分别被支配在马路沿线的两个地点施工，这两个地点分别

位于马路路碑的第10公里和第20公里处.现要在马路沿线建两个施工队的共同

临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间来回一次,要使两个施工

队每天来回的路程之和最小,生活区应当建于何处？

解：假如生活区建于马路路碑的第Xkm处，两施工队每天来回的路程之和为

S(x)km

那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

10X20

四、课堂练习：

1.(课本名。习题1.2第1题)求证：

(l)|a+Z>|+|fl-22\a\；(2)|a+Z>|-|a-ft|W2\b\

2.(课本人习题1.2第3题)求证：

(l)|x—a|+|x—|a—;(2)|x-a|—|x—Z>||a-Z>|

3.(1)、已知——.求证：|(A—3)—(a—份|<c。

⑵、己知卜-4<(,|N-.<3求证：|2x—3y—2a+3母<。。

五、课堂小结：

1.实数a的确定值的意义：

a(a>0)

⑴同=■0(a=O)；(定义)⑵同的几何意义：

[-a(a<0)

2.定理(确定值三角形不等式)

假如a,5是实数，则同一例土耳W|a|+W|留意取等的条件。

六、课后作业：课本第2,4,5题

教

学

反

思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称确定值不等式的解法课型新授课

学问

1：理解并驾驭W<a与X>>°)型不等式的解法.

与

技能

维2：驾驭依+耳<c•与辰+b>c(c>0)型不等式的解法.

过程

目能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题

与

方法

标

情感看发展学生的思维实力，通过视察、探究、发觉的创建性过程，培育创新意

法与价识。

值观

重重点：N<。与>a(a>0)型不等式的解法.

难

点教学难点：把确定值不等式转化为一次不等式(组)来求解.

单

元

课

时

配

支

教学过程设计批注

一、复习引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和确定值的一些基本学问有了确

定的了解。

请同学们回忆一下确定值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的确定值。即

x,如果x>0

|x|-<0,如果x-0。

-x,如果x<0

在此基础上，本节探讨含有确定值的不等式。

二、新课学习：

关于含有确定值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一

类是证明不等式。下面分别就这两类问题绽开探讨。

1、解在确定值符号内含有未知数的不等式（也称确定值不等式），关键在

于去掉确定值符号，化成一般的不等式。主要的依据是确定值的几何意义.

2、含有确定值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型：设a为正数。依据确定值的意义，不等式凶<。的解集是

{x\-a<x<a},它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是

开区间（-a,a）,如图所示。

图1-1

假如给定的不等式符合上述形式，就可以干脆利用它的结果来解。

其次种类型：设a为正数。依据确定值的意义，不等式|卅>a的解集是

{x|x>a或x<-a）,它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集

合是两个开区间（一叫一。）,3,8）的并集。如图1-2所示。

-aa

图1-2

同样，假如给定的不等式符合这种类型，就可以干脆利用它的结果来解.

3、+和+型不等式的解法。

欣+4<c<^>-c<ax+b<c

卜比+母>c<=>ax+b<—c^ax+h>c

4、x—a|+x—4<c和x—4+x—q2c型不等式的解法。（三种思路）

三、典型例题：

例1、解不等式3x—l|<x+2。

例2、解不等式|3x-l>2-％。

方法1:分类探讨。

方法2：依题意，原不等式等价于3x-l>2-x或3x-l<x—2,然后去

解。

例3、解不等式|2x+l|+|3x-2,5。

例4、解不等式卜―2|+卜一1|25。

解：本题可以依据例3的方法解，但更简洁的解法是利用几何意义。原不

等式即数轴上的点x到1,2的距离的和大于等于5。因为1,2的距离为1,所

以x在2的右边，与2的距离大于等于2(=(5-1)+2)；或者x在1的左

边，与1的距离大于等于2。这就是说，了24或》4-1.

例5、不等式|x-l|+|x+?〉a,对一切实数x都成立，求实数a的取值

范围。

四、课堂练习：解下列不等式：

1、2|2x-l>1.2、41-3工-1<03、攸-2JC|WX+4

4、|x+l|>2—x.5、年?—2x-<16、卜?—1|>x+2.

7、W+x-2|248、|x-1|+|x+3|^6.9^乂+卜+1|<2

10->|国-1-4||>2.

五、课后作业：课本20第6、7、8、9题。

教

学

反

思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称口口才g—甘*七外课型新授课

证明不等式的1Vl基本方法

学问

1、结合已经学过的数学实例，了解干脆证明的三种基本方法：比较法、

与

技能分析法和综合法。

维

2、了解分析法和综合法的思索过程。

目过程

依据问题的特点，结合综合法的思索过程、特点，选择适当的证明方法。

与

标方法

情感看发展学生的思维实力，通过视察、探究、发觉的创建性过程，培育创新意

法与价识。

值观

重重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思索过程。

难

点难点：依据问题的特点，结合综合法的思索过程、特点，选择适当的证明方法。

单

元

课

时

支

配

教学过程设计批注

一、引入：

1、要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式

的性质：

a>boa-b>0

a=ba—b=O

a<b<^>a—b<0

2、所谓综合法，即从已知条件动身，依据不等式的性质或已知的不等式，

逐步推导出要证的不等式。

3、分析法，则是由结果起先，倒过来找寻缘由，直至缘由成为明显的或者在已

知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因打一个比方：张三在山

里迷了路，救援人员从驻地动身，逐步找寻，直至找到他，这是“综合法”；而

张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。

二、典型例题：

例1、设都是正数，且&。人，求证：+b3>a2b+ab2

例2、若实数xwl,求证：3(l+x2+x4)>(l+x+x2)2.

证明：采纳差值比较法：

3(1+x~+x4)—(1+x+x~)-

=3+3x~+3x4—1—%"—x4—2x-2x~—2x3

=2(/-J-x+1)

=2(x-l)2(x2+x+l)

=2(x-l)-f(x+—)2+—].

24

i3

♦.•》声1,从而(》一1)2>0,J3.(x+-)2+->0,

24

,1,3

2(x—l)-[(x+—)-+—]>0,

24

/.3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.

探讨：若题设中去掉XHl这一限制条件，要求证的结论如何变换？

例3、已知a,b€R+,求证aabh>abba.

本题可以尝试运用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1)差值比较法：留意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设

a-b>0

,八,,从而原不等式得证。

aabh-ahbu=ahb'\au-b-ba-b)>0

2)商值比较法：设。之6>0,

aib

■：->\,a-b>^：.?-=(-y-b>1.故原不等式得证。

babab

例4、已知a,0,c>0,且不全相等。求证：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

分析：用综合法。

例5、设。>0,。>0,^iiE«3+b3>a2b+ab2.

证法一分析法

要证/+b32a%+出J?成立.

只需证(a+〃)(/-ab+b?)Nab(a+b)成立,又因a+b>0,

只需证"-ab+/>劭成立，又需证/—2ab+h220成立，

即需证(a-份？NO成立.而(。—32>。明显成立.由此命题得证。

证法二综合法

(a-b)2>0=>a2-2ab+b2>0a2-ab+b2>ab

留意到a>0,b>0,即a+b>0,

由上式即得(。+》)(。2-ab+b2)>ab(a+b),从而o'+Z?3>a2b+ab2

成立。

议一议：依据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？

n+JTL(1

例6、已知a,b,m都是正数，并且a求证：--->-.(1)

h+mb

证法一要证(1),只需证b(a+m)>a[b+m)(2)

要证(2),只需证a机(3)

要证(3),只需证。>a(4)

已知(4)成立，所以(1)成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采纳综合法。

证法二因为a,是正数，所以物相

两边同时加上。力得b(a+m)>a(b+〃?)两边同时除以正数

b(b+/n)得(1)o

变亍弋训练、证明：a2+h2+c2>ah+bc+ca0

证法一：因为a2+b2>2ab(2)

b2+c2>2bc(3)

c2+a2>2ca(4)

所以三式相加得2(。2+〃+c?)22(“。+8c+ca)

(5)

两边同时除以2即得(1)»

证法二：

.2+—2+c~_(ab+be+cd)——(tz—4—(ZJ—c)~4—(c—ci)~>0,

222

所以(1)成立。

例6、证明：(〃+。2)"2+d2)z(ac+0d)2.(1)

证明(1)+/?2)(c2+d2)-(ac+bd)220(2)

<=>a2c2+b2c2+a2d2+b2d2~(a2c2+2abcd+b2d2)>0(3)

Ob2c2+a2d2—2abcd>0(4)

<=>(be-ad)2>0(5)

(5)明显成立。因此(1)成立。

例7、已知a,仇c都是正数，求证323aoe.并指出等号在什么

时候成立？

分析：本题可以考虑利用因式分解公式

er'+<?3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-cd)着

手。

证明：a3+Z?3+c3-3abc

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-cd)

j3+"c)[3-b)2+S-c)2+(c.a)2].

由于a,b,c都是正数，所以a+b+c>0.而

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0.

可知+by+c3—3abe>0

即a3,+b，+c3>3abe(等号在a=Z?=c时成立)

探究：假如将不等式/+/+c323aA中的/，/1分别用a伉。来代

替，并在两边同除以3,会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：

(1+a+0)(1+b+c)(l+c+a)>27,其中a,仇c是互不相等的正数,

且abc=1.

三、课堂小结：

解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上

(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个

正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也

是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

四、课堂练习：

1、已知x>0,求证：x-i■—>2.

x

,114

2、已知x>0,y>0,xwy,求证一H——>------.

xy尤+y

3、已知a〉匕>0,求证Ya-b>-

4、己知a,Z?,c都是互不相等的正数，求证(a+Z?+c)(H?+/?c+ca)>9abc.

五、课后作业：

课本25页第1,2,3、4题。

教

学

反

思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称反证法课型新授课

学问通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步

与

技能骤，会用反证法证明简洁的命题。

维

过程

目会用反证法证明简洁的命题

与

方法

标

情感看发展学生的思维实力，通过视察、探究、发觉的创建性过程，培育创新意

法与价识。

值观

重重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简洁的命题。

难

点难点：会用反证法证明简洁的命题。

单

元

课

时

支配

教学过程设计批注

一、引入：

前面所讲的几种方法，属于不等式的干脆证法。也就是说，干脆从题设动

身，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较困难的不等式，

有时很难干脆入手求证，这时可考虑采纳间接证明的方法。所谓间接证明即是

指不干脆从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它

的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方

法。

反证法在于表明：若确定命题的条件而否定其结论，就会导致冲突。详细

地说，反证法不干脆证明命题“若p则q”，而是先确定命题的条件p,并否定

命题的结论q,然后通过合理的逻辑推理，而得到冲突，从而断定原来的结论是

正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面儿个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

其次步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定动身，应用证确的推理方法，推出冲突结果；

第四步断定产生冲突结果的缘由，在于起先所作的假定不正确，于是原

证不等式成立。

二、典型例题：

例1、已知。>。>0,求证：Va>'4b(〃€?7且〃>1)

例1、设</+。3=2,求证a+Z?42.

证明：假设a+b>2,则有a>2—匕，从而

a3>S-\2b+6b2-b\

a3+b3〉6从-⑵+8=6S-lK+2.

因为6S—l)2+222,所以这与题设条件/+//=2

冲突，所以，原不等式a+AW2成立。

例2、设二次函数/(幻=/+川+4,求证：/(叫『(2)|,〃(3)|中至少

有一个不小于

2

证明：假设火⑶都小于;，则

|/(l)|+2|/(2)|+|,f(3)|<2.(1)

另一方面，由确定值不等式的性质，有

|/(1)|+2|/(2)|+1/(3)|>|/(1)-2/(2)+/(3)|(2)

=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2

(1)、(2)两式的结果冲突，所以假设不成立，原来的结论正确。

留意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满意某个

不等式时，通常采纳反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的冲突结果，通

常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、己证不等式，以及

与临时假定冲突等各种状况。试依据上述两例，探讨找寻冲突的手段、方法有

什么特点？

例3、设0<凡儿c<1,求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a,不行能同时

大于‘

4

111

证：设(1a)b一b)c>“(1c)«>—,

4

1

则三式相乘:ab<(\6)c・(c)a<①

64

2

(1—ci)+a

又10<(l-«)a<

_2_4

(l-c)c«；

同理：(1-/?)/?<-,

4

-1

以上三式相乘：(1c)c<—与①冲突.••原式成立

64

例4、已知〃+/?+(>0,ab+be+ca>0,abc>0,求证：a,b,c>0

证：设a〈0,abc>0,be<0又由a+b+c>0,则b+c=>0

/.ab+be+ca=a(b+c)-^-be<0与题设冲突又：若〃=0,则与abc>0冲

突，*,•必有6Z>0

同理可证：Z?>0,c>0

三、课堂练习：

1、利用反证法证明：若已知a,b,m都是正数，并且。<从则”见〉0.

b+mb

2、设0<c<2,求证：(2a)c,(2b)a,(2c)〃,不行能同时大

于1

3、若x,y>0,且x+y>2,则匕］和二中至少有一个小于2。

1y

提不：反设-----N2,-------22Vx,y>0,可得x+yW2与x+y>2

xy

冲突。

四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤:

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论;

其次步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定动身，应用证确的推理方法，推出冲突结果；

第四步断定产生冲突结果的缘由，在于起先所作的假定不正确，于是原

证不等式成立。

五、课后作业：

课本29页第1、4题。

教

学

反

思

成都市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称不等式的证明方法之四：放缩法课型新授课

学问

1.感受在什么状况下，须要用放缩法证明不等式。

与

技能2.探究用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

维

过程

能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题

与

目

方法

情感看发展学生的思维实力，通过视察、探究、发觉的创建性过程，培育创新意

标

法与价识。

值观

重1.驾驭证明不等式的两种放缩技巧。

难

点2.体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。

单元

课时

支配

教学过程设计批注

一、引入：

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明

显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的

方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处

更为广泛。

下面我们通过一些简洁例证体会这种方法的基本思想。

二、典型例题：

例1、若〃是自然数，求证"+*+?+…+々<2.

11I11111

Fd-~\-dd-<—I---------1-----------F•—I------------------

I22232n211-22-3（n-1）n

▲+（」）+（l」）+…+（1

11223n-\n

=2--<2.

n

留意：事实上，我们在证明"+*+*+…+!<2的过程中，已经得

到一个更强的结论[+3+1+…+[<2—!，这恰恰在确定程度上体现

I22232n1n

了放缩法的基本思想。

例2、求证：1+1+—!—+—]—+•••+-----]------<3.

11x21x2x3Ix2x3x…x〃

11」丁，（女是大于2的自然数）

证明:由--------------<------------

1X2X3X---XA:1-2-2...22«-i

得1+1+―一+―--+•••+---------------

11x21x2x3Ix2x3x…x〃

11

<1,+1,+-1+—1r+1―r+…+——=1,+——2•"=3O---<3O.

222232'1r,12‘Tr

1-----

2

例3、若a,b,c,d/T求证

a+b+db+c+ac+d+bd+Q+c

、十、-1a