初中数学九年级下册 直线与圆的位置关系 教学设计

直线与圆的位置关系第二课时教学设计

龙华区教育科学研究院附属学校薛敏老师

一'教材内容分析

本节课的内容是北师大九年级初中下册数学第三章《圆》第六节《直线和圆的

位置关系》的第二课时。之前的课程学生已经学习了与圆有关的概念，如半径、圆

周角、圆心角等，学习了圆的性质，学习了直线和圆的三种位置关系，这里将进一

步讨论其中的一种情况：相切。

二、学情分析

进入初三下学期的学生在观察、操作、猜想能力较强，但逻辑推理、归纳、运

用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性比较欠缺，

自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。学生思维活跃，

能跟上教师的思路，并用完整的话回答老师的提问；但学生课堂回答问题的气氛不

是那么浓厚，学习不具有自觉性，需要教师设计好教学环节，并给予充分的关注和

指导。

三、教学目标

1.理解切线的判定方法，并能运用其进行推理。

2.能够利用切线的判定定理及三角形的内切圆的性质等解决有关问题。

3.探索三角形内切圆的方法，用尺规作图作出三角形的内切圆。

四、教学重难点

数学重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用其进行推理。

教学难点：探索三角形内切圆的方法，用尺规作图作出三角形的内切圆。

五'教学方法和手段

自主探究，合作交流，多媒体课件，几何画板。

六'教学过程设计

（-）创设情境，提出问题

同学们，请欣赏下面的两幅图片：

问题：（1）一辆急速行驶的火车的车轮与铁轨之间存在着什么样的位置关系？

（2）车轮可以看成什么图形?铁轨可以看成什么图形？

（3）你有没有判定两者位置关系的方法？

本节课我们来继续探究直线和圆的位置关系。【教师板书课题：3.6直线与圆

的位置关系（2）］

分析：通过图片的展示引发学生学习的兴趣，学生利用生活经验描述情境1和

2中的铁轨是一条直线并且与车轮的边缘相切，进一步引出对直线与圆相切判断的

思考，从而引出本节课的学习。

设计意图：由图片的形式向学生展示直线和圆有关的生活现象，创设问题情境,

吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣.以问题的形式引导学生发现图片中直线和

圆相切，从而引出本节课的课题。

（二）分组合作，探究新知

活动内容1:利用旋转实验探究圆的切线的判定条件。(多媒体出示)

如图1,45是。。的直径，直线/经过点A,/与AB的夹角Na,。。的半径为

r,圆心。到直线/的距离为d.当直线/绕点A旋转时，大家注意观察/a与d的

变化情况，以及直线与圆的位置关系，回答下面两个问题：

(1)随着勺变化，点。到/的距离d如何变化？直线/与。。的位置关系

如何变化？

(2)当Na等于多少度时，点。到/的距离d等于半径r?此时，直线/与。。

有怎样的位置关系？为什么？

(3)由此你能得出什么结论?

分析：学生观察图1和图2的/a为锐角时，根据直线/到圆心的距离d小于

圆的半径r,判断出直线/与圆相交；观察图3的Na为直角时，根据直线/到圆心

的距离d等于圆的半径八判断直线/与圆相切.然后教师引导学生讨论得出切线

的判定定理：一是直线过半径的外端；二是垂直于这条直径，这样的直线才是圆的

切线.大家一定要注意这两点，二者缺一不可。

设计意图：教师利用多媒体演示旋转实验，探索圆的切线与过切点的半径之间

的关系，让学生通过观察，猜想，动手操作，得出直线1与半径之间满足什么关系

时，直线/就是。。的切线，然后进一步加以验证，得出切线的判定定理，便于学

生理解掌握。

活动内容2：作圆的切线

导入语：如果告诉你。。上有一点A（如图4所示），

让你过点A作出。。的切线，你会作吗？（多媒体出示）

1.已知。。上有一点A,过A作出。。的切线。

分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，

并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心。和圆上一点A,那么过A

点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可。

学生作图预设：

⑴连接。4。

（2）过点A作0A的垂线/,/即为所求的切线。

设计意图：利用作图加深对圆的切线的判定定理的理解，提升学生动手作图的

能力，并通过辅助线的作法进行反思，引导学生初步了解得出圆的切线的方法。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径.

儿何语言：

•••0A是半径，直线CD，于A（条件）

直线CD是。。的切线.（结论）

基础练习：判断

1.过半径的外端的直线是圆的切线（）

2.与半径垂直的的直线是圆的切线（)

3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线()

设计意图：让学生感受判断切线的方法，必须同时满足经过半径的外端，垂直

于这条半径，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线。

活动内容3：探究三角形的内切圆

(1)提出问题：我们在前面学习了三角形的外接圆，下面我们探究能不能作出一

个圆与三角形的三条边都相切。(多媒体出示)

例2：如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切？

(2)分析问题：假设作出符合条件的圆0,使它与AABC的三边都相切,

连接圆心。和三个切点，再连接A0,你能得到哪些结论?

学生通过小组讨论，得出A。是N8AC的平分线，同样连接8。、CO,BO、C。分

另是NABC、NACB的平分线；因此得出点。是三条角平分线交点，点0也就是

要找的圆心。

(3)解决问题：现在开始用尺规作图，然后我请一位同学说出作图步骤.

学生作图预设:

(1)作NABC、NACB的平分线BE和CT,交点为/.

(2)过点/作垂足为。

(3)以/为圆心，为半径作。/,。/就是所求作的圆.如下图所示:

设计意图：教师引导学生作出一个圆的关键就是确定圆心和半径，引发学生

对圆心位置的思考。学生通过动手尝试，小组讨论，互相学习，得出作图方法，教

师利用实物展台展示部分学生作品，适时进行表扬和鼓励。

(4)巩固练习：像这样和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆

心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.请同学们分别再作出直角三

角形、钝角三角形的内切圆，观察它们的内心位置情况.

分析：学生独立完成上面的作图，并进行对比三种三角形内心的位置。

设计意图：通过作三角形的内切圆，得出三角形和圆的关系，同时也巩固了直

线和圆相切判定定理，复习了确定圆的方法，从而把与本节有关联的知识对比归纳

起来了，形成知识体系，便于学生理解和掌握

(三)学以致用、能力提升

师：我们已经学习直线和圆的判定定理，你能解决下面的问题吗?

例题1.如下图，是。。的直径，/ABT=45°,AT^AB.

求证：AT是。。的切线。

例2.已知直线经过。。上的一点C,并且。4=08,CA=CB,

求证：直线AB是。O的切线。

例3.已知：。为NBAC平分线上一点，OOJ_AB于。，以。为圆心,

。。为半径作。0。求证：。。与AC相切。

分析：教师先让学生尝试完成例题，如果学生通过讨论不能完成，教师引导学

生作出辅助线，写出证明方法，然后独立完成巩固练习题，教师展示习题答案并总

结两类题的解题方法，即“连半径，证垂直”和“作半径，证垂直”。

设计意图：此例题主要是切线判定定理的运用，让学生体会在判定切线时，如

果已知点在圆上，则连半径是常用的辅助线，培养学生运用判定定理解决问题的能

力。

思考：1.例2与例3的证法有何不同？

2.圆的切线的判定方法有哪些？

（四）归纳小结，思维升华

提出问题：通过本节课的学习，谈谈你有什么收获？学到了哪些方法?还有什

么困惑？（多媒体出示）

分析：学生回顾本节课所学的知识，回答三种判断直线和圆的切线的方法：⑴

直线与圆有唯一个公共点.⑵直线到圆心的距离等于圆的半径.⑶切线的判定定理.

作三角形内切圆的方法，以及利用切线的判定定理判断直线是圆的切线的方法和技

巧.学困生谈谈学习上的困惑，以便教师课后做好辅导。

设计意图：通过课堂小结，让学生学会总结，使其所学知识转化为自己的知识,

同时查漏补缺，让知识网络更系统.同时也是检查自己是否完成本节课的学习目标

的机会.

（五）达标检测，反馈提高

活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获一定很多！收获的质量如何呢？请完

成导学案中的达标检测题.（同时多媒体出示）

1.如图，AB是。O的弦，AC是。。的切线，A为切点，BC经过圆心.若N

3=25°,则NC的大小等于（）.

A.20°B.25°C.40°D.50°

2.如图，AB是OO的直径，AC是。。的切线，连接OC交。。于点O,连接8。,

ZC=40°.则/ABO的度数是（）.

A.30°B.25°C.20°D.15°

3.如图，直线与。。相切于点M,ME=EFAEF〃MN,则cos/E=.

4.如图，。。的半径为3,P是延长线上一点，P0=5,PA切。。于A点，则

PA=.

5.如图，A为。。外一点，AB切。。于点B,A。交。。于

C,于E,交。。于点O,连接OO.若43=12,

AC=8.

（1）求的长；

（2）求CD的长.

设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限

度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确

哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的。

（六）布置作业，课堂延伸

基础作业：课本P93习题3.8第1、2题.

拓展作业：课本P93习题3.8第3题.

板书设计：

§3.6直线与圆的位置关系（二）

1.切线的判定定理：3.三角形的内切圆4.学以致